1、2018-2019学年广东省深圳市高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）已知函数f（x）定义域为M，g（x）ln（1+x）定义域N，则MN等于（）Ax|x1Bx|x1Cx|1x1D2（5分）函数yx2在区间上，2的最大值是（）AB1C4D43（5分）下列函数中，既是奇函数，在定义域内又为增函数的是（）Ay（）xByCyx2Dylog2（+x）4（5分）已知f（x）2x22x，则在下列区间中，方程f（x）0有实数解的是（）A（3，2）B（1，0）C（2，3）D（4，5）5（5分）设a，则（
2、）AabcBcbaCcabDbac6（5分）函数ylogax（a0，a1）的反函数的图象过点，则a的值为（）A2B1CD37（5分）已知yf（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x2，那么不等式的解集是（）ABC或D或8（5分）函数ylg（|x+1|）的大致图象是（）ABCD9（5分）已知函数f（x）ax3+5，且f（7）9，则f（7）（）A1B14C12D110（5分）已知函数，若方程f（x）a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（0，3）C（0，2）D（0，1）11（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，它在0，+）上是减函数，若f（lnx）f（1），则x的
3、取值范围是（）A（e1，1）B（0，e1）（1，+）C（e1，e）D（0，1）（e，+）12（5分）已知函数f（x）ax2x+1（a0），若任意x1，x21，+）且x1x2都有，则实数a的取值范围（）A1，+）B（0，1C2，+）D（0，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知幂函数yf（x）的图象过点，则log2f（8） 14（5分）函数f（x）|x22x3|的单调增区间是 15（5分）已知函数f（x），若f（x）3，则x 16（5分）若f（n）为n2+1（nN*）的各位数字之和，如142+1197，1+9+717，则f（14）17；记f1（n）f（n），f2（
4、n）f（f1（n），fk+1（n）f（fk（n），kN*，则f2018（8） 三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（10分）（1）计算：log39+（）0.5+；（2）已知2a5b100，求的值18（12分）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1x）x23x+3（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）f（x）（1+2m）x+1（mR）在上的最小值为2，求m的值19（12分）已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x0时，f（x）x（xm）且f（2）0（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）作出函数f（x）的图象并写出函数f（
5、x）的单调区间20（12分）已知f（x），（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数f（x）在（1，1）上的单调性，并说明理由21（12分）某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润f（x）、g（x）表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？22（12分）已知函数g（x）mx22mx+1+n（n
6、0）在1，2上有最大值1和最小值0（1）求m，n的值；（2）设f（x），若不等式f（log2x）2klog2x0在x2，4上有解，求实数k的取值范围2018-2019学年广东省深圳市高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）已知函数f（x）定义域为M，g（x）ln（1+x）定义域N，则MN等于（）Ax|x1Bx|x1Cx|1x1D【分析】根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可【解答】解：函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，由
7、1x0求得函数的定义域Mx|x1，和由1+x0 得，Nx|x1，它们的交集MNx|1x1故选：C【点评】本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型2（5分）函数yx2在区间上，2的最大值是（）AB1C4D4【分析】先判断函数yx2在区间上，2的单调性，再求函数yx2在区间上，2的最大值【解答】解：函数yx2在第一象限是减函数，函数yx2在区间，2上的最大值是f（）故选：C【点评】本题考查函数的性质的应用，解题时要注意幂函数单调性的应用3（5分）下列函数中，既是奇函数，在定义域内又为增函数的是（）Ay（）xByCyx2Dylog2（+x）【分析】根据函数奇偶性和单调性
8、的性质分别进行判断即可【解答】解：A函数为单调递减函数，为非奇非偶函数B函数是奇函数，但在定义域上不单调C函数是偶函数，不满足条件Df（x）+f（x）log2（x）+log2（+x）log2（+x）（+x）log210，即f（x）f（x），函数为奇函数，当x0时，f（x）为增函数，则在（，+）上函数为增函数故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键4（5分）已知f（x）2x22x，则在下列区间中，方程f（x）0有实数解的是（）A（3，2）B（1，0）C（2，3）D（4，5）【分析】利用零点存在定理，先分别求出f（x）在各个区间内两个端点处
9、的函数值，然后再进行判断【解答】解：f（1）2，f（0）0110，在（1，0）内方程f（x）0有实数解故选：B【点评】本题考查函数零点存在定理，解题时要认真审题，注意函数值的运算5（5分）设a，则（）AabcBcbaCcabDbac【分析】易知a0 0b1 c1 故 abc【解答】解析：由指、对函数的性质可知：，有abc故选：A【点评】本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识6（5分）函数ylogax（a0，a1）的反函数的图象过点，则a的值为（）A2B1CD3【分析】利用互为反函数的图象的性质即可解出【解答】解：函数ylogax（a0，a1）的反函数的图象过点，点在原函数的图象
10、上，解得a故选：C【点评】熟练掌握互为反函数的图象的性质是解题的关键7（5分）已知yf（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x2，那么不等式的解集是（）ABC或D或【分析】由函数是奇函数和当x0时，f（x）x2，求出函数的解析式并用分段函数表示，在分三种情况求不等式的解集，最后要把三种结果并在一起【解答】解：yf（x）是定义在R上的奇函数，f（0）0，设x0，则x0，当x0时，f（x）x2，f（x）x2，f（x）f（x），f（x）x+2，f（x），当x0时，由x2，解得0x，当x0时，0，符合条件，当x0时，x+2，解得x，综上，的解集是或故选：D【点评】本题的考点是奇函数性质的应用，
11、考查了由奇函数求出解析式，再根据解析式对x分类求解不等式的解集，注意f（0）0这是易忽视的地方8（5分）函数ylg（|x+1|）的大致图象是（）ABCD【分析】去掉绝对值，化简函数y，讨论x1和x1时，函数y的图象情况，得出ylg（|x+1|）的大致图象【解答】解：函数ylg（|x+1|），当x1时，ylg（x+1）的图象，是函数ylgx的图象向左平移1个单位得到的；当x1时，ylg（x1）的图象，与函数ylg（x+1）的图象关于直线x1对称，函数ylg（|x+1|）的大致图象是B故选：B【点评】本题考查了含有绝对值的函数图象的问题，解题时应去掉绝对值，化为分段函数来研究，是基础题9（5分）已
12、知函数f（x）ax3+5，且f（7）9，则f（7）（）A1B14C12D1【分析】令g（x）f（x）5ax3+，易知g（x）为奇函数，利用奇函数的性质即可求得答案【解答】解：令g（x）f（x）5ax3+，则g（x）为奇函数，所以g（7）g（7），即f（7）5f（7）5，所以f（7）5（95）4，所以f（7）1，故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性及其性质，属基础题10（5分）已知函数，若方程f（x）a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（0，3）C（0，2）D（0，1）【分析】结合方程f（x）a有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数f（
13、x）的图象即可获得解答【解答】解：由题意可知：函数f（x）的图象如下：由关于x的方程f（x）a0有三个不同的实数解，可知函数ya与函数yf（x）有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为（0，1）故选：D【点评】此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想11（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，它在0，+）上是减函数，若f（lnx）f（1），则x的取值范围是（）A（e1，1）B（0，e1）（1，+）C（e1，e）D（0，1）（e，+）【分析】当lnx0时，因为f（x）在区间0，+）上是减函数，所以f（lnx）f（1）等价于lnx
14、1； 当lnx0时，lnx0，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（lnx）f（1）等价于f（lnx）f（1）x1时，lnx0，f（lnx）f（1）成立由此能求出x的取值范围【解答】解：函数f（x）是R上的偶函数，在0，+）上是减函数，f（lnx）f（1），当lnx0时，因为f（x）在区间0，+）上是减函数，所以f（lnx）f（1）等价于lnx1，解得1xe； 当lnx0时，lnx0，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（lnx）f（1）等价于f（lnx）f（1），由函数f（x）在区间0，+）上是减函数，得到lnx1，即lnx1，解得e1x1当x1时，lnx0，f（lnx）f（1）
15、成立综上所述，e1xex的取值范围是：（e1，e）故选：C【点评】本题在已知抽象函数的单调性和奇偶性的前提下，求解关于x的不等式，着重考查了函数的奇偶性与单调性等知识点，属于中档题12（5分）已知函数f（x）ax2x+1（a0），若任意x1，x21，+）且x1x2都有，则实数a的取值范围（）A1，+）B（0，1C2，+）D（0，+）【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：f（x）2ax1，x1，a0时，f（x）0，不合题意，a0时，只需2ax11，即a在1，+）恒成立，故a（）max1，故a的范围是1，+），故选：A【点评】本题考查了导数的应用以及分类
16、讨论思想，转化思想，是一道中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知幂函数yf（x）的图象过点，则log2f（8）【分析】求出函数的解析式，求出f（8）的值，代入即可【解答】解：设函数的解析式是yx，代入（，）得：，解得：，故f（8），故log2f（8），故答案为：【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查幂函数的定义以及对数的运算，是一道基础题14（5分）函数f（x）|x22x3|的单调增区间是1，1和3，+）【分析】将函数的解析式化为分段函数，结合二次函数的图象和性质，分析函数的单调性，可得答案【解答】解：函数f（x）|x22x3|，当x1时，函数为减函数，当
17、1x1时，函数为增函数，当1x3时，函数为减函数，当x3时，函数为增函数，综上可得函数f（x）|x22x3|的单调增区间是：1，1和3，+）故答案为：1，1和3，+）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键15（5分）已知函数f（x），若f（x）3，则x2或【分析】当x0时，f（x）x+13，当x0时，f（x）x23，由此能求出x的值【解答】解：函数f（x），f（x）3，当x0时，f（x）x+13，解得x2，当x0时，f（x）x23，解得x或x（舍），综上x的值为2或故答案为：2或【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求
18、解能力，考查函数与方程思想，是基础题16（5分）若f（n）为n2+1（nN*）的各位数字之和，如142+1197，1+9+717，则f（14）17；记f1（n）f（n），f2（n）f（f1（n），fk+1（n）f（fk（n），kN*，则f2018（8）5【分析】本题可根据题意逐步代入，通过计算前几个算式可得出fk（8）是一个周期数列，则即可得出结果【解答】解：由题意，可知：82+165，6+511，f（8）11，f1（8）11；则f2（8）f（11），112+1122，1+2+25，f2（8）5；则f3（8）f（5），52+126，2+68，f3（8）8；则f4（8）f（8），82+165，6
19、+511，f4（8）11；fk（8）是以3为最小正周期的一个周期数列201836722，f2018（8）f2（8）5故答案为：5【点评】本题主要考查函数与数列的综合，以及周期数列的判定和求具体的公式本题属中档题三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（10分）（1）计算：log39+（）0.5+；（2）已知2a5b100，求的值【分析】（1）直接利用指数与对数的运算性质即可求解；（2）结合指数与对数的相互转化及对数的换底公式，对数的运算性质即可求解【解答】解：（1）原式+12+ee；（5分）（2）由已知，a，b，+（lg2+lg5）（10分）【点评】本题
20、主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的简单应用18（12分）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1x）x23x+3（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）f（x）（1+2m）x+1（mR）在上的最小值为2，求m的值【分析】（1）令t1x，则x1t，利用换元法，根据f（1x）x23x+3可得函数f（x）的解析式；（2）根据（1）中函数f（x）的解析式，求出函数g（x）的解析式，进而根据二次函数的图象和性质，进行分类讨论，可得答案【解答】解：（1）令t1x，则x1tf（1x）x23x+3f（t）（1t）23（1t）+3t2+t+1即f（x）x2+x+1（2）由（1）得g（
21、x）f（x）（1+2m）x+1x22mx+2（xm）2+2m2，x若m，则当xm时，g（x）取最小值2m22，解得m2，或m2（舍去）若m，则当x时，g（x）取最小值3m2，解得m（舍去）综上可得：m2【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的最值及其几何意义，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键19（12分）已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x0时，f（x）x（xm）且f（2）0（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）作出函数f（x）的图象并写出函数f（x）的单调区间【分析】（1）由已知求得m，若x0，则x0，代入已知函数解析式求解函数f（x）在R上的解析式；（2）直接
22、作出函数f（x）的图象，由图可得函数f（x）的单调区间【解答】解：（1）由f（2）0得，m2，（1分）若x0，则x0，f（x）f（x）x（x2）x（x+2）则f（x）x（x+2），x0故f（x）；5（2）函数f（x）的图象如图所示：9单调增区间：（，1），（1，+），单调减区间：（1，1）（12分）【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查分段函数图象的作法，是中档题20（12分）已知f（x），（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数f（x）在（1，1）上的单调性，并说明理由【分析】（1）结合函数奇偶性的定义进行证明即可；（2）结合函数单调性的定义进行证明【解答】解：（
23、1）f（x） 的定义域为R，f（x）f（x），则f（x）为奇函数（2）设1x1x21，则f（x1）f（x2），1x1x21，1x1x21，x2x10，即f（x1）f（x2）0，则f（x1）f（x2）即f（x）在（1，1）上是增函数【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，结合奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键21（12分）某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润f（x）、g（x）表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹到10万元
24、资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？【分析】（1）由A产品的利润与投资额成正比，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为10x万元这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解【解答】解：（1）f（x）k1x，g（x）k2，f（1）0.25k1，g（4）2k22.5，f（x）0.25x（x0），g（x）1.25（x0），（2）设B产品的投资额
25、为x万元，则A产品的投资额为10x万元yf（10x）+g（x）0.25（10x）+1.25（0x10），令t，则y0.25t2+1.25t+2.5，所以当t2.5，即x6.25万元时，收益最大，ymax万元【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一22（12分）已知函数g（x）mx22mx+1+n（n0）在1，2上有最大值1和最小值0（1）求m，n的值；（2）设f（x），若不等式f（log2x）2klog2
26、x0在x2，4上有解，求实数k的取值范围【分析】（1）对m分三种情况讨论，建立方程进行求解；（2）将不等式f（log2x）2klog2x0进行转化，分离出即在x2，4上有解，运用换元法，求出函数最大值即可【解答】解：（1）g（x）m（x1）2+1+nm，当m0时，g（x）在1，2上是增函数，即，解得，当m0时，g（x）1+n，无最大值和最小值；当m0时，g（x）在1，2上是减函数，即，解得，n0，n1舍去综上，m，n的值分别为1、0（2）由（1）知，f（log2x）2klog2x0在x2，4上有解等价于 在x2，4上有解，即在x2，4上有解，令，则2kt22t+1，x2，4，记（t）t22t+1，k的取值范围为【点评】本题考查函数的最值以及函数不等式有解问题，属于中档题目