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人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数课件4课时(107张PPT)

1、28.1锐角三角函数,第一课时,第二课时,第三课时,第四课时,人教版 数学 九年级 下册,正弦,第一课时,返回,鞋跟多高合适,美国人体工程研究学人员调查发现, 当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11左 右时,人脚的感觉最舒适,假设某成年人前脚掌到 脚后跟长为15厘米,请问鞋跟在几厘米高度为最佳?,11,1. 经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实.,2. 理解锐角正弦的概念,掌握正弦的表示方法.,素养目标,3. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值,并且能利用正弦求直角三角形的边长.,为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修

2、建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?,分析:这个问题可以归结为,在RtABC中,C=90,A30,BC35m,求AB,根据“在直角三角形中,30角所对的边等于斜边的一半”,即,可得AB2BC70m,也就是说,需要准备70m长的水管,正弦的定义,解:,【思考】在上面的问题中,如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?,A,B,C,50m,35m,B ,C ,AB2BC 250100(m),在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于 .,在RtAB

3、C中,C90,由于A45,所以RtABC是等腰直角三角形,由勾股定理得:,因此,在直角三角形中,当一个锐角等于45时,不管这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于 .,如图,任意画一个RtABC,使C90,A45,计算A的对边与斜边的比 , 你能得出什么结论?,归纳总结,综上可知,在一个RtABC中,C90,当A30时,A的对边与斜边的比都等于 ,是一个固定值;当A45时,A的对边与斜边的比都等于 ,也是一个固定值.,【思考】一般地,当A 取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?,A,B,C,A,B,C,任意画 RtABC 和 RtABC,使得CC90,AA

4、,那么 与 有什么关系?你能解释一下吗?,因为CC90,AA, 所以RtABC RtABC. 因此,在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,A 的对边与斜边的比都是一个固定值,如图,在 RtABC 中,C90,我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A的正弦,记作 sin A 即,例如,当A30时,我们有,当A45时,我们有,归纳:,注意,sinA是一个完整的符号,它表示A的正弦,记号里习惯省去角的符号“”; sinA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中A的对边与斜边的比; sinA不表示“sin”乘以“A”.,例1 如图,在RtABC中,C90,求sinA和sinB的

5、值,解:(1)在RtABC中,,因此,(2)在RtABC中,,因此,利用正弦的定义求有关角的正弦值,1.判断对错:,(1) ( ) (2) ( ) (3)sin A=0.6m ( ) (4)sin B=0.8 ( ),sin A是一个比值(注意比的顺序),无单位;,2)如图, ( ),1) 如图,图,图,2. 在 RtABC中,锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍,sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定,C,例2 如图,在平面直角坐标系内有一点 P (3,4),连接 OP,求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 的正弦值.,解:如图,设点 A (3

6、,0),连接 PA .,A (3,0),在RtAPO中,由勾股定理得,因此,在平面直角坐标系内求锐角的正弦值,方法点拨,结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值,一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线,构造直角三角形,再结合勾股定理求解.,3.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sinOAB等于_,3,4,5,例3 如图,在 RtABC 中,C=90, , BC = 3,求 sinB 及 RtABC 的面积.,提示:已知 sinA 及A的对边 BC 的长度,可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理,求出 AC 的长度,进而求出 sinB 及 RtABC 的面积.,利用正

7、弦求直角三角形的边长, AB = 3BC =33=9.,解:在 RtABC 中,,在 RtABC 中,C = 90,sinA = k, sinB = h,AB = c,则,BC = ck,,AC = ch.,在 RtABC 中,C = 90,sinA = k, sinB = h,BC=a,则,归纳:,,,.,8,4.如图:在RtABC中,C=90,AB=10, , BC的长是 ,例4 在 ABC 中,C=90,AC=24cm, ,求这个三角形的周长,解:设BC=7x,则AB=25x,在 RtABC中,由勾股定理得,即 24x = 24cm,解得 x = 1 cm.,故 BC = 7x = 7

8、cm,AB = 25x = 25 cm.,所以 ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).,利用方程和正弦求直角三角形中线段,5.如图,在RtABC中,C=90, , AC=12. 求sinB的值.,5,13,解:在Rt ABC中, 设AB=13x,BC=5x, 由勾股定理得:(5x)2+122=(13x)2,解得x=1.所以AB=13,BC=5,因此,1.(2018柳州)如图,在RtABC中,C=90,BC=4,AC=3,则sinB=( ) A B C D,巩固练习,A,2.(2018德州)如图,在44的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,ABC的顶点

9、都在格点上,则BAC的正弦值是_,巩固练习,1. 如图,已知点 P 的坐标是 (a,b),则 sin 等于( ),A. B. C. D.,D,2. 在直角三角形 ABC 中,若三边长都扩大 2 倍,则 锐角 A 的正弦值 ( ) A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定,B,D,A. 4 B. 6 C. 8 D. 10,2,3. 在RtABC中,C=90, ,BC=6,则 AB 的长为 ( ),4. 在ABC中,C=90,如果 ,AB=6, 那么BC=_.,5. 如图,在正方形网格中有 ABC,则 sinABC 的值为 .,解析: , , ,, AB 2 BC 2AC 2,,

10、ACB90,,如图,在 ABC中, AB= BC = 5, ,求 ABC 的面积.,D,解:作BDAC于点D,,又 ABC 为等腰三角形,BDAC, AC=2AD=6, SABC=ACBD2=12., ,,求一个角的正弦值,除了用定义直接求外,还可以转化为求和它相等角的正弦值。,如图, C=90,CDAB. sinB可以由哪两条线段之比得到?,若AC=5,CD=3,求sinB的值.,解: B =ACD,sinB = sinACD,在RtACD中,,正弦函数,正弦函数的概念,正弦函数的应用,已知边长求正弦值,已知正弦值求边长,余弦和正切,第二课时,返回,如图,在RtABC中,C=90.,当A确定

11、时,A的对边与斜边的比就确定,此时,其他边之间的比是否也确定呢?,2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.,1. 通过类比正弦函数,理解余弦函数、正切函数的定义,进而得到锐角三角函数的概念 .,素养目标,3. 通过锐角三角函数的学习,培养学生类比学习的能力.,如图, ABC 和 DEF 都是直角三角形, 其中A =D,C =F = 90,则 成立吗?为什么?,余弦的定义,我们来试着证明前面的问题:,从而 sinB = sinE,,因此,在有一个锐角相等的所有直角三角形中,这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关,如下图所示,在直角三角形中,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做

12、A的余弦,记作cosA,即,归纳:,归纳总结,从上述探究和证明过程,可以得到互余两角的三角函数之间的关系: 对于任意锐角,有 cos = sin (90), 或sin = cos (90).,1. sinA、cosA是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2. sinA、 cosA是一个比值(数值). 3. sinA、 cosA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.,如图:在Rt ABC中,C90,,正弦,余弦,注意:,1RtABC中,C=90,如果AB=2,BC=1,那么cosB的值为( ),A. B. C. D.,A,2. RtABC中,C=90,如

13、果AC=4,BC=3, 那么cosB的值为_,如图, ABC 和 DEF 都是直角三角形, 其中A =D,C =F = 90,则 成立吗?为什么?,正切的定义,证明:C=F=90, A=D, RtABC RtDEF,即,如图:在Rt ABC中,C90,,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的 正切,记作 tanA.,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,A的对边与邻边的比是一个固定值.,1.如果两个角互余,那么这两个角的正切值有什么关系?,【想一想】,2.锐角A的正切值可以等于1吗?为什么?,可以大于1吗?,3在RtABC中,C90,如果 那么tanB的值为( ),A. B

14、. C. D.,D,4. 在RtABC中,C90,如果 那么tanA的值为_.,锐角A的正弦、余弦、和正切统称A的锐角三角函数.,sin A=,cos A=,tan A=,脑中有“图”,心中有“式”,锐角三角函数的定义,例1 如图,在 RtABC 中,C=90,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tanA的值.,解:由勾股定理得,因此,已知直角三角形两边求锐角三角函数的值,方法点拨,已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是:当所涉及的边是已知时,直接利用定义求锐角三角函数值;当所涉及的边未知时,可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度,然后根据定义求锐角三角函数值,5RtABC

15、中,C为直角,AC=5,BC=12,那么下列A的四个三角函数中正确的是( ),6如图:P是 的边OA上一点,且P点的坐标为(3,4),则cos _,tan = _.,B,又,已知一边及一锐角三角函数值求函数值,例2 如图,在 RtABC中,C = 90,BC = 6, ,求 cosA、tanB 的值,解:在RtABC中,,解:在 RtABC中,,7. 如图,在 RtABC 中,C = 90,AC = 8, , 求sinA,cosB 的值,1.(2018广州)如图,旗杆高AB=8m,某一时刻,旗杆影子 长BC=16m,则tanC=_,巩固练习,2. (2018贵阳)如图,A、B、C是小正方形的顶

16、点,且每个小正方形的边长为1,则tanBAC的值为( ) A B1 C D,B,1. 在RtABC中,C = 90,AC = 12,AB =13. sinA=_,cosA=_,tanA=_, sinB=_,cosB=_,tanB=_.,2. 如图,ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 O 相切与点 C,若 BC=4,AB=5,则 tanA=_.,3. 已知 A,B 为锐角, (1) 若A =B,则 cosA cosB; (2) 若 tanA = tanB,则A B. (3) 若 tanA tanB = 1,则 A 与 B 的关系为: .,=,=,A +B = 90,如图,在 RtABC

17、中,ACB = 90,CDAB,垂足为 D. 若 AD = 6,CD = 8. 求 tanB 的值.,解: ACBADC =90,,B+ A=90, ACD+ A =90,,B = ACD,,如图,在ABC中,AB=AC=4,BC=6. 求cosB 及 tanB 的值.,解:过点 A 作 ADBC 于 D., AB = AC,, BD = CD = 3,,在 RtABD 中,D,提示:求锐角的三角函数值问题,当图形中没有直角三角形时,可用恰当的方法构造直角三角形.,余弦函数和 正切函数,余弦,正切,性质,30、45、60角的三角函数值,第三课时,返回,还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗

18、?即 , ,你还能推导出sin60的值及 30、45、60角的其它三角函数值吗?,1. 理解特殊角的三角函数值的由来.,3. 熟记三个特殊锐角的三角函数值,并能准确地加以运用,根据一个特殊角的三角函数值说出这个角.,素养目标,2. 运用三角函数的知识,自主探索,推导出30、45、60角的三角函数值.,设30所对的直角边长为a,那么斜边长为2a,,另一条直角边长,30,60,45,45,特殊角(30、45、60)的三角函数值,设两条直角边长为a,则斜边长,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表:,三角函数,例1 求下列各式的值: (1)cos260sin260 (2),解: (1) c

19、os260sin260,= 1,(2),=0,特殊角的三角函数值的运算,提示:sin260表示(sin60)2,方法点拨,含特殊角三角函数值的计算注意事项: (1)熟记特殊角的锐角三角函数值是关键; (2)注意运算顺序和法则; (3)注意特殊角三角函数值的准确代入,1.计算: (1) sin30+ cos45;,解:(1)原式,(2) sin230+ cos230tan45.,(2)原式,1-1,0,解:在 RtABC中, A = 45.,利用三角函数值求特殊角,例2 (1) 如图,在RtABC中,C = 90, , ,求 A 的度数;,解:在 RtABO中, = 60.,(2) 如图,AO

20、是圆锥的高,OB 是底面半径, ,求 的度数.,2. 在RtABC中,C90, 求A、B的度数,解: 由勾股定理, A=30,B = 90 A = 9030= 60,例3 已知 ABC 中的 A 与 B 满足 (1tanA)2 |sinB |0,试判断 ABC 的形状, tanA1, , C180456075, ABC 是锐角三角形,特殊角的三角函数值的应用,解: (1tanA)2 | sinB |0,, A45,B60,,3. 已知: 求A,B的度数。,解:,即,巩固练习,A,1.(2018大庆)2cos60=( ) A1 B C D,2.(2019大庆)计算:(2019-)0 sin60,

21、解:,原式1 1 ,1下列各式中不正确的是( ) A Bsin30+cos30=1 Csin35=cos55 Dtan45sin45 2计算2sin30-2cos60+tan45的结果是( ) A2 B C-1 D1,B,D,sin260+cos260=1,3.求满足下列条件的锐角 .,(1) 2sin = 0; (2) tan1 = 0., = 60.,(2) tan =1,,解:(1) ,, = 45.,4在ABC中,A、B都是锐角,且 , ,则ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定,B,5. 在 ABC 中,若 , 则C = .,120,6.

22、求下列各式的值: (1) 12 sin30cos30; (2) 3tan30tan45+2sin60; (3) ; (4),答案:(1),(2),(3) 2,(4),已知 为锐角,且 tan 是方程 x2 + 2x 3 = 0 的一个根,求 2 sin2 + cos2 tan (+15)的值,解:解方程 x2 + 2x 3 = 0,得 x1 = 1,x2 = 3. tan 0, tan =1, = 45. 2 sin2 + cos2 tan (+15) = 2 sin245+cos245 tan60,如图,在ABC中,ADBC,M为AB的中点,B=30, . 求tanBCM.,E,解:过点M作

23、MEBC于点E,CD=AD,又M是AB的中点,BE=DE,AD=2ME.,又B=30,,ADBC,,30、45、60角的三角函数值,通过三角函数值求角度,特殊角的三角函数值,用计算器求锐角三角函数值,第四课时,返回,1,填写下表:,前面我们学习了特殊角30,45,60的三角函数值,一些非特殊角(如17,56,89等)的三角函数值又怎么求呢?,这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.,1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值.,2. 会根据锐角的三角函数值,借助科学计算器求锐角的大小.,素养目标,3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.,例如 (1) 用计算器求sin18的值;,第二步

24、:输入角度值18;,屏幕显示结果 sin18= 0.309 016 994.,利用计算器求三角函数值、角的度数,(2) 用计算器求 tan3036 的值;,解:方法:,第二步:输入角度值30.6 (因为3036 = 30.6);,屏幕显示答案:0.591 398 351.,屏幕显示答案:0.591 398 351.,方法:,(3) 已知 sinA = 0.501 8,用计算器求锐角A的度数.,第二步:输入函数值0. 501 8;,屏幕显示答案: 30.119 158 67(按实际需要进行 精确).,解:,1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001): (1) sin47; (2) sin

25、1230; (3) cos2518;(4) sin18cos55tan59.,答案:(1) 0.7314,(2) 0.2164,(3) 0.9041,(4) 0.7817,2. 已知下列锐角三角函数值,用计算器求锐角 A, B的度数 (结果精确到0.1): (1) sinA0.7,sinB0.01; (2) cosA0.15,cosB0.8; (3) tanA2.4,tanB0.5.,答案:(1) A 44.4;B 0.6. (2) A 81.4;B 36.9. (3) A 67.4;B 26.6.,(1)通过计算 (可用计算器),比较下列各组数的大小,并提出你的猜想: sin30_2sin1

26、5cos15; sin38_2sin19cos19; sin45_2sin22.5cos22.5; sin60_2sin30cos30; sin84_2sin42cos42. 猜想:已知045,则sin2_2sincos.,=,利用计算器探索三角函数的性质,=,=,=,=,=,(2) 如图,在ABC中,ABAC1,BAC2, 请利用面积方法验证 (1) 中的结论,证明: SABC = AB sin2 AC = sin2, SABC = 2ABsin ACcos = sin cos, sin22sincos.,2,(1)sin35= ,cos35= , sin235= ,cos235= ; 猜想

27、: 已知090,则 sin2 + cos2 = .,0.3420,0.5735,0.9397,0.1170,0.8830,0.8192,0.3290,0.6710,3.利用计算器求值,并提出你的猜想:,1,(2)sin20= , cos20= ,,sin220= , cos220= ;,4. 已知:sin254+ cos2 =1,则锐角 = .,54,5. 用计算器比较大小:20sin87 tan87.,sin20 cos20, sin220 cos220; sin35 cos35.,(2018淄博)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米,其铅直高度上升了15米在用科学计算器求坡角的度数

28、时,具体按键顺序是( ) A B C D,巩固练习,A,1. 下列式子中,不成立的是( ) Asin35= cos55 Bsin25+ sin40= sin65 C cos47= sin43 Dsin218+ cos218=1,B,2. 用计算器求sin243718的值,以下按键顺序正确的是 ( ) A B C D,A,(1) sin40 (精确到0.0001); (2) tan6327 (精确到 0.0001); (3) cos185927 (精确到 0.0001); (4) 若sin = 0.5225,则 (精确到 0.1); (5) 若cos = 0.3145,则 (精确到 0.1).,

29、0.6428,2.0013,31.5,3. 利用计算器求值:,71.7,0.9452,如图,在 RtABC 中,C=90,请验证sin2 + cos2 =1 的结论.,证明:在 RtABC中,a2 + b2 = c2,,在 RtABC 中,C = 90,BAC = 4224, A 的 平分线 AT = 14.7cm,用计算器求 AC 的长(精确到0.001).,解: AT 平分BAC,且BAC = 4224, 在 RtACT 中, , AC = AT cosCAT = 14.7cos2112 13.705(cm)., .,用计算器求锐角三角函数值及锐角,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,