1、2017-2018学年广东省深圳外国语学校高一（下）期末数学试卷一、（每题4分，共48分）1（4分）设a，b是非零实数，cR，若ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BCacacDacbc2（4分）在ABC中，若，b2，A60，则B为（）A60B60或120C30D30或1503（4分）已知等差数列an满足a2+a44，a3+a510，则它的前6项的和S6为（）A21B135C95D234（4分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB等于（）ABCD5（4分）在各项均为正数的等比数列an中，a4a5a627，则log3a1+log3a2+l
2、og3a9（）A9B10C11D126（4分）设x，y满足约束条件，则z2x+y的最大值为（）A2BC4D57（4分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a126，a162，则Sn取得最小值时n的值为（）A13B14C14或15D158（4分）若不等式x22ax+a0对一切实数xR恒成立，则关于t的不等式loga（t2+2t2）0的解集为（）A（3，1）BCD9（4分）已知首项与公比相等的等比数列an中，若m，nN*，满足am，则的最小值为（）A1BC2D10（4分）已知关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+10的两个根分别为，其中（0，1），（1，+），则的取值范围是（）A（2，0）B（0
3、，2）C（1，0）D（0，1）11（4分）在ABC中，ABC的面积为2，则的最小值为（）ABCD12（4分）已知数列an的前n项和Sn，a10且a2anS2+Sn，对一切正整数n都成立，记的前n项和为Tn，则数列中的最大值为（）ABCD二、填空题（每题4分，共16分）13（4分）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，三内角A，B，C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于 14（4分）已知数列an的前n项和，若Tn为数列的前n项和，若，则n的值为 15（4分）已知a1，1，不等式x2+（a4）x+42a0恒成立，则x的取值范围为 16（4分）已知在ABC中，ABAC，ABC
4、所在平面内存在点P使得PB2+PC23PA23，则ABC面积的最大值为 三、解答题（本题共6道大题，其中第17、18题每题8分，第19、20、21、22题每题10分）17（8分）设函数（1）求f（x）的最小正周期和值域（2）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b+c3，求ABC的面积18（8分）某地计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m2，墙面的高度为3m，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元设房屋正面地面长方形的边长为xm，房屋背面和地面的费用不计（1）用含x的表达式表示出房屋的总造价z；（2）怎样设
5、计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？19（10分）已知不等式（1a）x2（b2）x+60的解集为x|3x1（1）求a，b的值（2）求不等式amx2（bm+2）x+40的解集20（10分）若数列an是递增的等差数列，它的前n项和为Sn，其中S864，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn21（10分）在ABC中，已知AB2，AC1，且cos2A+2sin21（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围22（10分）已
6、知数列an满足a12，an+12（Sn+n+1）（nN*）（1）求证：an+1是等比数列；并写出an的通项公式（2）求证：对任意n（nN*），有2017-2018学年广东省深圳外国语学校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、（每题4分，共48分）1（4分）设a，b是非零实数，cR，若ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BCacacDacbc【分析】利用不等式的基本性质即可得出【解答】解：若a2，b1，则A不成立，若a2，b1，则B不成立，若c0，则C不成立，根据不等式的性质可得acbc成立，故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题2（4分）在ABC中，若，b2，A60，
7、则B为（）A60B60或120C30D30或150【分析】由正弦定理可得sinB，求出sinB后根据大角对大边可得B的值【解答】解：在ABC中，若，b2，A60，由正弦定理，有，sinB，ab，AB，B为锐角，B30，故选：C【点评】本题考查了正弦定理，特别要注意大角对大边，属基础题3（4分）已知等差数列an满足a2+a44，a3+a510，则它的前6项的和S6为（）A21B135C95D23【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a2+a44，a3+a510，解得S621故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题4
8、（4分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB等于（）ABCD【分析】根据等比数列的性质，可得ba，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：ABC中，a、b、c成等比数列，则b2ac，由c2a，则ba，故选：B【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用5（4分）在各项均为正数的等比数列an中，a4a5a627，则log3a1+log3a2+log3a9（）A9B10C11D12【分析】各项均为正数的等比数列an中，a4a5a627，可得27，解得a5再利用等比数列的性质、对数运算性质即可得出【解答】解
9、：各项均为正数的等比数列an中，a4a5a627，27，解得a53则log3a1+log3a2+log3a99故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（4分）设x，y满足约束条件，则z2x+y的最大值为（）A2BC4D5【分析】由题意作出其平面区域，当x，y都取到最大值时z有最大值，代入即可【解答】解：由题意作出其平面区域，由解得A（1，2），z2x+y经过可行域A时，取得最大值，此时x1，y2时，z2x+y有最大值21+24，故选：C【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题7（4分）已知等差数列an的前n项和
10、为Sn，且a126，a162，则Sn取得最小值时n的值为（）A13B14C14或15D15【分析】利用等差数列的通项公式可得a1，d，令an0，解得n即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a126，a162，a1+11d6，a1+15d2，联立解得：a128，d2，an28+2（n1）2n30，令an2n300，解得n15则Sn取得最小值时n的值为14或15故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（4分）若不等式x22ax+a0对一切实数xR恒成立，则关于t的不等式loga（t2+2t2）0的解集为（）A（3，1）BCD【
11、分析】由题意可得4a24a0，解得 0a1再根据对数函数的性质可得，解得即可【解答】解：不等式x22ax+a0对一切实数xR恒成立，4a24a0，解得 0a1，loga（t2+2t2）0loga1，解得3t1或1+t1，故选：B【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，对数函数的单调性和特殊点，对数不等式的解法，属于中档题9（4分）已知首项与公比相等的等比数列an中，若m，nN*，满足am，则的最小值为（）A1BC2D【分析】由题意可得到，从而可由得出m+2n8，这样即可得出，这样由基本不等式即可求出的最小值【解答】解：根据题意，；由得：q（m+2n）q8；m+2n8；又m，
12、nN*；，当，即m2n4时取“”；的最小值为1故选：A【点评】考查等比数列的通项公式，以及基本不等式的应用10（4分）已知关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+10的两个根分别为，其中（0，1），（1，+），则的取值范围是（）A（2，0）B（0，2）C（1，0）D（0，1）【分析】设f（x）x2+（a+1）x+a+b+1，则f（0）0，f（1）0，+（a+1）0，a+b+10，作出平面区域，则的范围就是平面区域内过点（1，1）的直线的斜率的范围【解答】解：设f（x）x2+（a+1）x+a+b+1，则，是f（x）0的零点，（0，1），（1，+），f（0）0，f（1）0，+（a+1）0，a+b+
13、10，即，作出平面区域如图：由图象可知，当过（1，1）的直线平行于2a+b+30时，斜率最小为2，过（1，1）的直线与x轴平行时，斜率最大为0故选：A【点评】本题考查了二次函数的零点与系数的关系及简单的线性规划，将所求问题转化为线性规划问题是解题关键，属于中档题11（4分）在ABC中，ABC的面积为2，则的最小值为（）ABCD【分析】利用三角形的面积求出bc8，化简所求表达式，利用换元法通过的范围，利用基本不等式求解表达式的最小值【解答】解：ABC中，A，ABC的面积为2，SABCbcsinAbc2，可得：bc8，令t，则t0，可得：+t+2+，当且仅当，即t，可得c2b，又bc8，解得c4，
14、b2时，等号成立；的最小值为：故选：C【点评】本题考查解三角形，表达式的最值的求法，基本不等式的应用，换元法的应用，是难度比较大的题目12（4分）已知数列an的前n项和Sn，a10且a2anS2+Sn，对一切正整数n都成立，记的前n项和为Tn，则数列中的最大值为（）ABCD【分析】当n1时，a2a1S2+S12a1+a2；当n2时，得：2a1+2a2，相减得，a2（a2a1）a2对a2分类讨论可得a2a11，又a10，联立可得：a11，a22由a2anS2+Sn，n2时，a2an1S2+Sn1，相减可得：a2ana2an1an，化为：可得数列是等比数列，公比为，首项为1的前n项和为Tn+可得T
15、n对n分类讨论，利用数列单调性即可得出【解答】解：当n1时，a2a1S2+S12a1+a2，当n2时，得：2a1+2a2，得，a2（a2a1）a2若a20，则由知a10，舍去若a20，则a2a11，又a10 ，联立可得：a11，a22由a2anS2+Sn，n2时，a2an1S2+Sn1，相减可得：a2ana2an1an，化为：数列an是等比数列，公比为，首项为1数列是等比数列，公比为，首项为1的前n项和为Tn+Tn当n为奇数时，可得数列Tn为单调递增数列，且T11Tn故当n为偶数时，可得数列Tn为单调递减数列，且TnT2故Tn综上可得：2Tn则数列中的最大值为故选：A【点评】本题考查了数列递推
16、关系、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（每题4分，共16分）13（4分）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，三内角A，B，C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于2【分析】根据题意求出角B的值，再由正弦定理求出三角形外接圆的半径R的值【解答】解：ABC中，内角A，B，C成等差数列，2BA+C，又A+B+C，B；2R4，该三角形的外接圆半径R2故答案为：2【点评】本题考查了三角形内角和定理、正弦定理以及等差数列的应用问题，是基础题14（4分）已知数列an的前n项和，若Tn为数列的前n项和，若，则n的值为
17、10【分析】先根据数列的递推公式可得an2n1，再根据裂项求和即可求出Tn，代入计算即可【解答】解：Snn2，Sn1（n1）2，anSnSn1n2（n1）22n1，当n1时，a11S11，an2n1，（），Tn（1+）（1），解得n10，故答案为：10【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项的和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用15（4分）已知a1，1，不等式x2+（a4）x+42a0恒成立，则x的取值范围为（，1）（3，+）【分析】把原不等式看成是关于a的不等式（x2）a+x24x+4，在a1，1时恒成立，只要满足在a1，1时直线在a轴上方即可【解答】解：设关于
18、a的函数yf（a）x2+（a4）x+42a（x2）a+x24x+4，对任意的a1，1，当a1时，yf（a）f（1）x2+（14）x+4+20，即f（1）x25x+60，解得x2或x3；当a1时，yf（1）x2+（14）x+420，即f（1）x23x+20，解得x1或x2；综上，x的取值范围是x|x1或x3；故答案为：（，1）（3，+）【点评】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简洁，是易错题16（4分）已知在ABC中，ABAC，ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC23PA23，则ABC面积的最大值为【分析】以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为
19、x轴，建立直角坐标系，设B（a，0），C（a，0），（a0），则A（0，），设P（x，y），运用两点距离公式可得P在两圆上，由圆与圆的位置关系的等价条件，解不等式可得a的范围，再由三角形的面积公式，结合二次函数的最值求法，可得最大值【解答】解：以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，设B（a，0），C（a，0），（a0），则A（0，），设P（x，y），由PB2+PC23PA23，可得（x+a）2+y2+（xa）2+y23x2+（y）23，可得x2+y2a2，x2+（y）21，即有点P既在（0，0）为圆心，半径为的圆上，也在（0，）为圆心，1为半径的圆上，可得|1|1+，由两
20、边平方化简可得a2，则ABC的面积为S2aa，由a2，可得a2，S取得最大值，且为故答案为：【点评】本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用坐标法和圆与圆有公共点的条件，考查化简整理的运算能力，属于难题三、解答题（本题共6道大题，其中第17、18题每题8分，第19、20、21、22题每题10分）17（8分）设函数（1）求f（x）的最小正周期和值域（2）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b+c3，求ABC的面积【分析】（1）根据题意，由三角函数的恒等变形公式分析可得，据此分析可得答案；（2）根据题意，由（1）的结论，分析可得A的值，结合余弦定理可得bc2，由三角形面积公式
21、可得答案【解答】解：（1）根据题意，所以f（x）的最小正周期为T，又由，故f（x）的值域为0，2，（2）由，得又A（0，），得，在ABC中，由余弦定理，得，又，b+c3，所以393bc，解得bc2所以，ABC的面积【点评】本题考查三角函数的恒等变形以及正弦、余弦定理的应用，关键是化简f（x）的解析式18（8分）某地计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m2，墙面的高度为3m，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元设房屋正面地面长方形的边长为xm，房屋背面和地面的费用不计（1）用含x的表达式表示出房屋的总造价z；（2）怎样设计房
22、屋能使总造价最低？最低造价是多少？【分析】（1）由已知中地面面积为12m2，我们可得xy12，可得y，根据房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价共5200元根据墙高为3m，我们可以构造房屋总造价的函数解析式；（2）利用基本不等式即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件，进而得到答案【解答】解：（1）设总造价为z元，则由xy12，可得y，z3y1200+6x800+5800+4800x+5800，（x0）；（2）z2+580034600，当4800x时，即x3时，z有最小值34600，此时y4答：长4m，宽3m最低总造价为34600元【点评】本题考查的知
23、识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，其中根据已知条件构造房屋总造价的函数解析式，将实际问题转化为函数的最值问题，运用基本不等式是解答本题的关键19（10分）已知不等式（1a）x2（b2）x+60的解集为x|3x1（1）求a，b的值（2）求不等式amx2（bm+2）x+40的解集【分析】（1）根据韦达定理可得，解方程组即可得a，b的值；（2）将a，b的值代入方程，然后分m0，m0，m0三种情况解不等式即可【解答】（1）由韦达定理得，且1a0，得；（2）当a3，b6时，原不等式变为3mx2（6m+2）x+40若m0，原不等式解集为x|x2若m0，原不等式变为（3mx2）（x2）0当m0，原不等
24、式解集为当m0时，当时即时，原不等式解集为当即时，原不等式解集为当时，原不等式解集为【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和韦达定理，考查了分类讨论思想，属基础题20（10分）若数列an是递增的等差数列，它的前n项和为Sn，其中S864，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）数列an是递增的等差数列，公差设为d（d0），由S864，可得2a1+7d16，再由a1，a2，a5成等比数列，可得，联立求得首项与公差，则数列an的通项公式可求；（2）把数列an的通项公式代入，利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）数列a
25、n是递增的等差数列，公差设为d（d0），由S864，得8a1+28d64，即2a1+7d16，又a1，a2，a5成等比数列，可得，即有，联立，解得a11，d2，则an2n1；（2）依题意得，得，2n+2（2n1）2n+16，【点评】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题21（10分）在ABC中，已知AB2，AC1，且cos2A+2sin21（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围【分析】（1）利用同角三角函数的基本关
26、系式化简，求出A，然后利用余弦定理求得BC的长；（2）利用三角形的面积相等用x，y表示d，然后利用线性规划知识求得d的取值范围【解答】解：（1）cos2A+2sin21，12sin2A+2sin21，sinA，即A，3A，A由余弦定理得：BC2AC2+AB22ACABcosA22+12221cos3，BC；（2）由（1）知，ABC为以C为直角的直角三角形，如图，设P到AB的距离为m，由等积法可得：，得，化目标函数为，由题意得：d在P与C点重合时最小，为；当直线过点B（0，）时d有最大值为d的取值范围为【点评】本题考查了二倍角的余弦公式的应用，考查了函数最值的求法，体现了数学转化思想方法，属有一
27、定难度题目22（10分）已知数列an满足a12，an+12（Sn+n+1）（nN*）（1）求证：an+1是等比数列；并写出an的通项公式（2）求证：对任意n（nN*），有【分析】（1）根据数列的递推公式，即可得到an+1+13（an+1），即可证明，可得通项公式；（2）根据放缩法和等比数列的求和公式即可求出【解答】证明（1）：a12，an+12（Sn+n+1）（nN*），a22（2+1+1）8，n2时，an2（Sn1+n），相减可得：an+13an+2，变形为：an+1+13（an+1），n1时也成立an+1是等比数列，首项为3，公比为3所以（2）【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，属于中档题