1、2017-2018学年广东省深圳市罗湖区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）不等式x2x20的解集为（）Ax|2x1Bx|1x2Cx|x2或x1Dx|x1或x22（5分）sin690（）ABCD3（5分）已知平面向量，若，则实数x（）A2B1CD24（5分）不等式|x|y|所表示的平面区域是（）ABCD5（5分）已知一扇形的周长为15cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积为（）A9cm2B10.5cm2C13.5cm2D17.5cm26（5分）函数的最大值为（）ABCD7（5分）已知公比为正数的等比
2、数列an满足：a11，a2a84a42，则前5项和S5（）A31B21C15D118（5分）已知函数向左平移（0）个单位长度后，其图象关于y轴对称，则的最小值为（）ABCD9（5分）已知、是平面上两个不共线的向量，则下列关系式：；|正确的个数是（）A4B3C2D110（5分）我国古代数学名著九章算术第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”（注：“均输”即按比例分配，此处是指五人所得成等差数列；“钱”是古代的一种计量单位），则分得最少的一个得到（）A钱B钱C钱D1钱11（5分）设函数，则yf（x）（）A在单调递增，且其图象关于直线对称B在单调递增，且
3、其图象关于直线对称C在单调递减，且其图象关于直线对称D在单调递减，且其图象关于直线对称12（5分）在投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万，需场地200m2，可获得300万；投资生产B产品时，每生产100t需要资金300万，需场地100m2，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地900m2，则投资这两种产品，最大可获利（）A1350万B1475万C1800万D2100万二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限，OA2，则向量的坐标为 14（5分）函数yx+（x1）的最小值为 15（5分
4、）在数列an中，a12，则a2018 16（5分）在ABC中，A120，D是AC的中点若AB+AC2，则BD 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）如图，平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点M设，（1）分别用表示向量；（2）若，求18（12分）已知，（1）求tan（+）的值；（2）若，均为锐角，求+2的值19（12分）已知an是公差d不为0的等差数列，a1，a2，a5成等比数列，且a1019（1）求数列an的通项公式；（2）若，数列bn的前n项和为Tn，证明：20（12分）在ABC中，角A，B，C所
5、对的边分别为a，b，c，且sinA+sinC2sinB，3a2c（1）求证：ABC是锐角三角形；（2）若，求ABC的面积21（12分）已知Sn为数列an的前n项和，且（1）求数列an的通项公式；（2）若bn|log3ana1|，求数列anbn的前n项和Tn22（12分）某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量已知其车流量y（单位：千辆）是时间t（0t24，单位：h）的函数，记为yf（t），如表是某日桥上的车流量的数据：t（h）03691215182124y（千辆）3.01.02.95.03.11.03.15.03.1经长期观察，函数yf（t）的图象可以近似地看做函数f（t）Asin（t+）+b
6、（其中A0，0，b0，0）的图象（1）根据以上数据，求函数yf（t）的近似解析式；（2）为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？2017-2018学年广东省深圳市罗湖区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）不等式x2x20的解集为（）Ax|2x1Bx|1x2Cx|x2或x1Dx|x1或x2【分析】不等式x2x20化为（x2）（x+1）0，即可解出不等式x2x20的解集【解答】解：不
7、等式x2x20化为（x2）（x+1）0，解得1x2不等式x2x20的解集为x|1x2故选：B【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题2（5分）sin690（）ABCD【分析】利用三角函数的诱导公式计算即可【解答】解：sin690sin（72030）sin300.5，故选：B【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题3（5分）已知平面向量，若，则实数x（）A2B1CD2【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x【解答】解：；x2故选：A【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算4（5分）不等式|x|y|所表示的平面区域是（）ABCD【分析】根据二元一次不等
8、式组表示平面区域进行判断即可【解答】解：不等式组等价为或，则对应的平面区域为D，故选：D【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平区域，比较基础5（5分）已知一扇形的周长为15cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积为（）A9cm2B10.5cm2C13.5cm2D17.5cm2【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，扇形的圆心角的弧度数是，则由题意可得：2r+l15，lr3r，可得：2r+3r15，解得：r3，l9，可得：S扇形lr9313.5cm2故选：C【点评】本题主要考查
9、扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，此题属于基础题型6（5分）函数的最大值为（）ABCD【分析】，然后根据x的范围求出cosx的范围，再利用二次函数的图象与性质得到f（x）的最大值【解答】解：，cosx0，1，当cosx时，f（x）max故选：D【点评】本题考查了三角函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，考查了整体思想和转化思想，属基础题7（5分）已知公比为正数的等比数列an满足：a11，a2a84a42，则前5项和S5（）A31B21C15D11【分析】公比为正数的等比数列an满足：a11，可得4，解得公比q再利用求和公式即可得出【解答】解：公比为正数的等比数列an满
10、足：a11，4，解得a52a4公比q2前5项和S531故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）已知函数向左平移（0）个单位长度后，其图象关于y轴对称，则的最小值为（）ABCD【分析】根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的最小值【解答】解：把函数向左平移（0）个单位长度后，可得y2sin（2x+2+）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得当最小时，满足2+，则的最小值为，故选：A【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题9（5分）已知、是平面上两个不
11、共线的向量，则下列关系式：；|正确的个数是（）A4B3C2D1【分析】根据数量积的运算性质即可判断出正误【解答】解：下列关系式：，满足交换律，正确；，满足分配律，正确；，因此不正确；与|各种大小情况都有，因此不正确正确的个数是2故选：C【点评】本题考查了否命题的定义、命题的否定的意义，考查了推理能力，属于基础题10（5分）我国古代数学名著九章算术第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”（注：“均输”即按比例分配，此处是指五人所得成等差数列；“钱”是古代的一种计量单位），则分得最少的一个得到（）A钱B钱C钱D1钱【分析】五人所分钱成等差数列an，公差
12、d0a1+a2a3+a4+a5，a1+a2+a3+a4+a55，可得2a1+d3a1+9d，5a1+d5，联立解得：a1，d进而得出【解答】解：五人所分钱成等差数列an，公差d0a1+a2a3+a4+a5，a1+a2+a3+a4+a55，2a1+d3a1+9d，5a1+d5，联立解得：a1，da54故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）设函数，则yf（x）（）A在单调递增，且其图象关于直线对称B在单调递增，且其图象关于直线对称C在单调递减，且其图象关于直线对称D在单调递减，且其图象关于直线对称【分析】利用三角恒等变换化简函数的解
13、析式，再利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论【解答】解：函数2sin（+）+cos（+）2sin（+）2sin（+），在（0，）上，+（，），f（x）2sin（+） 单调递增，当x时，f（x）2，为最大值，故其图象关于直线对称，故A、C错误在（0，）上，+（，），f（x）2sin（+） 单调递增，故选：B【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及图象的对称性，属于中档题12（5分）在投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万，需场地200m2，可获得300万；投资生产B产品时，每生产100t
14、需要资金300万，需场地100m2，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地900m2，则投资这两种产品，最大可获利（）A1350万B1475万C1800万D2100万【分析】设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，利润为S百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解【解答】解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，利润为S百万元则约束条件为：，目标函数为S
15、3x+2y，作出可行域，使目标函数为S3x+2y取最大值的（x，y）是直线2x+3y14与2x+y9的交点（3.25，2.5），此时S33.25+22.514.75（百万元）应作生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5百吨的组合投资，可使获利最大故选：B【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限，OA2，则向量的坐标为（，）【分析】由题意利用任意角的三角
16、函数的定义，特殊角的三角函数值，求得向量的坐标【解答】解：平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限，OA2，则 cosXOAcos，sinXOAsin，向量的坐标为（，），故答案为：（，）【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题14（5分）函数yx+（x1）的最小值为3【分析】求两个数和的最小值，凑出两个数的积为定值，满足基本不等式成立的条件【解答】解：x1+12+13当且仅当x1即当x2时取“”所以的最小值为3故答案为3【点评】利用基本不等式求最值，一定要注意需要的条件：一正、二定、三相等15（5分）在数列an中，a12，则a2018【分析】数列an中，a12
17、，则a21，同理可得：a31，a42，可得数列an是周期为3的数列【解答】解：数列an中，a12，则a21，同理可得：a31，a42，a5，a61，数列an是周期为3的数列则a2018a3672+2a2故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）在ABC中，A120，D是AC的中点若AB+AC2，则BD【分析】在ABC中，由已知利用余弦定理可得ABAC1，结合AB+AC2，解得ABAC1，可求AD，在ABD中，由余弦定理可得BD的值【解答】解：由题意，在ABC中，由余弦定理可得：3AB2+AC22ABACcos120，可得：3AB2+
18、AC2+ABAC（AB+AC）2ABAC22ABAC，可得：ABAC1，又AB+AC2，所以联立解得ABAC1，所以AD，所以在ABD中，由余弦定理可得：BD故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）如图，平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点M设，（1）分别用表示向量；（2）若，求【分析】（1）由平面向量的线性运算得：，（）（2）由平面向量数量积运算得：（）（）+4+2，得解【解答】解：（1）因为在平行四边形ABCD中，E
19、是CD的中点，AE交BD于点M故，（）（2），因为由（1）得：（）（）+4+2，故答案为：2【点评】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题18（12分）已知，（1）求tan（+）的值；（2）若，均为锐角，求+2的值【分析】（1）由题意利用诱导公式求得tan、tan的值，再利用两角和的正切公式求得tan（+）的值（2）先判断+2（0，），再求出tan（+2）的值，可得+2的值【解答】解：（1）已知tan，即 tan，tantan（+）（2）若，均为锐角，由（1）可得 +（0， ），+2（0，）再根据tan（+2）1，+2【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，反
20、三角函数的应用，属于基础题19（12分）已知an是公差d不为0的等差数列，a1，a2，a5成等比数列，且a1019（1）求数列an的通项公式；（2）若，数列bn的前n项和为Tn，证明：【分析】（1）由a1，a2，a5成等比数列，可得（a1+d）2a1（a1+4d），a1019a1+9d，联立解出即可得出（2）根据裂项求和即可求出Tn（1），再放缩证明即可【解答】解：（1）a1，a2，a5成等比数列，a22a1a5，即（a1+d）2a1（a1+4d），a1019a1+9d，联立解得：a11，d2an2n1证明（2）（），Tn（1+）（1），Tn（1）（1），故：【点评】本题考查数列的通项公式的求
21、法，考查数列的前n项的和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用20（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+sinC2sinB，3a2c（1）求证：ABC是锐角三角形；（2）若，求ABC的面积【分析】（1）由正弦定理、余弦定理得：a4t，b5t，c6t（t0），则角C最大，由余弦定理可得：cosC，即0C，故ABC是锐角三角形（2）由平面向量数量积的运算及三角形的面积公式得：a8，b10，c12，所以ABC的面积为absinC15，得解【解答】解：（1）因为sinA+sinC2sinB，由正弦定理可得：a+c2b，又3a2c所以a4t，b5t，c6t（
22、t0），则角C最大，由余弦定理可得：cosC，即0C，故ABC是锐角三角形（2）因为，则abcosC10，即t2，由（1）得sinC，则a8，b10，c12，所以ABC的面积为absinC15，故答案为：15【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算及三角形的面积公式，属中档题21（12分）已知Sn为数列an的前n项和，且（1）求数列an的通项公式；（2）若bn|log3ana1|，求数列anbn的前n项和Tn【分析】（1）n2时，anSnSn1，化为：an3an1n1时，a1S1a1，解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出（2）bn|log3ana1|n3|，n3时，bn，
23、n3时，anbn（3n）3n，可得T1，T2，T3n4时，anbn（n3）3n，利用错位相减法即可得出【解答】解：（1）n2时，anSnSn1an（an1），化为：an3an1n1时，a1S1a1，解得a13数列an是等比数列，首项为3，公比为3an3n（2）bn|log3ana1|n3|，n3时，bn，n3时，anbn（3n）3n，则T16，T215，T315n4时，anbn（n3）3n，数列anbn的前n项和Tn15+34+235+（n3）3n，3Tn45+35+236+（n4）3n+（n3）3n+1，2Tn30+34+35+3n（n3）3n+130+（n3）3n+1，整理为：TnTn【点
24、评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（12分）某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量已知其车流量y（单位：千辆）是时间t（0t24，单位：h）的函数，记为yf（t），如表是某日桥上的车流量的数据：经长期观察，函数yf（t）的图象可以近似地看做函数f（t）Asin（t+）+b（其中A0，0，b0，0）的图象（1）根据以上数据，求函数yf（t）的近似解析式；（2）为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？【分析】（1）根据函数的最大最小值可求出A和b，根据周期求出，根据一个最高点的横坐标可求得；（2）解不等式y4可得【解答】解（1）A2，b3，T12，由9+，得9+，解得，函数yf（t）的近似解析式是y2sin（t）+3，（0t24）（2）依题意由y4，得2sin（t）+34，得sin（t），0t24，t，结合正弦函数的图象可得t或t，解得4t6或16t20所以估计一天内将有6小时不允许这种货车通行【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题