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2018-2019学年天津市宝坻区高一(下)期中数学试卷(含答案解析)

1、2018-2019学年天津市宝坻区高一(下)期中数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)下列命题中正确的是()A有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱2(5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知a1,b1,c,则角C()A30B60C90D1203(5分)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯

2、视图为全等的等股直角三角形,如果直角三角形的直角边长为a,那么这个几何体的体积为()Aa3Ba3Ca3Da34(5分)下列命题中正确的个数是()平面与平面相交,它们只有有限个公共点若直线l上有无数个点不在平面内,则l若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行已知平面,和异面直线a,b,满足a,a,b,b,则A0B1C2D35(5分)已知边长为1的正方体的所有顶点在一个球面上,则这个球的表面积为()ABC3D46(5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形7(5分)已知边长为1的菱形ABCD

3、中,A,则用斜二测面法画出这个菱形的直观图的面积为()ABCD8(5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则acosB+bcosA()AaBbCcDccosC二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9(5分)若点M在直线l上,则M,l间的关系可用集合语言表示为 10(5分)宝坻区在新城建设中,要把一个三角形的区域改造成区内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别2千米,3千米,4千米,则这个区域的面积为 平方千米11(5分)在长方体ABCD一A1B1C1D1中,ABAA12AD,点E,F分别是AB,CC1的中点,则异面直线AA1与EF所成的角的正切值为 12(5分

4、)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,A45,则角C 13(5分)正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为,底面边长为2,则侧面与底面所成二面角的大小为 14(5分)在钝角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a1,b3,则最大边c的取值范围是 三、解答题:本大题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤15(12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A60,2a3b()求sinB的值;()若b2,求边c的值16(12分)如图,已知四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,ADCD,AB

5、CD,CD2AB()求证:平面PAB平面PAD()在侧棱PC上是否存在点M,使得BM平面PAD,若存在,确定点M位置;若不存在,说明理由17(13分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2Acos2B+sin2CsinAsinC()求角B的值;()若b2,且ABC的面积为2,求a+c的值18(13分)如图,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形且AD2AB,平面PAD平面ABCD,PAD是等边三角形,点E是AD的中点()求证:BEPC;()求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值2018-2019学年天津市宝坻区高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本

6、大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)下列命题中正确的是()A有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱【分析】在A中,有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱;在B中,由棱柱的定义直接判断;在C中,用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台;在D中,有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体不

7、一定是棱柱,【解答】解:在A中,如图的几何体,有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体不是棱柱,故A错误;在B中,由棱柱的定义得:有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱,故B正确;在C中,用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台,故C错误;在D中,如图的几何体,有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱,故D错误故选:B【点评】本题考查命题真假的判断,考查棱柱、棱台等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2(5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知a1,b1,c,则角C()A30B60C90

8、D120【分析】由余弦定理可得,cosC,代入即可求解【解答】解:a1,b1,c由余弦定理可得,cosC0C,C故选:D【点评】本题主要考查了余弦定理的简单应用,属于基础试题3(5分)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等股直角三角形,如果直角三角形的直角边长为a,那么这个几何体的体积为()Aa3Ba3Ca3Da3【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解:根据几何体得三视图转换为几何体为:底面为直角边长为a的等腰直角三角形,高为a的三棱锥故:V故选:A【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考

9、察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型4(5分)下列命题中正确的个数是()平面与平面相交,它们只有有限个公共点若直线l上有无数个点不在平面内,则l若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行已知平面,和异面直线a,b,满足a,a,b,b,则A0B1C2D3【分析】在中,平面与平面相交,它们有无数个公共点;在中,l与平行或相交;在中,这两条直线相交、平行或异面;在中,由面面平行的判定定理得,【解答】解:在中,平面与平面相交,它们有无数个公共点,故错误;在中,若直线l上有无数个点不在平面内,则l与平行或相交,故错误;在中,若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线相交、平行或异

10、面,故错误;在中,已知平面,和异面直线a,b,满足a,a,b,b,则由面面平行的判定定理得,故正确故选:B【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题5(5分)已知边长为1的正方体的所有顶点在一个球面上,则这个球的表面积为()ABC3D4【分析】由已知求出正方体对角线长,得到外接球的半径,代入球的表面积公式即可【解答】解:由题意,正方体的中心为其外接球的球心,正方体的棱长为1,正方体的对角线长为,则外接球的半径为,外接球的表面积为故选:C【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法,是基础的计算题6(5分)在ABC

11、中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【分析】由正弦定理,二倍角的正弦函数公式化简已知可求得sin2Asin2C,结合范围2A,2C(0,2),可求2A2C,或2A+2C,解得AC,或A+C即可得解【解答】解:,可得acosAccosC,由正弦定理可得:sinAcosAsinCcosC,可得:sin2Asin2C,A,C(0,),可得:2A,2C(0,2),2A2C,或2A+2C,解得AC,或A+C,即ABC是等腰或直角三角形故选:D【点评】本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用,考查

12、了计算能力和转化思想,属于基础题7(5分)已知边长为1的菱形ABCD中,A,则用斜二测面法画出这个菱形的直观图的面积为()ABCD【分析】求出菱形ABCD的面积,再根据平面图形的面积与斜二测面法的直观图面积比为2:1,求出即可【解答】解:菱形ABCD中,AB1,A,则菱形的面积为S菱形ABCD2SABD211sin;所以用斜二测面法画出这个菱形的直观图面积为S故选:D【点评】本题考查了平面图形面积与斜二测法画直观图的面积比应用问题,是基础题8(5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则acosB+bcosA()AaBbCcDccosC【分析】利用正弦定理列出关系式,表示出a,b

13、,c,将表示出的a与b代入原式,变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,即可得到结果【解答】解:由正弦定理2R,即a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,代入acosB+bcosA中得:2RsinAcosB+2RsinBcosA2R(sinAcosB+cosAsinB)2Rsin(A+B)2RsinCc故选:C【点评】此题考查了正弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9(5分)若点M在直线l上,则M,l间的关系可用集合语言表示为Ml【分析】利用点和直线间的集合语言直接求解【解答】解:点M在直线l上,

14、则M,l间的关系可用集合语言表示为:Ml故答案为:Ml【点评】本题考查点和直线间的集合语言的求法,考查点与直线的位置关系等基础知识,是基础题10(5分)宝坻区在新城建设中,要把一个三角形的区域改造成区内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别2千米,3千米,4千米,则这个区域的面积为平方千米【分析】利用海伦公式直接求面积即可【解答】解:由海伦公式得,P;S;故这个三角形区域的面积是平方千米故答案为:【点评】本题考查了海伦公式的应用,属于基础题11(5分)在长方体ABCD一A1B1C1D1中,ABAA12AD,点E,F分别是AB,CC1的中点,则异面直线AA1与EF所成的角的正切值为【分析

15、】由已知画出图形,找出异面直线AA1与EF所成的角,求解三角形得答案【解答】解:如图,设AD1,则ABAA12AD2E,F分别是AB,CC1的中点,BE1,BC1,CF1,CEAA1CC1,EFC为异面直线AA1与EF所成的角,则tanEFC故答案为:【点评】本题考查异面直线所成角,考查数形结合的解题思想方法,是基础题12(5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,A45,则角C75或15【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值,结合B的范围可求B的值,根据三角形的内角和定理即可解得C的值【解答】解:a,b,A45,由正弦定理,可得sinB,B(0,180),可得B

16、60,或120,C180AB75,或15故答案为:75,或15【点评】本题主要考查了正弦定理,特殊角的三角函数值,三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题13(5分)正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为,底面边长为2,则侧面与底面所成二面角的大小为【分析】由正四棱锥SABCD的体积为,底面边长AB2,ACBDO,连结SO,求出正四棱锥SABCD的高SO,取BC中点E,连结OE,SE,则OEBC,SEBC,SEO是侧面与底面所成二面角的大小,由此能求出侧面与底面所成二面角的大小【解答】解:如图,正四棱锥SABCD的体积为,底面边长AB2,A

17、CBDO,连结SO,则SO是正四棱锥SABCD的高,VSABCD,解得SO,取BC中点E,连结OE,SE,则OEBC,SEBC,SEO是侧面与底面所成二面角的大小,OE1,tanSEO,SEO,侧面与底面所成二面角的大小为故答案为:【点评】本题考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题14(5分)在钝角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a1,b3,则最大边c的取值范围是(,4)【分析】由a与b的值,利用三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得出c的取值范围,然后再由三角形ABC为钝角三角形,得到cos

18、C小于0,利用余弦定理表示出cosC,把a与b的值代入,根据cosC小于0列出关于c的不等式,求出不等式的解集,取c范围的公共部分,即可得到最大边c的取值范围【解答】解:a1,b3,31c3+1,即2c4,又ABC为钝角三角形,cosC0,根据余弦定理得cosC0,即a2+b2c20,即c210,解得:c,c4,则最大边c的取值范围是(,4)故答案为:(,4)【点评】此题考查了三角形的边角关系,余弦定理,以及余弦函数的图象与性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键三、解答题:本大题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤15(12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,

19、c,已知A60,2a3b()求sinB的值;()若b2,求边c的值【分析】()在ABC中,由正弦定理即可解得sinB的值()由已知利用余弦定理可得:c22c50,即可解得c的值【解答】解:()在ABC中,由正弦定理,及A60,2a3b,可得()由b2及2a3b,可得a3,由余弦定理a2b2+c22bccosA,即c22c50,可得【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题16(12分)如图,已知四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,ADCD,ABCD,CD2AB()求证:平面PAB平面PAD()在侧棱PC上是否存

20、在点M,使得BM平面PAD,若存在,确定点M位置;若不存在,说明理由【分析】(I)证明AB平面PAD即可得出结论;(II)当M为PC的中点时,可证BM平面PAD【解答】()证明:因为PD平面ABCD,所以PDAB又因为ADCD,ABCD,所以ADAB又ADPDD,AD,PD平面PAD可得AB平面PAD又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD()解:当点M是PC的中点时,BM平面PAD证明如下:设PD的中点为N,连接MN,AN,易得MN是PCD的中位线,所以MNCD,由题设可得ABCD,CD2AB,所以MNAB,MNAB所以四边形ABMN为平行四边形,所以BMAN又BM平面PAD,AN平面PA

21、D,所以BM平面PAD【点评】本题考查了线面垂直,线面平行的判定,属于中档题17(13分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2Acos2B+sin2CsinAsinC()求角B的值;()若b2,且ABC的面积为2,求a+c的值【分析】()由题意利用正弦定理可得a2+c2b2ac,由余弦定理可求得,结合范围0B,可得()由三角形的面积公式解得ac8,根据余弦定理即可解得a+c的值【解答】解:()由题意知1sin2A1sin2B+sin2CsinAsinC,即sin2A+sin2Csin2BsinAsinC,由正弦定理得a2+c2b2ac,由余弦定理得,又因为0B,所以(

22、)因为,由面积公式得,即ac8由得a2+c2b2+ac20,故(a+c)236,即a+c6【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题18(13分)如图,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形且AD2AB,平面PAD平面ABCD,PAD是等边三角形,点E是AD的中点()求证:BEPC;()求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值【分析】(I)连接PE,CE,证明BECE,PE平面ABCD,于是BE平面PCE,从而得出BEPC;(II)设AB1,求出PE,BE,PB,在RtPBE中计算sinPBE即可得出答案【解答】(

23、)证明:ABCD为矩形且AD2AB,E为AD的中点,ABE和CDE都是等腰直角三角形,AEBDEC,BEC,BECE连接PE,PAD是等边三角形,E是AD的中点所以PEAD又平面PAD平面ABCD,PE平面PAD,平面PAD平面ABCDAD所以PE平面ABCD又BE平面ABCD,所以BEPE又CEPEE,CE,PE平面PCE所以BE平面PCE又PC平面PCE,所以BEPC()解:由()知PE平面ABCD即直线PB与平面ABCD所成的角为PBE设AD2,则在RtABE中,ABAE1,所以在等边PAD中,AD2,所以在RtPBE中,所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质,线面角的计算,属于中档题