1、2018-2019学年天津市宝坻区高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）下列命题中正确的是（）A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱2（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a1，b1，c，则角C（）A30B60C90D1203（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯
2、视图为全等的等股直角三角形，如果直角三角形的直角边长为a，那么这个几何体的体积为（）Aa3Ba3Ca3Da34（5分）下列命题中正确的个数是（）平面与平面相交，它们只有有限个公共点若直线l上有无数个点不在平面内，则l若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行已知平面，和异面直线a，b，满足a，a，b，b，则A0B1C2D35（5分）已知边长为1的正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的表面积为（）ABC3D46（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形7（5分）已知边长为1的菱形ABCD
3、中，A，则用斜二测面法画出这个菱形的直观图的面积为（）ABCD8（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则acosB+bcosA（）AaBbCcDccosC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）若点M在直线l上，则M，l间的关系可用集合语言表示为 10（5分）宝坻区在新城建设中，要把一个三角形的区域改造成区内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别2千米，3千米，4千米，则这个区域的面积为 平方千米11（5分）在长方体ABCD一A1B1C1D1中，ABAA12AD，点E，F分别是AB，CC1的中点，则异面直线AA1与EF所成的角的正切值为 12（5分
4、）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，A45，则角C 13（5分）正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为，底面边长为2，则侧面与底面所成二面角的大小为 14（5分）在钝角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1，b3，则最大边c的取值范围是 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤15（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A60，2a3b（）求sinB的值；（）若b2，求边c的值16（12分）如图，已知四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADCD，AB
5、CD，CD2AB（）求证：平面PAB平面PAD（）在侧棱PC上是否存在点M，使得BM平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由17（13分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2Acos2B+sin2CsinAsinC（）求角B的值；（）若b2，且ABC的面积为2，求a+c的值18（13分）如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形且AD2AB，平面PAD平面ABCD，PAD是等边三角形，点E是AD的中点（）求证：BEPC；（）求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值2018-2019学年天津市宝坻区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本
6、大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）下列命题中正确的是（）A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱【分析】在A中，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱；在B中，由棱柱的定义直接判断；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；在D中，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不
7、一定是棱柱，【解答】解：在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B中，由棱柱的定义得：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故B正确；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故C错误；在D中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱，故D错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查棱柱、棱台等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a1，b1，c，则角C（）A30B60C90
8、D120【分析】由余弦定理可得，cosC，代入即可求解【解答】解：a1，b1，c由余弦定理可得，cosC0C，C故选：D【点评】本题主要考查了余弦定理的简单应用，属于基础试题3（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等股直角三角形，如果直角三角形的直角边长为a，那么这个几何体的体积为（）Aa3Ba3Ca3Da3【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：底面为直角边长为a的等腰直角三角形，高为a的三棱锥故：V故选：A【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考
9、察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型4（5分）下列命题中正确的个数是（）平面与平面相交，它们只有有限个公共点若直线l上有无数个点不在平面内，则l若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行已知平面，和异面直线a，b，满足a，a，b，b，则A0B1C2D3【分析】在中，平面与平面相交，它们有无数个公共点；在中，l与平行或相交；在中，这两条直线相交、平行或异面；在中，由面面平行的判定定理得，【解答】解：在中，平面与平面相交，它们有无数个公共点，故错误；在中，若直线l上有无数个点不在平面内，则l与平行或相交，故错误；在中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异
10、面，故错误；在中，已知平面，和异面直线a，b，满足a，a，b，b，则由面面平行的判定定理得，故正确故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题5（5分）已知边长为1的正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的表面积为（）ABC3D4【分析】由已知求出正方体对角线长，得到外接球的半径，代入球的表面积公式即可【解答】解：由题意，正方体的中心为其外接球的球心，正方体的棱长为1，正方体的对角线长为，则外接球的半径为，外接球的表面积为故选：C【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，是基础的计算题6（5分）在ABC
11、中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得sin2Asin2C，结合范围2A，2C（0，2），可求2A2C，或2A+2C，解得AC，或A+C即可得解【解答】解：，可得acosAccosC，由正弦定理可得：sinAcosAsinCcosC，可得：sin2Asin2C，A，C（0，），可得：2A，2C（0，2），2A2C，或2A+2C，解得AC，或A+C，即ABC是等腰或直角三角形故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查
12、了计算能力和转化思想，属于基础题7（5分）已知边长为1的菱形ABCD中，A，则用斜二测面法画出这个菱形的直观图的面积为（）ABCD【分析】求出菱形ABCD的面积，再根据平面图形的面积与斜二测面法的直观图面积比为2：1，求出即可【解答】解：菱形ABCD中，AB1，A，则菱形的面积为S菱形ABCD2SABD211sin；所以用斜二测面法画出这个菱形的直观图面积为S故选：D【点评】本题考查了平面图形面积与斜二测法画直观图的面积比应用问题，是基础题8（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则acosB+bcosA（）AaBbCcDccosC【分析】利用正弦定理列出关系式，表示出a，b
13、，c，将表示出的a与b代入原式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，即可得到结果【解答】解：由正弦定理2R，即a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，代入acosB+bcosA中得：2RsinAcosB+2RsinBcosA2R（sinAcosB+cosAsinB）2Rsin（A+B）2RsinCc故选：C【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）若点M在直线l上，则M，l间的关系可用集合语言表示为Ml【分析】利用点和直线间的集合语言直接求解【解答】解：点M在直线l上，
14、则M，l间的关系可用集合语言表示为：Ml故答案为：Ml【点评】本题考查点和直线间的集合语言的求法，考查点与直线的位置关系等基础知识，是基础题10（5分）宝坻区在新城建设中，要把一个三角形的区域改造成区内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别2千米，3千米，4千米，则这个区域的面积为平方千米【分析】利用海伦公式直接求面积即可【解答】解：由海伦公式得，P；S；故这个三角形区域的面积是平方千米故答案为：【点评】本题考查了海伦公式的应用，属于基础题11（5分）在长方体ABCD一A1B1C1D1中，ABAA12AD，点E，F分别是AB，CC1的中点，则异面直线AA1与EF所成的角的正切值为【分析
15、】由已知画出图形，找出异面直线AA1与EF所成的角，求解三角形得答案【解答】解：如图，设AD1，则ABAA12AD2E，F分别是AB，CC1的中点，BE1，BC1，CF1，CEAA1CC1，EFC为异面直线AA1与EF所成的角，则tanEFC故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角，考查数形结合的解题思想方法，是基础题12（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，A45，则角C75或15【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合B的范围可求B的值，根据三角形的内角和定理即可解得C的值【解答】解：a，b，A45，由正弦定理，可得sinB，B（0，180），可得B
16、60，或120，C180AB75，或15故答案为：75，或15【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题13（5分）正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为，底面边长为2，则侧面与底面所成二面角的大小为【分析】由正四棱锥SABCD的体积为，底面边长AB2，ACBDO，连结SO，求出正四棱锥SABCD的高SO，取BC中点E，连结OE，SE，则OEBC，SEBC，SEO是侧面与底面所成二面角的大小，由此能求出侧面与底面所成二面角的大小【解答】解：如图，正四棱锥SABCD的体积为，底面边长AB2，A
17、CBDO，连结SO，则SO是正四棱锥SABCD的高，VSABCD，解得SO，取BC中点E，连结OE，SE，则OEBC，SEBC，SEO是侧面与底面所成二面角的大小，OE1，tanSEO，SEO，侧面与底面所成二面角的大小为故答案为：【点评】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题14（5分）在钝角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1，b3，则最大边c的取值范围是（，4）【分析】由a与b的值，利用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出c的取值范围，然后再由三角形ABC为钝角三角形，得到cos
18、C小于0，利用余弦定理表示出cosC，把a与b的值代入，根据cosC小于0列出关于c的不等式，求出不等式的解集，取c范围的公共部分，即可得到最大边c的取值范围【解答】解：a1，b3，31c3+1，即2c4，又ABC为钝角三角形，cosC0，根据余弦定理得cosC0，即a2+b2c20，即c210，解得：c，c4，则最大边c的取值范围是（，4）故答案为：（，4）【点评】此题考查了三角形的边角关系，余弦定理，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤15（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，
19、c，已知A60，2a3b（）求sinB的值；（）若b2，求边c的值【分析】（）在ABC中，由正弦定理即可解得sinB的值（）由已知利用余弦定理可得：c22c50，即可解得c的值【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理，及A60，2a3b，可得（）由b2及2a3b，可得a3，由余弦定理a2b2+c22bccosA，即c22c50，可得【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16（12分）如图，已知四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADCD，ABCD，CD2AB（）求证：平面PAB平面PAD（）在侧棱PC上是否存
20、在点M，使得BM平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由【分析】（I）证明AB平面PAD即可得出结论；（II）当M为PC的中点时，可证BM平面PAD【解答】（）证明：因为PD平面ABCD，所以PDAB又因为ADCD，ABCD，所以ADAB又ADPDD，AD，PD平面PAD可得AB平面PAD又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD（）解：当点M是PC的中点时，BM平面PAD证明如下：设PD的中点为N，连接MN，AN，易得MN是PCD的中位线，所以MNCD，由题设可得ABCD，CD2AB，所以MNAB，MNAB所以四边形ABMN为平行四边形，所以BMAN又BM平面PAD，AN平面PA
21、D，所以BM平面PAD【点评】本题考查了线面垂直，线面平行的判定，属于中档题17（13分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2Acos2B+sin2CsinAsinC（）求角B的值；（）若b2，且ABC的面积为2，求a+c的值【分析】（）由题意利用正弦定理可得a2+c2b2ac，由余弦定理可求得，结合范围0B，可得（）由三角形的面积公式解得ac8，根据余弦定理即可解得a+c的值【解答】解：（）由题意知1sin2A1sin2B+sin2CsinAsinC，即sin2A+sin2Csin2BsinAsinC，由正弦定理得a2+c2b2ac，由余弦定理得，又因为0B，所以（
22、）因为，由面积公式得，即ac8由得a2+c2b2+ac20，故（a+c）236，即a+c6【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（13分）如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形且AD2AB，平面PAD平面ABCD，PAD是等边三角形，点E是AD的中点（）求证：BEPC；（）求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值【分析】（I）连接PE，CE，证明BECE，PE平面ABCD，于是BE平面PCE，从而得出BEPC；（II）设AB1，求出PE，BE，PB，在RtPBE中计算sinPBE即可得出答案【解答】（
23、）证明：ABCD为矩形且AD2AB，E为AD的中点，ABE和CDE都是等腰直角三角形，AEBDEC，BEC，BECE连接PE，PAD是等边三角形，E是AD的中点所以PEAD又平面PAD平面ABCD，PE平面PAD，平面PAD平面ABCDAD所以PE平面ABCD又BE平面ABCD，所以BEPE又CEPEE，CE，PE平面PCE所以BE平面PCE又PC平面PCE，所以BEPC（）解：由（）知PE平面ABCD即直线PB与平面ABCD所成的角为PBE设AD2，则在RtABE中，ABAE1，所以在等边PAD中，AD2，所以在RtPBE中，所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，属于中档题