1、2018-2019学年广东省广州六中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知集合，则AB（）Ax|1x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|0x12（5分）设a，bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是（）Aba0Ba3+b30Cb+a0Da2b203（5分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为（）AmB25mC50mD50m4（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）
2、ABCD5（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）6（5分）如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm假若点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是（）A6BC4D7（5分）九章算术“竹九节”问题，现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共为升，下面3节的容积共升，则第4节的容积为（）升ABCD18（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量（bc，cosC），（a，cosA），则cosA的值等于（）ABCD9（5分）已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a5a98，b2+b5
3、+b86，则的值是（）ABCD10（5分）设数列an满足a12，an+11，记数列an的前n项之积为Tn，则T2018（）A1B2CD11（5分）数列的前25项和为（）ABCD12（5分）已知定义域为R的函数的满足f（x）4f（x+2），当x0，2）时，设f（x）在2n2，2n）上的最大值为，且an的前n项和为Sn，若Snk对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（）A（，+）B，+）C2，+）D，+）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13（5分）|1，|2，且，则与的夹角为 14（5分）已知等比数列an的前n项和，则an的通项公式是 15（5分）在ABC中，角A、B、C的对
4、边分别为a、b、c，下列四个论断正确的是 （把你认为正确论断的序号都写上）若，则B；若B，b2，a，则满足条件的三角形共有两个；若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则ABC为正三角形；若a5，c2，ABC的面积SABC4，则cosB16（5分）已知数列an满足，则数列的最大值为 三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答题必须写出文字说明，证明过程和演算步骤）17（10分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2，cosB（1）若b4，求sinA的值；（2）若ABC的面积SABC4，求b、c的值18（12分）已知等比数列an满足a3+a412，a1a
5、632且公比q1（1）求an的通项公式（2）若，求bn的前n项和Tn19（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求k的值及f（x）的表达式（）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值20（12分）已知函数f（x）Asin（x+），xR（其中）的图象如图所示（1）求函数f（x）的解析
6、式及其对称方程；（2）当时，方程f（x）2a3有两个不等的实根x1，x2，求实数a的取值范围，并求此时x1+x2的值21（12分）设数列an的前n项和为Sn，且（1）求证：数列an+2n为等比数列，并求数列an的通项公式（2）设cnlog2（an+2n）2，数列dn满足：，数列dn的前n项和为Tn，求使不等式成立的最小正整数n22（12分）已知幂函数f（x）（p23p+3）满足f（2）f（4）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）f2（x）+mf（x），x1，9，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由（3）若函数h（x）nf（x+3），是否存
7、在实数a，b（ab），使函数h（x）在a，b上的值域为a，b？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由2018-2019学年广东省广州六中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知集合，则AB（）Ax|1x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|0x1【分析】解分式不等式和一元二次不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案【解答】解：集合，解得：Ax|1x1，Bx|0x1则ABx|1x1x|0x1x|0x1；故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）设a，bR，若a|b|0，则下列不等式
8、中正确的是（）Aba0Ba3+b30Cb+a0Da2b20【分析】取a2，b1代入计算可排除A，B，D【解答】解：因为a|b|0，a|b|当a2，b1时，ba30，排除A；a3+b323170，排除B； a2b222130，排除D故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题3（5分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为（）AmB25mC50mD50m【分析】由ACB与BAC，求出ABC的度数，根据sinACB，sinABC，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长【解
9、答】解：在ABC中，AC50m，ACB45，CAB105，即ABC30，则由正弦定理，得：AB50m故选：C【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键4（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）ABCD【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，PAC在该正方体各个面上的射影【解答】解：从上下方向上看，PAC的投影为图所示的情况；从左右方向上看，PAC的投影为图所示的情况；从前后方向上看，PAC的投影为图所示的情况；故选：
10、A【点评】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成5（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）AB，CD【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：对于A，2，当且仅当x1时取等号因为只有一个正确，故选A【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键6（5分）如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm假若点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是（）A6BC4D【分析】由题意画出图形，得到展开后扇形为半圆，再由勾股定理求解【解
11、答】解：由题意，圆锥底面半径为2，母线长为4，则展开后所得扇形的半径为4，弧长为4，则展开后所得扇形的圆心角为，如图：AB4，AP2，BP故选：B【点评】本题考查旋转体表面上最短距离的求法，考查数学转化思想方法，是基础题7（5分）九章算术“竹九节”问题，现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共为升，下面3节的容积共升，则第4节的容积为（）升ABCD1【分析】先利用等差数列的求和公式求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第4节的容积【解答】解：设等差数列an的首项a1，公差d，由题意可得，a1+a2+a3，a7+a8+a9，a2，a8，d，a4a2+2d故选：C【
12、点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，解题时要注意公式的灵活运用8（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量（bc，cosC），（a，cosA），则cosA的值等于（）ABCD【分析】根据两个向量平行的条件，写出坐标形式的表达式，得到关于三角形角和边的关系，再由正弦定理变化整理，逆用两角和的正弦公式，得到角A的余弦值【解答】解：（bc）cosAacosC0，再由正弦定理得sinBcosAsinCcosA+cosCsinAsinBcosAsin（C+A）sinB，即cosA故选：C【点评】通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，一般的向量
13、问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补充9（5分）已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a5a98，b2+b5+b86，则的值是（）ABCD【分析】由等比数列和等差数列的性质可知：a52，b52，coscos（）【解答】解：由数列an是等比数列，由等比数列的性质可知：a1a9a3a7，则a1a5a98，即8，a52，数列bn是等差数列，由等差数列的性质可知：b2+b84+b62b5，b2+b5+b86，即3b56，b52，coscos（）cos，故选：C【点评】本题考查等比数列及等差数列的性质，考查特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题10（5分
14、）设数列an满足a12，an+11，记数列an的前n项之积为Tn，则T2018（）A1B2CD【分析】依题意，数列an是以4为周期的函数数列，可求得a1a2a3a4a5a6a7a8a2013a2014a2015a20161，从而可得答案【解答】解：a12，an+11，a2，a3，a43，a52，即an+4an，数列an是以4为周期的函数，又a1a2a3a4a5a6a7a8a2005a2006a2007a20081，Tn为数列an的前n项之积，T2018（a1a2a3a4）（a5a6a7a8）（a2013a2014a2015a2016）a2017a2018a1a2，故选：D【点评】本题考查数列的
15、递推式的应用，突出考查数列的求和，分析得到数列an是以4为周期的函数数列，且a1a2a3a41是关键，考查推理与运算能力，属于中档题11（5分）数列的前25项和为（）ABCD【分析】直接利用数列的通项公式的应用求出结果【解答】解：数列的前25项和为：+，故选：B【点评】本题考查的知识要点：数列的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型12（5分）已知定义域为R的函数的满足f（x）4f（x+2），当x0，2）时，设f（x）在2n2，2n）上的最大值为，且an的前n项和为Sn，若Snk对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（）A（，+）B，+）C2，+）D，+）【分析】运
16、用二次函数的最值和指数函数的单调性求得x0，2）的f（x）的最大值，由递推式可得an为首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范围【解答】解：当x0，2）时，可得0x1时，f（x）的最大值为f（）；1x2时，f（x）的最大值为f（）1，即有0x2时，f（x）的最大值为；当2x4时，f（x）f（x2）的最大值为；当4x8时，f（x）f（x2）的最大值为；可得an为首项为，公比为的等比数列，可得Sn（1），由Snk对任意的正整数n均成立，可得k故选：B【点评】本题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题
17、二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13（5分）|1，|2，且，则与的夹角为【分析】根据，且可得进而求出1然后再代入向量的夹角公式cos再结合0，即可求出【解答】解：，且（）0|11|2cos0，；故答案为【点评】本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易解题的关键是熟记向量的夹角公式cos同时要注意0，这一隐含条件！14（5分）已知等比数列an的前n项和，则an的通项公式是【分析】通过Sn3n1与Sn+13n+11作差可知an+123（n+1）1，进而可得结论【解答】解：Sn3n1，Sn+113n+11，an+1（3n+11）（3n1）23（n+1）1，又a1S1312
18、满足上式，数列an的通项公式，故答案为：【点评】本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题15（5分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列四个论断正确的是（把你认为正确论断的序号都写上）若，则B；若B，b2，a，则满足条件的三角形共有两个；若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则ABC为正三角形；若a5，c2，ABC的面积SABC4，则cosB【分析】根据正余弦定理和三角形内角和定理依次判断即可得答案【解答】解：对于：由正弦定理：，可得cosBsinAsinBsinA，即cosBsinB，0B，B对对于：由余弦定理可得：b2a2+c22acco
19、sB，即c2c10，可得c，三角形只有1个；不对对于：a，b，c成等差数列，即2ba+c，sinA，sinB，sinC成等比数列，即sin2BsinAsinC正弦定理，可得b2acABC为正三角形；对对于：a5，c2，ABC的面积SABCacsinB4，即sinB，B或cosB不对故答案为：【点评】本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，角的判断属于中档题16（5分）已知数列an满足，则数列的最大值为【分析】由已知数列递推式可得数列an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列，求其通项公式，代入，由求得n值，则答案可求【解答】解：由an2an1+1，得an+12（an1+1），a1+120，数
20、列an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，由，解得nN*，n6，即数列的最大值为故答案为：【点评】本题考查数列递推式，训练了构造等比数列求数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答题必须写出文字说明，证明过程和演算步骤）17（10分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2，cosB（1）若b4，求sinA的值；（2）若ABC的面积SABC4，求b、c的值【分析】（1）由cosB0，且0B，可得sinB再利用正弦定理即可得出（2）由SABCacsinB，解得c，再利用余弦定理即可得出【解答】解：（1）cosB0，且0B，sin
21、B由正弦定理得，sinA（2）SABCacsinB4，c5由余弦定理得b2a2+c22accosB22+5222517，b【点评】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）已知等比数列an满足a3+a412，a1a632且公比q1（1）求an的通项公式（2）若，求bn的前n项和Tn【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解：（1）等比数列an满足a3+a412，a1a632，a1a632，a3a432且a3+a412，q1a34，a48，
22、q2（2）由（1）知，（1）（2）得：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型19（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求k的值及f（x）的表达式（）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小
23、值【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元我们可得C（0）8，得k40，进而得到建造费用为C1（x）6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值【解答】解：（）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为再由C（0）8，得k40，因此而建造费用为C1（x）6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（），
24、令f（x）0，即解得x5，（舍去）当0x5时，f（x）0，当5x10时，f（x）0，故x5是f（x）的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一20（12分）已知函数f（x）Asin（x+），xR（其中）的图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式及其对称方程；（2）当时，方程f（x）2a3有两个不等的实根x1，x2，求实数a的取值范围
25、，并求此时x1+x2的值【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求出它的对称方程（2）根据题意，当时，yf（x）的图象与直线y2a3有两个不同的交点，可得，从而求得x1+x2的值【解答】解：（1）由图知，由，即，故，所以又，所以，故令则，所以f（x）的对称轴方程为（2），f（x）2sin（2x+）1，2所以方程f（x）2a3有两个不等实根时，yf（x）的图象与直线y2a3有两个不同的交点，当时，f（x1）f（x2），所以，故【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐
26、标求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于基础题21（12分）设数列an的前n项和为Sn，且（1）求证：数列an+2n为等比数列，并求数列an的通项公式（2）设cnlog2（an+2n）2，数列dn满足：，数列dn的前n项和为Tn，求使不等式成立的最小正整数n【分析】（1）直接利用定义进行证明（2）利用裂项相消法和分组法求出数列的和【解答】证明：（1）当n1时，得a10，则a1+2120（1），得，n2时，an2an2an12n+4整理得，an+2n2an1+4（n1）2an1+2（n1）（2）由（1）（2）得证数列an+2n为等比数列，
27、首项a1+22，公比为2的等比数列（2）cnlog2（an+2n）2n2，得n2016所以，使得成立的最小整数n的值为2016【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型22（12分）已知幂函数f（x）（p23p+3）满足f（2）f（4）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）f2（x）+mf（x），x1，9，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由（3）若函数h（x）nf（x+3），是否存在实数a，b（ab），使函数h（x）在a，b上的值域为a，b？若存在，求出实数
28、n的取值范围；若不存在，说明理由【分析】（1）根据幂函数f（x）是幂函数，可得p23p+31，求解p，可得解析式；（2）由函数g（x）f2（x）+mf（x），x1，9，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得m的值；（3）由函数h（x）nf（x+3），求解h（x）的解析式，判断其单调性，根据在a，b上的值域为a，b，转化为方程有解问题求解n的取值范围【解答】解：（1）f（x）是幂函数，得p23p+31，解得：p1或p2当p1时，f（x），不满足f（2）f（4）当p2时，f（x），满足f（2）f（4）故得p2，函数f（x）的解析式为f（x）；（2）由函数g（x）f2（x）+mf（x），即g（
29、x），令t，x1，9，t1，3，记k（x）t2+mt，其对称在t，当1，即m2时，则k（x）mink（1）1+m0，解得：m1；当13时，即6m2，则k（x）mink（）0，解得：m0，不满足，舍去；当时，即m6时，则k（x）mink（3）3m+90，解得：m3，不满足，舍去；综上所述，存在m1使得g（x）的最小值为0；（3）由函数h（x）nf（x+3）n在定义域内为单调递减函数，若存在实数存在实数a，b（ab），使函数h（x）在a，b上的值域为a，b则h（x）两式相减：可得：（a+3）（b+3）将代入得，na+a+1令，ab，0t，得：nt2t2（t）2故得实数n的取值范围（，2【点评】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键属于难题