1、1空间两向量的夹角如图1，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量，的夹角，记作由上述概念可知0，因此，两个向量的夹角是唯一确定的，且如图2，当时，向量，_；如图3，当时，向量，_，记作；如图4，当时，向量，_因此，当时，或对于空间任意两个向量，都有图1图2图3 图42空间向量的数量积已知两个非零向量，则叫做，的数量积，记作，即_类比平面向量，我们可得的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积由此可知，零向量与任何向量的数量积为_3空间向量数量积的性质（1）若是非零向量，是任意单位向量，则（2）若，是非零向量，则（3）（4）若为与的夹角，则_4空间向量数量积的运算律运算律1运
2、算律2 (交换律)运算律3 (分配律)注意：（1）向量的数量积记为，而不能表示为ab或ab.（2）向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角的余弦值的符号决定.K知识参考答案：1同向共线 互相垂直 反向共线2 03（4）K重点空间向量的数量积的概念及其运算律和运算性质K难点利用数量积解决向量的共线与垂直问题、异面直线夹角的计算K易错未深刻理解向量夹角与数量积符号的关系、忽略两向量夹角的定义空间向量数量积的计算已知空间两向量，的夹角为，求：（1）； （2）； （3）； （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【名师点睛】根据数量积的定义求解即可，应注意准确确定向量的夹角如图，已知空间
3、四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点.求下列向量的数量积：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)在空间四边形ABCD中，且，；学科&网(2)，；(3)，又，；【名师点睛】在几何体中求空间向量的数量积时，充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；利用数量积的定义求解即可注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角利用数量积证明垂直问题如图，在正方体中，为与的交点，为的中点求证：平面.【解析】设，则，.而，.，.同理可证，.又且平面，平面.【名师点睛】（1）要证两
4、直线垂直，由数量积的性质可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可；学科%网（2）用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可利用数量积求异面直线的夹角求几何体中异面直线的夹角，可将问题转化为求向量的夹角，步骤如下：（1）依据夹角公式，求出的余弦值；（2）若求出，则是异面直线所成的角；若求出，则是异面直线所成的角，为；若求出，则是异面直线所成角的补角在棱长为的正方体中，求异面直线与所成的角【解析】，又，即异面直线与所成的角为【名师点睛】解决本题的关键是在两异面直线上构造向量，求出向量的夹角，在求解过程中易
5、忽略向量的夹角与两直线所成的角的区别利用数量积求线段的长或两点间的距离利用空间向量求线段的长度或两点间的距离，步骤如下： （1）结合图形将所求线段用向量表示；（2）用已知夹角和模的向量表示该向量；（3）利用，通过计算求出，即可得，即得所求线段的长度或两点间的距离如图所示，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1=3，CD=2，且C1CB=C1CD=60.(1)设=a，=b，=c，试用a，b，c表示;(2)已知O为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，求CO的长.【解析】(1)由=a，=b，=c，得=a+b+c,所以=-a-b-c.(2)O为四棱柱AB
6、CD-A1B1C1D1的中心,即O为线段A1C的中点.由已知条件得|a|=|b|=2,|c|=3,ab=0,.由(1)得=a+b+c,则|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=22+22+32+0+223cos 60+223cos 60=29.所以A1C的长为,学科/网所以CO的长为. 未深刻理解向量夹角与数量积符号的关系导致错误“”是“为钝角”的_条件【错解】易知为钝角，所以“”是“为钝角”的充要条件【错因分析】错解中忽略了两个向量共线且反向的情况从而导致错误【正解】易知为钝角或平角，所以“”是“为钝角”的必要不充分条件【名师点睛】，即夹角为钝角或平角，不能忽略与平
7、行且反向的情形；，即夹角为直角；，即夹角为零角或锐角，不能忽略与平行且同向的情形忽略向量夹角的定义导致错误如图所示，在空间四边形中，分别为，的中点，则_【错解】由题易知，所以【错因分析】错解中没有正确理解两向量的夹角，误认为是与的夹角【正解】由题易知，所以【名师点睛】向量的夹角定义中，必须把两向量移至共起点，如下图所示，是与的夹角，而与的夹角为的补角1已知，则A BC D2设是棱长为的正方体，和相交于点，则有ABCD3若非零向量，满足，则与的夹角为ABCD4已知四边形为矩形（邻边不相等），平面，连接、，则下列各组向量中，数量积不为零的是A与B与C与D与5在空间四边形ABCD中,+=A0BC1D
8、无法确定6一个结晶体的形状是平行六面体，以顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长度是A B2 C D7已知是异面直线，且则与所成的角是ABCD8在空间四边形中，则等于A BC D9在棱长为的正方体中，_10已知空间向量a，b满足，a与b的夹角为150，则_.11已知，则_.12如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量在向量上的投影是_.13如图，在空间四边形中，求异面直线与的夹角14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心.求证：B1O平面PAC.15若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的A必
9、要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件16设，是空间不共面的四个点，且满足，则的形状是A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形17已知，且与垂直，则与的夹角为A BC D18在平行四边形中，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是A BC D19如图，正四面体中，是的中点，那么A BC D与不能比较大小20设，与垂直，则_21如图，平面，且是的等腰直角三角形，四边形、四边形都是正方形，若，求异面直线与所成的角22如图，在平行四边形中，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离23如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，
10、且C1CBC1CDBCD60.当的值等于多少时，能使A1C平面C1BD？24（2014上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为A1B2C4D825（2013天津）如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.证明B1C1CE.1【答案】C2【答案】C【解析】由故选C3【答案】C【解析】由，可得，则，故与的夹角为故选C学科&网4【答案】A【解析】由图分析可知(图略)，选项B、C、D中两向量的夹角均为，数量积都为，故选A5【答案】A【解析
11、】+(-)+(-)+(-)-+-+-=0,故选A6【答案】D【解析】，故选D.7【答案】C8【答案】D【解析】，9【答案】【解析】由题意知，所以，又，所以故填10【答案】【解析】11【答案】【解析】由，得，所以，所以即所以.12【答案】【解析】向量在上的投影为|cos=|cos=1cos 45=. 14【解析】连结DB，令，且|a|b|c|1，则，.，即ACOB1.又，.，即.APACA，学科网OB1平面ACP.15【答案】B【解析】ab|a|b|cosa，b，ab|a|b|，cosa，b1，a，b0，a与b共线反之，当a与b共线时，也可能ab|a|b|，故ab|a|b|是a与b共线的充分不必要条件，故选B16【答案】A17【答案】D【解析】与垂直，18【答案】D【解析】设.则 ,选D19【答案】C【解析】，.20【答案】21【解析】，又，异面直线与所成的角为22【解析】因为，所以，因为与成角，所以或因为，所以，所以当时，即；当时，即综上，可知，之间的距离为或学科#网【名师点睛】求解本题应注意：与成角，有，两种情况 24【答案】A【解析】由题图可知，与上底面垂直，因此，25【解析】因为=(+)(+)=(+)+(+)+(+),又(+)=2+0+(-1)=1,(+)=0+(-1)+0=-1,(+)=0,所以=1+(-1)+0=0,因此B1C1CE.