1、2018-2019学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷一、选择题1（4分）设UR，A2，1，0，1，2，Bx|x1，则AUB（）A1，2B1，0，1C2，1，0D2，1，0，12（4分）函数的定义域为（）A（4，1）B（4，1）C（1，1）D（1，13（4分）使函数f（x）2xx2有零点的区间是（）A（3，2）B（2，1）C（1，0）D（0，1）4（4分）已知xln3，ylog50.3，z，则（）AxyzBzxyCzyxDyzx5（4分）已知函数f（x）ln（x+）若实数a，b满足f（a）+f（b2）0，则a+b（）A2B1C0D26（4分）已知函数f（x）为R上的减函数，则满足f（|）f（
2、1）的实数x的取值范围是（）A（1，0）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，1）D（0，1）7（4分）已知0a1，函数yax与yloga（x）的图象可能是（）8（4分）已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）5x1，则f（log499log57）的值为（）A4B2CD二、填空题9（5分）已知m2，n3，则3的值是 10（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为 （m）11（5分）幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+）递减，则整数m 12（5分）设，则实数a的取值范围是 13（5分）函数f（x）lg（x23x10）的单调递增区间是 1
3、4（5分）已知函数f（x），xR，则f（x23x）f（3x）的解集是 三、解答题15已知不等式ax25x+b0的解是3x2，设Ax|bx25x+a0，Bx|（1）求a，b的值；（2）求AB和A（UB）16已知函数f（x）x+a（aR）（1）当a4，求函数f（x）在1，5上的值域；（2）设g（x）xf（x）2x+1，若1，4是g（x）的一个单调区间且在该区间上g（x）0恒成立，求a的取值范围17定义在R上的增函数yf（x）对任意x，yR都有f（x+y）f（x）+f（y）（1）求f（0）的值；（2）求证f（x）为奇函数；（3）若f（k2x）+f（4x+18x2x）0对任意x1，2恒成立，求实数k的
4、取值范围18已知f（x）log4（4x+1）+kx是偶函数（1）求k的值；（2）判断函数yf（x）x在R上的单调性，并加以证明；（3）设g（x）log4（a2xa），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，求实数a的取值范围2018-2019学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1（4分）设UR，A2，1，0，1，2，Bx|x1，则AUB（）A1，2B1，0，1C2，1，0D2，1，0，1【分析】根据补集与交集的定义，写出UB与AUB即可【解答】解：因为全集UR，集合Bx|x1，所以UBx|x1（，1），且集合A2，1，0，1，2，所以AUB2，1，0故选：
5、C【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目2（4分）函数的定义域为（）A（4，1）B（4，1）C（1，1）D（1，1【分析】由题意知，解得1x1，由此能求出函数的定义域【解答】解：由题意知，函数的定义域为，解得1x1，故选：C【点评】本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法3（4分）使函数f（x）2xx2有零点的区间是（）A（3，2）B（2，1）C（1，0）D（0，1）【分析】由题意先判断函数f（x）2xx2在其定义域上连续，再求函数值，从而确定零点所在的区间【解答】解：函数f（x）2xx2在其定义域上连续，f（0）10，f（1）10；故f（0）f（1）0；故选：C【点评
6、】本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题4（4分）已知xln3，ylog50.3，z，则（）AxyzBzxyCzyxDyzx【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：xln3lne1，ylog50.3log510，0ze01，yzx故选：D【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（4分）已知函数f（x）ln（x+）若实数a，b满足f（a）+f（b2）0，则a+b（）A2B1C0D2【分析】通过观察和运算可知f（x）+f（x）0，得出a+（b2）0，即可求出结果【解答】解：f（x）+f（x）ln（x+）+l
7、n（x+）0f（a）+f（b2）0，即为f（a）f（2b），由f（x）ln（x+），可得f（x）单调递增，则a2b，a+b2故选：D【点评】本题考查了对数的运算性质，解决本题的关键是通过观察和运算得到f（x）+f（x）0，做题时要多观察6（4分）已知函数f（x）为R上的减函数，则满足f（|）f（1）的实数x的取值范围是（）A（1，0）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，1）D（0，1）【分析】根据f（x）为R上的减函数，即可由得出，解该不等式即可【解答】解：f（x）为R上的减函数；由得，；解得1x1，且x0；实数x的取值范围为（1，0）（0，1）故选：A【点评】考查减函数的定义，根据减函数定
8、义解不等式的方法，以及绝对值不等式的解法7（4分）已知0a1，函数yax与yloga（x）的图象可能是（）ABCD【分析】函数yax与ylogax互为反函数，其图象关于直线yx对称；yloga（x）与ylogax的图象关于y轴对称，由于0a1，根据函数的单调性即可得出【解答】解：函数yax与ylogax互为反函数，其图象关于直线yx对称，yloga（x）与ylogax的图象关于y轴对称，又0a1，根据函数的单调性即可得出故选：D【点评】本题考查了互为反函数的图象的对称性、轴对称的性质，属于基础题8（4分）已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）5x1，则f（log499log57）的值为
9、（）A4B2CD【分析】先化简，根据f（x）是奇函数，以及x0时的函数解析式，即可得出2【解答】解：；又x0时，f（x）5x1，且f（x）为奇函数；2故选：B【点评】考查奇函数的定义，对数式的运算，以及对数的换底公式，指数与对数的互化二、填空题9（5分）已知m2，n3，则3的值是【分析】先利用有理指数幂的运算法则化简，再代值【解答】解：m2，n3，则原式（）3（mnm1n）3mn3233，故答案为：【点评】本题考查了有理指数幂及根式属基础题10（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为20（m）【分析】设矩形高为y，由三角形相似可求得40x+
10、y且x0，y0，x40，y40，利用基本不等式即可求得答案【解答】解：设矩形高为y，由三角形相似得：，且x0，y0，x40，y40，40x+y2，仅当xy20m时，矩形的面积sxy取最大值400m2故答案为：20【点评】本题考查基本不等式，考查相似三角形的应用，求得40x+y是关键，属于中档题11（5分）幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+）递减，则整数m1或2【分析】由幂函数的图象关于y轴对称，可得出它的幂指数为偶数，又它在（0，+）递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数小于零个个条件即可求出参数m 的值【解答】解：幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+）递减，m23m0，m23m是
11、偶数由 m23m0得0m3，又由题设m是整数，故m的值可能为1或2验证知m1，2都能保证m23m是偶数故m1，2即所求故答案为 1或2【点评】本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用，请认真体会解题过程中转化的方向12（5分）设，则实数a的取值范围是【分析】当a1时，由于，不等式显然成立，当 1a0时，由logaa 可得 0a由此可得实数a的取值范围【解答】解：，当a1时，由于，不等式显然成立当 1a0时，由logaa 可得 0a综上可得，不等式的解集为 ，故答案为 【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，对数不等式的解法
12、，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题13（5分）函数f（x）lg（x23x10）的单调递增区间是（5，+）【分析】确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，即可得出结论【解答】解：由x23x100可得x2或x5，ux23x10在（5，+）单调递增，而ylgu是增函数由复合函数的同增异减的法则可得，函数f（x）lg（x23x10）的单调递增区间是（5，+）故答案为：（5，+）【点评】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题14（5分）已知函数f（x），xR，则f（x23x）f（3x）的解集是（0，3）【分析】原函数变成，从而可得出f（x）在（，0）上单调递增，且x0时，f（
13、x）1，从而根据f（x23x）f（3x）可得出，解出x的范围即可【解答】解：；f（x）在（，0）上单调递增，且x0时，f（x）1；由f（x23x）f（3x）得：；解得0x3；解集为（0，3）故答案为：（0，3）【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，增函数的定义，以及一元二次不等式的解法三、解答题15已知不等式ax25x+b0的解是3x2，设Ax|bx25x+a0，Bx|（1）求a，b的值；（2）求AB和A（UB）【分析】（1）据题意可知，3，2是方程ax25x+b0的两实数根，由韦达定理即可求出a5，b30；（2）根据上面求得的a，b，得出Ax|30x25x50，通过解不等式得出集合
14、A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可【解答】解：（1）根据题意知，x3，2是方程ax25x+b0的两实数根；由韦达定理得，；解得a5，b30；（2）由上面，a5，b30；Ax|30x25x50，且；，；【点评】考查韦达定理，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算16已知函数f（x）x+a（aR）（1）当a4，求函数f（x）在1，5上的值域；（2）设g（x）xf（x）2x+1，若1，4是g（x）的一个单调区间且在该区间上g（x）0恒成立，求a的取值范围【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，根据单调性得到函数的最值，根据最值写出值域；（2）结合二次函数的图象列式
15、可得【解答】解：（1）a4时，f（x）x+4，f（x）1，当1x2时，f（x）0，f（x）递减；当2x5时，f（x）0，f（x）递增，x2时，f（x）minf（2）8；x5时，f（x）maxf（5），f（x）在1，5上的值域为8，（2）g（x）x2+（a2）x+1+a，其对称轴为x1，依题意得：或解得：a0所以实数a的取值范围是（0，+）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性属中档题17定义在R上的增函数yf（x）对任意x，yR都有f（x+y）f（x）+f（y）（1）求f（0）的值；（2）求证f（x）为奇函数；（3）若f（k2x）+f（4x+18x2x）0对任意x1，2恒成立，求实数k的取
16、值范围【分析】（1）赋值法可解决此问题，令xy0即可；（2）利用奇偶性的定义可证明，令yx可解出；（3）根据恒成立问题转化为最值问题可解决【解答】解：根据题意得，（1）令xy0，得f（0+0）f（0）+f（0）f（0）0（2）令yx，得f（xx）f（x）+f（x）f（0）0f（x）f（x）f（x）为奇函数；（3）由题知：f（k2x+4x+18x2x）0f（0）又yf（x）是定义在R上的增函数，k2x+4x+18x2x0对任意x1，2恒成立，k2x2x+8x4x+1k1+22x2x+2令2xt，t，4，则f（t）1+t24tkf（t）max当t2时，f（t）maxf（2）1+483k3【点评】本
17、题考查函数的恒成立问题，转化为最值问题可解决18已知f（x）log4（4x+1）+kx是偶函数（1）求k的值；（2）判断函数yf（x）x在R上的单调性，并加以证明；（3）设g（x）log4（a2xa），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，求实数a的取值范围【分析】（1）由偶函数的定义可得f（x）f（x），结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值；（2）函数h（x）f（x）xlog4（4x+1）x在R上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调性，即可证明；（3）由题意可得log4（4x+1）xlog4（a2xa）有且只有一个实根，可化为2x+2xa2xa，即有a，化为a1，运用换元法和
18、对勾函数的单调性，即可得到所求范围【解答】解：（1）f（x）log4（4x+1）+kx是偶函数，可得f（x）f（x），即log4（4x+1）kxlog4（4x+1）+kx，即有log42kx，可得log44xx2kx，由xR，可得k；（2）函数h（x）f（x）xlog4（4x+1）x在R上递减，理由：设x1x2，则h（x1）h（x2）log4（4x1+1）x1log4（4x2+1）+x2log4（4x1+1）log4（4x2+1），由x1x2，可得x1x2，可得log4（4x1+1）log4（4x2+1），则h（x1）h（x2），即yf（x）x在R上递减；（3）g（x）log4（a2xa），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，即为log4（4x+1）xlog4（a2xa）有且只有一个实根，可化为2x+2xa2xa，即有a，化为a1，可令t1+2x（t1），则2x，则a1，由9t+34在（1，）递减，（，+）递增，可得9t+34的最小值为2344，当a14时，即a3满足两图象只有一个交点；当t1时，9t+340，可得a10时，即a1时，两图象只有一个交点，综上可得a的范围是（1，+）3【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查对数的运算性质和函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题