1、2018-2019学年浙江省杭州市八校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1（5分）设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是（）ABC与共线D2（5分）已知向量，且，则（）A5B5C1D13（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若A60，2ab+c，则ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰直角三角形4（5分）（）ABCD5（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且边，则边b（）A3或5B3C2或5D56（5分）已知正六边形OP1P2P3P4P5的边长为1，则的最大值是（）A1BCD27（5分）当时，函数的值域
2、是（）ABCD1，28（5分）对于集合a1，a2，an和常数a0，定义：为集合a1，a2，an相对a0的“余弦方差”，则集合相对a0的“余弦方差”为（）ABCD与a0有关的一个值二、填空题（每小题4分，共28分）9（4分）已知，若，则x 10（4分）若，则 11（4分）已知A（2，5），B（10，3），点P在直线AB上，且，则点P的坐标是 12（4分）有一长为10m的斜坡，它的倾斜度是75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的斜角改为30，则坡底要延伸 m13（4分）若tan，tan是方程x2+6x+20的两个实数根，则 14（4分）在ABC中，A60，4sinB5sinC，则
3、其周长为 15（4分）已知点M是ABC所在平面内的一点，若满足，且SABCSABM，则实数的值是 三、解答题（5小题，共52分）16（10分）已知，均为锐角，且，（1）求的值；（2）求cos的值17（10分）已知两个非零向量不共线，如果，（1）求证：A，B，D三点共线；（2）若，且，求向量的夹角18（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，（1）求角C的大小；（2）若，求的值19（10分）已知ABC的面积为S，且，（1）当1时，求的值；（2）当，边BC的长为2时，求ABC的周长的最大值20（12分）设函数f（x）asinx+bcosx，a，b为常数，（1）当时，f（x）取最大
4、值2，求此函数在区间上的最小值；（2）设，当b1时，不等式f（x）g（x）对恒成立，求实数a的取值范围2018-2019学年浙江省杭州市八校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1（5分）设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是（）ABC与共线D【分析】根据题意画出图形，结合图形对选项中的命题，判断正误即可【解答】解：如图所示，点O是正方形ABCD的中心，则，A正确；，则，B正确；又，所以与共线，C正确；|，但，D错误故选：D【点评】本题考查了平面向量相等于共线定理的应用问题，是基础题2（5分）已知向量，且，则（）A5B5C1D1【分析】由已知可
5、求（，）+（0，2）（，+2），结合向量的基本定理可求，进而可求【解答】解：，且（，）+（0，2）（，+2）又，2，3，则1故选：D【点评】本题主要考查了平面向量基本运算的坐标表示及向量基本定理的简单应用，属于基础试题3（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若A60，2ab+c，则ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【分析】利用余弦定理结合配方法进行求解得到bc，即三角形为等边三角形【解答】解：A60，a2b2+c22bccos60，即（）2b2+c2bc，即b2+c2bc，即3b2+3c26bc0，即b2+c22bc0，即（bc）20，则bc，
6、A60，三角形为等边三角形，故选：C【点评】本题主要考查三角形形状的判断，结合余弦定理以及配方法是解决本题的关键4（5分）（）ABCD【分析】直接利用二倍角的余弦及正弦化简求值【解答】解：故选：B【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题5（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且边，则边b（）A3或5B3C2或5D5【分析】由已知利用余弦定理即可解得b28b+150，解方程可求b的值【解答】解：因为，所以由余弦定理得：，即b28b+150，解得b3或b5故选：A【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题6（5分）已知正
7、六边形OP1P2P3P4P5的边长为1，则的最大值是（）A1BCD2【分析】利用正六边形边长为1和特殊性，很容易求得各数量积，得到最大值【解答】解：当i1，2，3，4，5时，的值依次是，故最大值为故选：B【点评】此题考查了数量积，属容易题7（5分）当时，函数的值域是（）ABCD1，2【分析】利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可【解答】解：由题意得，当时，则当x0时，f（x）取最小值为，所以值域为，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，结合两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键8（5分）对于集合a1，a2，an和常数a0，定
8、义：为集合a1，a2，an相对a0的“余弦方差”，则集合相对a0的“余弦方差”为（）ABCD与a0有关的一个值【分析】根据余弦方差的定义以及三角函数变换可得【解答】解：因为，故选：B【点评】本题考查了极差、方差与标准差，属中档题二、填空题（每小题4分，共28分）9（4分）已知，若，则x5【分析】利用向量的数量积转化求解即可【解答】解：，若，则2x46，解得：x5故答案为：5【点评】本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查10（4分）若，则【分析】由已知求得sin，然后展开两角差的正弦求【解答】解：由，得，故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦
9、，是基础题11（4分）已知A（2，5），B（10，3），点P在直线AB上，且，则点P的坐标是（1，3）【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，求得点P的坐标【解答】解：已知A（2，5），B（10，3），点P在直线AB上，且，设点P的坐标（x，y），则（2x，5y）（10x，3y）（ ，），2x，5y，求得x1，y3，P（1，3），故答案为：（1，3）【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算法则的应用，属于基础题12（4分）有一长为10m的斜坡，它的倾斜度是75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的斜角改为30，则坡底要延伸10m【分析】作出图形，利用正弦定理计算即可【解
10、答】解：在示意图中，由题意可知BDA30，ABD105，AB10，BAD45，在ABD中，由正弦定理可得：，即，BD10故答案为：10【点评】本题考查了正弦定理的应用，属于中档题13（4分）若tan，tan是方程x2+6x+20的两个实数根，则【分析】由题意利用韦达定理、两角和差的三角公式，求得要求式子的值【解答】解：由韦达定理得tan+tan6，tantan2，所以，原式，故答案为：【点评】本题主要考查韦达定理、两角和差的三角公式的应用，属于基础题14（4分）在ABC中，A60，4sinB5sinC，则其周长为【分析】由4sinB5sinC，结合正弦定理得4AC5AB结合三角形的面积公式可求
11、AC，AB然后结合余弦定理得，BC2AC2+AB22ACABcosA可求【解答】解：因为4sinB5sinC，由正弦定理得4AC5AB设AC5x，AB4x，则，解得x2，所以AC10，AB8由余弦定理得，BC2AC2+AB22ACABcosA100+64284，故此三角形的周长为故答案为：【点评】本题主要考查了正弦的定理及余弦定理，三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题15（4分）已知点M是ABC所在平面内的一点，若满足，且SABCSABM，则实数的值是3【分析】延长AC到点D，使得C是AD的中点，则条件可化为，记，则ABED是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得【解答】解：延长AC到点D
12、，使得C是AD的中点，则条件可化为，记，则ABED是平行四边形因为，则有，故有3另解：记，由条件得，所以，又因为，所以SABC3SABM，从而有3简解：由条件得，即，利用一个结论可以得到SABC3SABM故答案为：3【点评】本题考查了平面向量基本定理，属中档题三、解答题（5小题，共52分）16（10分）已知，均为锐角，且，（1）求的值；（2）求cos的值【分析】（1）由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得的值（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，求得 coscos（）的值【解答】解：（1）由条件得，所以（2），均为锐角，sin（），为第四象限角，cos（）sin，cos，cosc
13、os（）coscos（）+sinsin（）【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于基础题17（10分）已知两个非零向量不共线，如果，（1）求证：A，B，D三点共线；（2）若，且，求向量的夹角【分析】（1）利用共线向量的充要条件化简求解判断即可（2）利用距离的平方转化为向量的数量积，求解向量的夹角即可【解答】解：（1）因为，所以向量共线，即A，B，D三点共线（2）因为，所以，故有向量的夹角为【点评】本题考查向量的数量积的应用，共线向量的充要条件的判断，是基本知识的考查18（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，（1）求角
14、C的大小；（2）若，求的值【分析】（1）根据可得，c2a2b2ab，然后用余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理将边化为角，然后化简即可得结果【解答】解：（1），（a+c）（ca）b（ba）0，即c2a2b2ab由余弦定理得，0C（2），即，【点评】本题考查了向量平行，正弦定理和余弦定理，属基础题19（10分）已知ABC的面积为S，且，（1）当1时，求的值；（2）当，边BC的长为2时，求ABC的周长的最大值【分析】（1）由平面向量数量积的运算及三角形的面积公式可求，当1时，tanA2，利用两角和的正切函数公式即可计算得解（2）当时，可求，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求ABC的周长：L4s
15、in（B+）+2，根据正弦函数的性质可求周长的最大值【解答】解：（1）设ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，由题意得：，即2cosAsinA，解得当1时，tanA2，则有：（2）当时，由正弦定理得，所以ABC的周长为：，所以当时，周长取最大值为6【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角形的面积公式，两角和的正切函数公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20（12分）设函数f（x）asinx+bcosx，a，b为常数，（1）当时，f（x）取最大值2，求此函数在区间上的最小值；（2）设，当b1时，不等式f（x）g（x）对恒
16、成立，求实数a的取值范围【分析】（1）根据f（x）的最大值可得，解出a，b代入f（x）然后求出其最小值即可；（2）法一：根据不等式f（x）g（x）对恒成立可得3asin2x+acos2x恒成立，然后利用三角函数的图象与性质求出ysin2x+acos2x的最值即可；法二：利用分离变量法，然后构造函数求其最大值即可【解答】解：（1）由题意得，解得，又，当x时，f（x）的最小值是1；（2）法一：asin2xsinxcosx+a0对恒成立，则a（1cos2x）sin2x+2a0，即3asin2x+acos2x恒成立，解得，故实数a的取值范围为：（，+）法二：利用分离变量法可得，只要恒成立，即求的最大值，令tanxt（t0），得利用单调性（或图象）易得函数的最小值为，则，故实数a的取值范围为：（，+）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数中的恒成立问题，考查了转化思想，属中档题