1、2017-2018学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知为第四象限角，sin，则cos等于（）ABCD2（5分）已知直线a，b，c，平面，则下列结论错误的是（）A若ab，bc，则cB若ab，bc，则cC若a，b，则abD若ab，a，则b3（5分）已知扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的面积是（）ABCD4（5分）已知（3，x1），（x，2），若与的方向相反，则实数x的值是（）A2B3C2或3D2或35（5分）（理科）已知两点A（3，2）和B（1，4）到直线mx+y+30距离相等
2、，则m值为（）ABCD6（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则在y轴正方向上的投影是（）A3B2C2D37（5分）如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式h2sin（t+）确定，下列结论正确的是（）A小球的最高点和最低点相距2厘米B小球在t0时的高度h1C每秒钟小球往复运动的次数为2D从t1到t3，弹簧长度逐渐变长8（5分）榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，是中国古建筑、家具及其它器械的主要结构方式，其特点是在物件上不使用钉子，利用柳卯加固物件图1所示的榫卯结构由两部分组成，其中一部分结构的三视图如图2所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该部分的表面积
3、是（）ABCD9（5分）若圆x2+y24x+2y+m+60与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是（）Am1Bm6C6m5Dm510（5分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为，侧棱长为1，M为AB的中点，则直线A1M与BC1所成角的正弦值是（）ABCD11（5分）如图，ABC中，ABC，AD平分BAC，过点B作AD的垂线，分别交AD，AC于E，F，若AF6，BC8，则（）ABCD12（5分）已知f（x）Asin（x+）（A0，0）的图象与直线ym（m0）的三个相邻交点的横坐标分别是，当xm，A时，f（x）的值域为，则A的值是（）ABC2D4二、填空题：本大题共4小题，
4、每小题5分，共20分。13（5分）过圆（x+4）2+（y2）225上的点M（1，2）作切线l，则l的方程是 14（5分）已知sin（+）2cos，则sin2cos2 15（5分）已知，均是单位向量，若，则与的夹角为 16（5分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，过A1C的平面截此正方体所得四边形周长的最小值是 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知ABC中，点A（4，3），B（2，1），点C在直线l：x2y+20上（1）若C为1与x轴的交点，求ABC的面积；（2）若ABC是以AB为底边的等腰三角形，求点C的坐标18（12分）如图
5、，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，BAD60，E是CC1的中点，AA12AB2（1）证明：A1EBD；（2）求直线A1E与平面ABCD所成角的大小19（12分）如图，角，的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，锐角的终边与单位圆交于点A（1）若点A的坐标为（），角，的终边绕原点逆时针旋转，与角的终边重合，求 sin；（2）已知点C（0，），D（1，0），角终边的反向延长线与单位圆交于点B当角取何值时，四边形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积20（12分）一木块如图所示，点G是SAC的重心，过点G将木块锯开，使截面平行于侧面SBC（1）在木块上画出符合要求的线，并
6、说明理由；（2）若底面ABC为等边三角形，SASBSCAB3，求截面与平面SBC之间的几何体的体积21（12分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|）的周期为，其图象关于直线x对称（1）求f（x）的解析式，并画出其在区间0，上的图象；（2）将f（x）图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上的所有点向左平移个单位得到g（x）的图象，当x0，10时，求函数F（x）g（x）+（2a+1）f（x）a1（0a1）的零点个数22（12分）如图，圆C与x轴交于点A（1，0），B（1，0），其在x轴下方的部分和半圆x2+y21（y0）组成曲线过点A的直线l与的其它两个交点为E，F，
7、且点E在x轴上方当E在y轴上时，2（1）求C的方程；（2）延长EB交于点G，求证：CFG的面积为定值2017-2018学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知为第四象限角，sin，则cos等于（）ABCD【分析】直接由已知结合同角三角函数基本关系式求解【解答】解：为第四象限角，且sin，cos故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题2（5分）已知直线a，b，c，平面，则下列结论错误的是（）A若ab，bc，则cB若ab
8、，bc，则cC若a，b，则abD若ab，a，则b【分析】在A中，由平行公理得c；在B中，与c相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质得ab；在D中，由线面垂直的判定定理得b【解答】解：在A中，若ab，bc，则由平行公理得c，故A正确；在B中，若ab，bc，则与c相交、平行或异面，故B错误；在C中，若a，b，则由线面垂直的性质得ab，故C正确；在D中，若ab，a，则由线面垂直的判定定理得b，故D正确故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题3（5分）已知扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的面积是（）A
9、BCD【分析】利用扇形的面积公式即可求得结论【解答】解：扇形的圆心角为，半径r为4，Sr242故选：C【点评】本题考查扇形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题4（5分）已知（3，x1），（x，2），若与的方向相反，则实数x的值是（）A2B3C2或3D2或3【分析】由向量共线的坐标运算列式求得x，验证方向得答案【解答】解：（3，x1），（x，2），由与共线可得，32（x1）x0，即x2x60，解得x2或x3又与的方向相反，可得x2故选：A【点评】本题考查向量共线的坐标运算，是基础的计算题5（5分）（理科）已知两点A（3，2）和B（1，4）到直线mx+y+30距离相等，则m值为（）ABCD【
10、分析】由两点A（3，2）和B（1，4）到直线mx+y+30距离相等，知，由此能求出m【解答】解：两点A（3，2）和B（1，4）到直线mx+y+30距离相等，解得m，或m6故选：B【点评】本题考查点到直线的距离公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答6（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则在y轴正方向上的投影是（）A3B2C2D3【分析】直接利用向量的数量积的运算和单位向量的应用求出结果【解答】解：已知点A（1，2），B（3，1），则（2，3）在y轴正方向上同向的单位向量，则：，则：在y轴正方向上的投影是故选：D【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的运算和单位向量的应用，主要考查学生的运
11、算能力和转化能力，属于基础题型7（5分）如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式h2sin（t+）确定，下列结论正确的是（）A小球的最高点和最低点相距2厘米B小球在t0时的高度h1C每秒钟小球往复运动的次数为2D从t1到t3，弹簧长度逐渐变长【分析】由函数h2sin（t+）的图象与性质，对选项中的命题分析、判断正误即可【解答】解：由函数h2sin（t+）知，小球的最高点和最低点相距4厘米，A错误；小球在t0时的高度h2sin，B错误；由周期T2，频率是f，每秒钟小球往复运动的次数为，C错误；从t1到t3，1+t+3+，弹簧长度逐渐变长，D正确故选：D【点评】
12、本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了各参数的物理意义，是基础题8（5分）榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，是中国古建筑、家具及其它器械的主要结构方式，其特点是在物件上不使用钉子，利用柳卯加固物件图1所示的榫卯结构由两部分组成，其中一部分结构的三视图如图2所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该部分的表面积是（）ABCD【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左侧是长方体，右侧是圆柱，圆柱的底面半径为2.5，高为8，长方体的棱长为1，2，3，则其表面积可求【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左侧是长方体，右侧是圆柱，圆柱的底面半径为2.5，高为8，长方体的
13、棱长为1，2，3，则该几何体的表面积为22+58+82+16故选：C【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题9（5分）若圆x2+y24x+2y+m+60与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是（）Am1Bm6C6m5Dm5【分析】在圆的方程中，令x0，可得关于y的一元二次方程，再结合题意利用二次函数的性质求得实数m的取值范围【解答】解：对于圆x2+y24x+2y+m+60，令x0，可得y2 +2y+m+60由于它与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，求得6m5，故选：C【点评】本题主要考查圆的一般方程，二次函数的性质应用，属于基础题10（5分）如
14、图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为，侧棱长为1，M为AB的中点，则直线A1M与BC1所成角的正弦值是（）ABCD【分析】由题意画出图形，取AC中点O，以O为坐标原点，分别以OB，OC所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，求出与的坐标，进一步求出两向量所成角的余弦值，则答案可求【解答】解：如图，取AC中点O，以O为坐标原点，分别以OB，OC所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，则A1（0，1），M（，0），B（，0，0），C1（0，1），则cos直线A1M与BC1所成角的正弦值是故选：B【点评】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是中档题11（5分）如图，ABC中，ABC，AD平分B
15、AC，过点B作AD的垂线，分别交AD，AC于E，F，若AF6，BC8，则（）ABCD【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题【解答】解：根据题意得，AD平分BAC，AEBFABAF6，E为BF的中点，又BC8，ABCAC10，（+）+；故选：A【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用12（5分）已知f（x）Asin（x+）（A0，0）的图象与直线ym（m0）的三个相邻交点的横坐标分别是，当xm，A时，f（x）的值域为，则A的值是（）ABC2D4【分析】由题意知f（x）Asin（x+）的图象与ym的三个相邻交点的横坐标知，函数f（x）相邻的对称轴x2和x4，又相邻对称轴是半个周期可求出，可得解
16、析式，由f（）f（）f（）m，可得m当xm，A时，f（x）的值域为，即可求解A的值【解答】解：由题意知f（x）Asin（x+）的图象与ym的三个相邻交点的横坐标知，周期T（）4，对称轴x2，可得f（2）A则AAsin（2+）可得解析式f（x）Asin（x+）Acos由f（）f（）f（）m，可得m当x，A时，f（x）的值域为，那么，解得：A故选：B【点评】本题主要考查利用yAsin（x+）的图象特征，由函数yAsin（x+）的部分信息求解析式是关键，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）过圆（x+4）2+（y2）225上的点M（1，2）作切线l，则l的方程是3x
17、4y50【分析】根据题意，设圆的圆心为N，求出直线MN的斜率，由切线的性质可得直线l的斜率，由直线的点斜式方程可得答案【解答】解：根据题意，设圆（x+4）2+（y2）225的圆心为N，则N（4，2），KMN，又由l为过点M的圆的切线，则Kl，直线l的方程为（y+2）（x+1），即3x4y50；故答案为：3x4y50【点评】本题考查圆的切线方程，注意分析切线的斜率，属于基础题14（5分）已知sin（+）2cos，则sin2cos21【分析】由题意利用诱导公式求得tan2，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得sin2cos2的值【解答】解：sin（+）sin2cos，tan2，则sin2c
18、os21，故答案为：1【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题15（5分）已知，均是单位向量，若，则与的夹角为【分析】设与的夹角为，根据，平方可得cos的值，从而求得的值【解答】解：设与的夹角为，则0，已知，均是单位向量，若，+2+3，1+211cos+13，求得cos，故答案为：【点评】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题16（5分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，过A1C的平面截此正方体所得四边形周长的最小值是2【分析】在AB上取E，C1D1上取F，连结A1F，CF，A1E，CE，当A1FC
19、E时，过A1C的平面截此正方体所得四边形为CEA1F，设BEx，0x1，则过A1C的平面截此正方体所得四边形周长为：2CE+2A1E2+2，由此利用均值定理能求出过A1C的平面截此正方体所得四边形周长的最小值【解答】解：在AB上取E，C1D1上取F，连结A1F，CF，A1E，CE，当A1FCE时，过A1C的平面截此正方体所得四边形为CEA1F，设BEx，0x1，则过A1C的平面截此正方体所得四边形周长为：2CE+2A1E2+22当且仅当22，即x时，取等号，过A1C的平面截此正方体所得四边形周长的最小值是：22故答案为：2【点评】本题考查平面截此正方体所得四边形周长的最小值的求法，考查正方体的
20、结构特征、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知ABC中，点A（4，3），B（2，1），点C在直线l：x2y+20上（1）若C为1与x轴的交点，求ABC的面积；（2）若ABC是以AB为底边的等腰三角形，求点C的坐标【分析】（1）C为1与x轴的交点，直线l方程：x2y+20令y0，解得x，可得C坐标利用两点之间的距离公式可得|AC|由点A在直线l上，AC边上的高为点B到直线l的距离d可得ABC的面积S|AC|d（2）线段AB的中点M（3，1），kAB2利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得AB的
21、垂直平分线的斜率，再利用点斜式可得线段AB的垂直平分线方程又点C在直线l：x2y+20上联立方程组即可得出【解答】解：（1）C为1与x轴的交点，直线l方程：x2y+20令y0，解得x2C（2，0）|AC|3点A在直线l上，AC边上的高为点B到直线l的距离dABC的面积S|AC|d9（2）线段AB的中点M（3，1），kAB2线段AB的垂直平分线方程为：y1（x3），化为：x+2y50又点C在直线l：x2y+20上联立，解得x，yC（，）【点评】本题考查了两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、垂直平分线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属
22、于基础题18（12分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，BAD60，E是CC1的中点，AA12AB2（1）证明：A1EBD；（2）求直线A1E与平面ABCD所成角的大小【分析】法一：（1）连结A1C1，B1D1，推导出A1C1B1D1，B1D1C1E，从而B1D1平面A1C1E，由BDB1D1，得BD平面A1C1E，由此能证明A1EBD（2）由EC1平面A1B1C1D1，得EA1C1是直线A1E与平面ABCD所成角，由EC11，AC，能求出直线A1E与平面ABCD所成角的大小法二：（1）连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，B1D1，交于点F，以O为原点，OA为x
23、轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1EBD（2）（，0，1），平面ABCD的法向量（0，0，1），由此利用向量法能求出直线A1E与平面ABCD所成角的大小【解答】法一：证明：（1）连结A1C1，B1D1，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，A1C1B1D1，B1D1C1E，A1C1C1EC1，B1D1平面A1C1E，BDB1D1，BD平面A1C1E，A1E平面A1C1E，A1EBD解：（2）EC1平面A1B1C1D1，EA1C1是直线A1E与平面ABCD所成角，底面ABCD是菱形，BAD60，E是CC1的中点，AA12AB2EC11，AC，t
24、anEA1C1，EA1C130，直线A1E与平面ABCD所成角的大小为30法二：直线A1E与平面ABCD所成角的大小证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，B1D1，交于点F，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（，0，2），E（，0，1），B（0，0），D（0，0），（，0，1），（0，1，0），0，A1EBD解：（2）（，0，1），平面ABCD的法向量（0，0，1），设直线A1E与平面ABCD所成角为，则sin直线A1E与平面ABCD所成角的大小为30【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
25、基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）如图，角，的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，锐角的终边与单位圆交于点A（1）若点A的坐标为（），角，的终边绕原点逆时针旋转，与角的终边重合，求 sin；（2）已知点C（0，），D（1，0），角终边的反向延长线与单位圆交于点B当角取何值时，四边形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积【分析】（1）根据三角函数的定义写出sin、cos的值，再计算sin的值；（2）由题意，结合图形计算四边形ABCD的面积，利用三角函数求得面积的最大值【解答】解：（1）点A的坐标为（），则sin，cos；的终边绕原点逆时针旋转，得+，sinsin（+）sin
26、cos+cossin+；（2）由题意，结合图形知四边形ABCD的面积为SSAOD+SOCD+SOBC1sin+1+1sin（）sin+cos+sin（+）+；当时，S取得最大值，且最大面积为1+【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，也考查了四边形面积计算问题，是基础题20（12分）一木块如图所示，点G是SAC的重心，过点G将木块锯开，使截面平行于侧面SBC（1）在木块上画出符合要求的线，并说明理由；（2）若底面ABC为等边三角形，SASBSCAB3，求截面与平面SBC之间的几何体的体积【分析】（1）过点G作EFSC，交SA、CA于点E、F，过F作直线EHSB，交BA于点N，则平面EFH侧
27、面SBC，利用线面、面面平行的判定定理证明即可；（2）求出三棱锥SABC的体积，根据三棱锥ASBC与三棱锥AEFH的体积比，求出三棱锥ASBC的体积，再计算截面与平面SBC之间的几何体体积【解答】解：（1）过点G作EFSC，交SA、CA于点E、F，过F作直线EHSB，交BA于点N，则平面EFH侧面SBC；理由如下：EFSC，SC平面SBC，EF平面SBC，EF平面SBC；同理EH平面SBC，且EFEHE，平面EFH平面SBC；（2）底面ABC为等边三角形，且SASBSCAB3，三棱锥SABC的体积为V三棱锥SABCSABCh；连接AG并延长，交SC于点M，则，；V三棱锥AEFH，截面与平面SB
28、C之间的几何体体积为VV三棱锥SABCS三棱锥AEFH【点评】本题考查了空间中的直线与平面、平面与平面平行的应用问题，也考查了三棱锥体积的计算问题，是中档题21（12分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|）的周期为，其图象关于直线x对称（1）求f（x）的解析式，并画出其在区间0，上的图象；（2）将f（x）图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上的所有点向左平移个单位得到g（x）的图象，当x0，10时，求函数F（x）g（x）+（2a+1）f（x）a1（0a1）的零点个数【分析】（1）根据周期为，求解，利用图象关于直线x对称求解，可得解析式；（2）根据三角函数的平移变
29、换规律求解g（x）的解析式，【解答】解：（1）由T，可得2，又其图象关于直线x对称，即k，kZ|，0则f（x）sin2x；图象如图：（2）将f（x）图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上的所有点向左平移个单位得到g（x）的图象，则g（x）sin4（x+）sin（4x+）cos4xF（x）g（x）+（2a+1）f（x）a1cos4x+（2a+1）sin2xa12sin22x+（2a+1）sin2xa令sin2xt，当x0，10时，1t1原函数化为y2t2+（2a+1）ta，其对称轴方程为t，0a1可知：对称轴t，）1，1那么：y2t2+（2a+1）ta2（t）2+只需
30、判断与0的大小即可得零点个数令h（a）4a24a+1（2a1）20当a是，函数F（x）只有一个零点，其余F（x）都有两个零点【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键要求熟练掌握函数图象之间的变化关系22（12分）如图，圆C与x轴交于点A（1，0），B（1，0），其在x轴下方的部分和半圆x2+y21（y0）组成曲线过点A的直线l与的其它两个交点为E，F，且点E在x轴上方当E在y轴上时，2（1）求C的方程；（2）延长EB交于点G，求证：CFG的面积为定值【分析】（1）根据题意可得E（0，1），设F（x0，y0），根据2，可求出F（3，2），设圆C的方程为（
31、xa）2+（yb）2r2，可得，解得即可，（2）设直线l的方程为xmy1，m0，即可求F，G的坐标，即可求出三角形的面积，即可证明【解答】解：（1）当E在y轴上时，则E（0，1），A（1，0），2，设F（x0，y0），（1x0，y0）2（1，1），1x02，y02，x03，y02，F（3，2），设圆C的方程为（xa）2+（yb）2r2，解得a0，b3，r10，圆C的方程为x2+（y+3）210；证明：（2）设直线l的方程为xmy1，m0，联立直线l与圆C的方程可得（my1）2+（y+3）210，即（m2+1）y2+（62m）y0，y0或y，yF，点F在x轴下方，2m60，即m3，将yF代入直线l，可得F的横坐标为xF，F（，），同理，设直线EB的方程为l1：xx+1，求得G（，），|FG|666，CFG为等腰三角形，CFG的高h1，CFG的面积为613，故CFG的面积为定值【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆的方程，向量的共线定理，三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题