1、2018-2019学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）cos600等于（）ABCD2（3分）集合A1，0，1，By|ysinx，xR，则（）AABBBABBCABDRAB3（3分）下列函数在（0，+）上单调递增的是（）Af（x）x3x2Bf（x）tanxCf（x）lnxxDf（x）4（3分）将函数ysin（2x+）的图象向右平移个单位后，横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，则所得函数的解析式为（）Ay2cos2xBy2sin（2x+）Cysin2xDy2sin2x5（3分）已知向量，满足，且，的夹角为150，则向量在向量的投影为（
2、）ABCD6（3分）已知函数f（x）|x+1|+|x1|，若f（a）f（b），则下列一定不正确的是（）Aab1（ab）Ba+b0C（1|a|）（1|b|）0Dab7（3分）已知，若满足不等式，则的取值范围是（）ABCD8（3分）函数f（x）ln（1+2sin（2x）的单调递减区间是（）A，kZB.，kZC.，kZD.，kZ9（3分）如图，四边形ABCD满足，M，N分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线与MN的延长线相交于P，Q两点，+3，则实数的值是（）A2B1C2D110（3分）定义M1是函数f（x）exe的零点，M2log427log8125log6258，M3|sinx2|（x0），
3、则有（）AM2M1M3BM1M2M3CM3M2M1DM2M3M1二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）11（4分）已知向量（1，3），（1，2），（2，5），若G是ABC的重心，则的坐标是 12（4分）函数y的值域是 13（4分）设平面向量，满足2+（3，3），2（1，4），若，的夹角为，则cos 14（4分）函数，若函数g（x）f（f（x）恰有3个不同的零点，则实数a的取值集合为 15（4分）边长为2的等边三角形ABC所在的平面上有点O，若，则的取值范围是 16（4分）定义函数f（x）sin4x+cos4x，若
4、f（），则tan 17（4分）关于x的不等式x2a|x|+40的解集中仅含有4个不同的整数，则实数a的取值范围是 三、解答题18（10分）已知向量，的夹角为60，且（1）在指定的位置用尺规作出向量2；（2）求与2+的夹角的余弦值；（3）求（R）的最小值19（10分）定义函数f（x）3sin（2x）（1）求函数y|f（x）|的最小正周期；（2）将函数yf（x）的图象向左平移（0）个单位得到yg（x）的图象关于y轴对称，求的最小值；（3）判断方程|f（x）|log2|x|的根的个数（不需要写出解答过程）20（10分）定义在R上的单调函数f（x）满足：ff（x）x|x|0
5、（1）求证：f（x）x|x|；（2）若f（sin）+f（cos）0，求的取值范围；（3）对任意的x1有不等式f（x+m）+mf（x）0恒成立，求实数m的取值范围21（12分）定义函数f（x）ax2+bx+a（1）若方程f（x）x有唯一的根，求a，b满足的关系式；（2）若a1，b3，求函数g（x）x+的值域；（3）若对任意的不等式0f（x）4x恒成立，求实数a+b的取值范围2018-2019学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）cos600等于（）ABCD【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果【解
6、答】解：cos600cos240cos（180+60）cos60，故选：D【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题2（3分）集合A1，0，1，By|ysinx，xR，则（）AABBBABBCABDRAB【分析】可得出By|1y1，从而可得出ABA，ABB，从而选B【解答】解：By|1y1，A1，0，1；ABA，ABB故选：B【点评】考查描述法、列举法的定义，正弦函数的值域，以及交集、并集的运算3（3分）下列函数在（0，+）上单调递增的是（）Af（x）x3x2Bf（x）tanxCf（x）lnxxDf（x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案【解答】解：根据
7、题意，依次分析选项：对于A，f（x）x3x2，其导数为f（x）3x22xx（3x2），在（0，）上，f（x）0，函数f（x）为减函数，不符合题意；对于B，f（x）tanx，为正切函数，在（0，+）上不具有单调性，不符合题意；对于C，f（x）lnxx，其导数为f（x）1，在（0，1）上，f（x）0，函数f（x）为减函数，不符合题意；对于D，f（x）1，在（0，+）上单调递增，符合题意；故选：D【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题4（3分）将函数ysin（2x+）的图象向右平移个单位后，横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，则所得函数的解析式为（）Ay2cos2xBy2
8、sin（2x+）Cysin2xDy2sin2x【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数ysin（2x+）的图象向右平移个单位后，可得函数ysin2x的图象；横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，可得函数y2sin2x的图象，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题5（3分）已知向量，满足，且，的夹角为150，则向量在向量的投影为（）ABCD【分析】由向量在向量的投影为，代入即可求解【解答】解：，且，的夹角为150，则向量在向量的投影为，故选：B【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用是，属于基础试题6（3分）已
9、知函数f（x）|x+1|+|x1|，若f（a）f（b），则下列一定不正确的是（）Aab1（ab）Ba+b0C（1|a|）（1|b|）0Dab【分析】由分段函数的有关知识，进行简单的合情推理，逐一检验可得解【解答】解：f（x）|x+1|+|x1|，又f（a）f（b），对于选项B，当1ab1时，满足题意，对于选项C，当a1，b1，且ab时，满足题意，对于选项D，当a1，b1，且ab时，满足题意，结合得，选项A一定不成立，故选：A【点评】本题考查了分段函数的有关知识，属简单题7（3分）已知，若满足不等式，则的取值范围是（）ABCD【分析】根据对数的法则，将不等式转化为sin3+lnsincos3+l
10、ncos，然后构造函数f（x）x3+lnx，x0求函数的导数，研究函数的单调性，进行转化求解即可【解答】解：，lncoslnsin，即sin3+lnsincos3+lncos，则sin0且cos0即0且，即（0，），设f（x）x3+lnx，x0，则不等式sin3+lnsincos3+lncos等价为f（sin）f（cos）恒成立，函数f（x）3x2+，则当x0时，f（x）0恒成立，即f（x）在定义域上为增函数，则f（sin）f（cos）等价为sincos恒成立，（0，），1，即tan1，即，即的取值范围是，），故选：A【点评】本题主要考查不等式恒成立的求解，根据条件转化为同一的形式，构造函数，
11、求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，质量较高8（3分）函数f（x）ln（1+2sin（2x）的单调递减区间是（）A，kZB.，kZC.，kZD.，kZ【分析】根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论【解答】解：设t1+2sin（2x）2sin（2x）+1，由t2sin（2x）+10，即sin（2x），即2k2x2k+，kZ，解得kxk+，kZ函数等价为ylnt，要求函数f（x）ln（12sin（2x）的单调递减区间，即求t12sin（2x）2sin（2x）+1的递减区间，解得kxk+，kZ故选：C【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系
12、是解决本题的关键9（3分）如图，四边形ABCD满足，M，N分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线与MN的延长线相交于P，Q两点，+3，则实数的值是（）A2B1C2D1【分析】将向量化成和后代入已知运算可解得【解答】解：如图：因为M，N分别是BC，AD的中点，+，+，+，+，+得2+（+），（+），3，（）3，（+）（）3，（22）3，（41）3，2故选：C【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题10（3分）定义M1是函数f（x）exe的零点，M2log427log8125log6258，M3|sinx2|（x0），则有（）AM2M1M3BM1M2M3CM3M2M1DM2M3
13、M1【分析】由函数的零点得：M11，由对数的换底公式得：M2log427log8125log6258，由三角函数的有界性得：M3|，得解【解答】解：因为M1是函数f（x）exe的零点，所以M11，M2log427log8125log6258，M3|，即M3M2M1，故选：C【点评】本题考查了函数的零点，对数的换底公式及三角函数的有界性，属中档题二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）11（4分）已知向量（1，3），（1，2），（2，5），若G是ABC的重心，则的坐标是（，0）【分析】由平面向量基本定理求得三角形重心坐标公式，运算可得解【解答】解：已知向量（1，3），（1，2），（2，
14、5），由三角形重心坐标公式得：（，）（，0），故答案为：（，0）【点评】本题考查了三角形重心坐标公式，属简单题12（4分）函数y的值域是，0【分析】由三角函数的有界性及分式函数的值域的求法得：y，因为12sinx3，求得1，即0，得解【解答】解：因为y，因为12sinx3，所以1，所以0，即函数的值域为：，0，故答案为：，0【点评】本题考查了三角函数的有界性及分式函数的值域的求法，属中档题13（4分）设平面向量，满足2+（3，3），2（1，4），若，的夹角为，则cos【分析】由已知先求出，然后根据cos，即可求解【解答】解：2+（3，3），2（1，4），（1，2），（1，1），则cos，故答案
15、为：【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示的简单应用，属于基础试题14（4分）函数，若函数g（x）f（f（x）恰有3个不同的零点，则实数a的取值集合为（，0）（0，）【分析】设tf（x），则g（x）f（t），先根据条件求出函数f（x）的零点，由f（t）0得t的范围，结合tf（x），求出x的个数满足的条件即可【解答】解：设tf（x），则g（x）f（t），由g（x）f（t）0得，f（t）0，若x0，f（x）tanx0，此时函数f（x）无零点，若0x，由f（x）asinx0得a0，x0，或x，即函数f（x）有两个零点，0，由f（t）0，得t0，或t，当t0时，由f（x）0得x0，或x，此时
16、有两个零点，函数g（x）f（f（x）恰有3个不同的零点，等价为当t时，由f（x）只有一个零点，当x0时，f（x）tanx只有一个零点，此时当0x时，f（x）asinx没有零点，即若a0，则0a，若a0，此时asinx没有零点恒成立，综上0a或a0，即实数a的取值集合为（，0）（0，），故答案为：（，0）（0，）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法先求出函数f（x）的零点以及t的数值，结合tf（x）的关系求出x满足的条件是解决本题的关键15（4分）边长为2的等边三角形ABC所在的平面上有点O，若，则的取值范围是1.3【分析】建系后用坐标运算后利用三角换元求最值得取值范围【解答】解：建
17、立如图所示直角坐标系：则A（1，0），B（1，0），C（0，），设O（x，y），0x2+y21，令xcos，ysin，（1x，y）（x，y）x2+x+y2yx+1cossin+12cos（+）+11，3，故答案为：1，3【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题16（4分）定义函数f（x）sin4x+cos4x，若f（），则tan【分析】由已知结合平方公式可得sin2，cos2的值，进一步得到tan2，开方得答案【解答】解：由f（x）sin4x+cos4x，且f（），得，即（7cos24）20，解得sin2则tan故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本
18、关系式的应用，是基础题17（4分）关于x的不等式x2a|x|+40的解集中仅含有4个不同的整数，则实数a的取值范围是，5）【分析】利用参数分离法进行转化，结合偶函数的对称性转化为当x0时只有两个整数，利用数形结合进行求解即可【解答】解：当x0时，不等式等价为40，不成立，即x0，由x2a|x|+40得x2+4a|x|，即a|x|+，若不等式x2a|x|+40的解集中仅含有4个不同的整数，则等价为当x0时，ax+时，有两个整数解即可，x+24，当且仅当x，即x2时，取等号，当x2时，x+4，当x1时，x+1+45，当x3时，x+3+，要使ax+时，有两个整数解，则这两个整数为2，3，此时a满足a
19、5，即实数a的取值范围是，5），故答案为：，5），【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合基本不等式的性质，利用数形结合是解决本题的关键三、解答题18（10分）已知向量，的夹角为60，且（1）在指定的位置用尺规作出向量2；（2）求与2+的夹角的余弦值；（3）求（R）的最小值【分析】（1）根据平面向量的线性运算作有2，连接BA即得2；（2）根据平面向量的夹角公式计算即可；（3）求的最小值，即可求得的最小值【解答】解：（1）已知向量，作有向线段2，连接BA，则向量2；（2）（）（2+）22112cos6043，|，|2+|2，所以与2+夹角的余弦值为cos；（3）因为2+24221
20、+2122+4（1）2+33，当1时取得最小值为3，所以（R）的最小值是【点评】本题考查了平面向量的数量积与线性运算问题，是中档题19（10分）定义函数f（x）3sin（2x）（1）求函数y|f（x）|的最小正周期；（2）将函数yf（x）的图象向左平移（0）个单位得到yg（x）的图象关于y轴对称，求的最小值；（3）判断方程|f（x）|log2|x|的根的个数（不需要写出解答过程）【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，得出结论（2）利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象对称性，求得的最小值（3）本题即求即函数y|3sin（2x）|和函数ylog2|x|的图象交点的个数，数形
21、结合可得结论【解答】解：（1）函数f（x）3sin（2x），它的最小正周期为，函数y|f（x）|的最小正周期为（2）将函数yf（x）的图象向左平移（0）个单位后，得到yg（x）f（x+）3sin（2x+2）的图象，f（x+）的关于y轴对称，则当取最小值时，2，求得的最小值为（3）方程|f（x）|log2|x|的根的个数，即方程|3sin（2x）|log2|x|的根的个数，即函数y|3sin（2x）|和函数ylog2|x|的图象交点的个数，数形结合可得函数y|3sin（2x）|和函数ylog2|x|的图象交点的个数为18如图：【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，函数yAsin（x+）的图象变换
22、规律，正弦函数的图象，属于中档题20（10分）定义在R上的单调函数f（x）满足：ff（x）x|x|0（1）求证：f（x）x|x|；（2）若f（sin）+f（cos）0，求的取值范围；（3）对任意的x1有不等式f（x+m）+mf（x）0恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）设f（x0）0，则f（x）x|x|x0，即f（x）x|x|+x0，由f（x0）0求得x00，可得f（x）x|x|；（2）解：由（1）知，f（x）为奇函数，且f（x）在R上为增函数，把f（sin）+f（cos）0转化为sin+cos0，求解三角不等式得答案；（3）当x1时，f（x）x2，把不等式f（x+m）+mf（x）0恒成立
23、转化为（x+m）2+mx20对任意x1恒成立，即（m+1）x2+2mx+m20对任意x1恒成立，然后分m1和m1求解得答案【解答】（1）证明：设f（x0）0，则f（x）x|x|x0，即f（x）x|x|+x0，f（x0）x0|x0|+x00，x00，f（x）x|x|0，即f（x）x|x|；（2）解：由（1）知，f（x）为奇函数，且f（x）在R上为增函数，由f（sin）+f（cos）0，得f（sin）f（cos）f（cos），即sincos，则sin+cos0，0，则，kZ，得，kZ；（3）解：当x1时，f（x）x2，由不等式f（x+m）+mf（x）0恒成立，得（x+m）2+mx20对任意x1恒成
24、立即（m+1）x2+2mx+m20对任意x1恒成立当m1时，得x，满足对任意x1恒成立；当m1时，需或解得：m综上，实数m的取值范围是（，）1【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，属难题21（12分）定义函数f（x）ax2+bx+a（1）若方程f（x）x有唯一的根，求a，b满足的关系式；（2）若a1，b3，求函数g（x）x+的值域；（3）若对任意的不等式0f（x）4x恒成立，求实数a+b的取值范围【分析】（1）方程f（x）x有唯一的根，即ax2+（b1）x+a0有唯一的根，对a分类即可得到a，b满足的关系式；（2）当a1，b3时，函数g（x
25、）x+x+，求出函数的定义域，利用导数研究函数的单调性，由单调性求值域；（3）对任意的不等式0f（x）4x恒成立，转化为0a（x+）+b4恒成立，利用单调性求得最值，可得，从而得到a+b的取值范围【解答】解：（1）方程f（x）x有唯一的根，即ax2+（b1）x+a0有唯一的根，若a0，则b1；若a0，则（b1）24a20；（2）当a1，b3时，函数g（x）x+x+由x23x+10，解得x或xg（x）1+当x时，g（x）0，g（x）在（，上为减函数，g（x）；当x时，g（x）0，g（x）在，+）上为增函数，g（x）函数g（x）x+的值域为，+）；（3）对任意的不等式0f（x）4x恒成立，即0ax2+bx+a4x恒成立，等价于0a（x+）+b4，令h（x）x+，则h（x）在x1，上为增函数，故h（x）min2，h（x）max3若a0，则0b4，此时0a+b4；若a0，则，从而a+b2（2a+b）（3a+b）4，8综上可得：4a+b8【点评】本题考查方程的根与判别式的关系，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属难题