1、28.2 解直角三角形及其应用,第一课时,第二课时,第三课时,人教版 数学 九年级 下册,28.2.2 应用举例,解直角三角形的简单应用,第一课时,返回,高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.,3. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,1. 巩固解直角三角形相关知识 .,素养目标,2. 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题.,（2）两锐角之间的关系,（3）边角之间的关系,（1）三边之间的关系,利用解直角三角形解答简单的问题,小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱
2、经过点A到达点B时，它走过了300m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30 ，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?,A,B,A,B,D,30,300m,解：BD=ABsin30=150m,D,A,B,C,小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60，缆车行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？,A,B,D,C,E,60,200m,小明需要115.5s才 能到达目的地.,解：,2312=115.5（s）,30,例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九
3、号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，取3.142 ，结果取整数）？,最远点,建立直角三角形模型解答简单的问题,解：设FOQ =，FQ是O切线，FOQ是直角三角形,当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km., 的长为,【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？,【方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三
4、角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题,小结,归纳总结,解直角三角形的应用：,(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；,(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；,(3)得到数学问题答案；,(4)得到实际问题答案。,注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.,1.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？,A,B,C,解：如图所示，依题意可知B= 60,答：梯子的长至少4.62米.,例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋
5、千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？,0.5m,3m,60,建立直角三角形模型解答生活问题,0.5m,3m,A,B,C,D,E,60,分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 DE=0.5m，AD=AB=3m，DAB=60，ACB为直角三角形，求CE的长度.,解：CAB=60，AD=AB=3m，,AC=ABcosCAB=1.5m，, CD=ADAC=1.5m，, CE=AD+DE=2.0m.,即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.,2. (1)小华去
6、实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30，求南楼的影子在北楼上有多高？,北,A,B,D,C,20m,15m,E,F,南,解：过点E作EFBC，,AFE=90，FE=BC=15m.,即南楼的影子在北楼上的高度为,(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC至少应为多少米?,A,B,20m,?m,南,答案：BC至少为,（2018台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m当起重臂AC长度为9m，张角HAC为118时，求操作平台C离地面的
7、高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53）,巩固练习,图1,图2,巩固练习,解：作CEBD于E，AFCE于F，易得四边形AHEF为矩形， EF=AH=3.4m，HAF=90， CAF=CAHHAF=11890=28， 在RtACF中， ， CF=9sin28=90.47=4.23， CE=CF+EF=4.23+3.47.6（m）， 答：操作平台C离地面的高度为7.6m,图2,E,F,1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方
8、向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：AC，ACB；EF、DE、 AD；CD，ACB，ADB其中能根据所测数据求得A、B两 树距离的有( ) A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组,D,2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得 BAD=30，在C点测得BCD=60，又测得 AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( ),A. 100米 B. 米 C. 米 D. 50米,B,3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的 着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为45，则这棵大树高是 米.,A,C,B,4米,45,“欲穷千里目，更上
9、一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5= 0.997)？,解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，, AB=OBOA=63896370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的.,在RtOCB中，O,如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30，已知A
10、与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）,G,解：作AGCD于点G， 则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.,(米).,CD=CG+DG= ( +1.5) (米)，, (米).,利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：,1. 将实际问题抽象为数学问题；,2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；,画出平面图形，转化为解直角三角形的问题,3. 得到数学问题的答案；,4. 得到实际问题的答案.,利用俯角和仰角解直角三角形,第二课时,返回,青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且屡败屡试,永不言弃.如图所示,一天,灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的
11、俯角为60,然后下到城堡的C处,测得B处的俯角为30.已知AC=40 m,若灰太狼以 5 m/s的速度从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位)(假设懒洋洋不动),1. 使学生了解仰角、俯角的概念，并能够根据直角三角形的知识解决实际问题.,2.在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.,素养目标,3. 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力.,在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.,俯角、仰角问题,例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30，看
12、这栋楼底部的俯角为60，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？,分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，=30,=60.,在RtABD中， =30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC,仰角,水平线,俯角,一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题,解：如图， = 30,= 60， AD120,答：这栋楼高约为277m.,（m）,方法点拨,解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法,根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰
13、角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解.,1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60角，另一根拉线BC和地面成45角则两根拉线的总长度为 m(结果用带根号的数的形式表示).,例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点 处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37和45 ，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin370.8，cos37 0.6， tan 370.75）,A,B,37,45,400米,P,两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题,A,B,O,37,45,400米,P,设PO=x米，,在RtPOB中，PB
14、O=45，,在RtPOA中，PAB=37，,OB=PO= x米.,解得x=1200.,解：作POAB交AB的延长线于O.,即,故飞机的高度为1200米.,2. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择 一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）用测角仪测得塔顶D的仰角为75，且AB间的距离为40m (1) 求点B到AD的距离；,答案：点B到AD的距离为20m.,E,(2) 求塔高CD（结果用根号表示）,解：在RtABE中， A=30，ABE=60， DBC=75，EBD=1806075=45， DE=EB=20m， 则 (m)， 在Rt
15、ADC中，A=30， 答：塔高CD为 m., (m).,E,（2018长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则A、B两地之间的距离为（ ） A. 800sin米 B. 800tan米 C 米 D 米,巩固练习,D,1. 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘 小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=_米. 2. 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑
16、物CD的高为_米.,100,3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处， 测得仰角ACD=52，已知人的高度是1.72米，则 树高 (精确到0.1米）.,20.9 米,4. 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?,解：由题意可知，ADB=30，ACB=60，DC=50m.,DB=xtan60，CB=xtan30，,xtan60-xtan30=50，, DAB=60，CAB=30，,设AB=x m.,建筑物BC上有一旗杆AB
17、，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.,解：在等腰RtBCD中，ACD=90，,BC=DC=40m.,在RtACD中 ，,AB=ACBC=55.240=15.2 (m).,AC=DCtanADC,=tan54401.3840=55.2（m),解：由题意，ACAB610（米）.,目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39（tan390.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；,解：DEAC610（米）， 在
18、RtBDE中， .,(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）, BEDEtan39 CDAE， CDABDEtan39 610610tan39 116（米）.,利用仰俯角解直角三角形,仰角、俯角的概念,运用解直角三角形解决仰角、俯角问题,利用方向角、坡度解直角三角形,第三课时,返回,宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一 (如图).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).,图,图,1. 正确理解
19、方向角、坡度的概念.,2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题.,素养目标,3. 能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.,方向角的定义：,指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的角叫做方向角。,北偏东30,南偏西45,方向角的有关问题,也叫西南方向,注意,（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏”, “南偏”,的形式.,（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.,（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角
20、度转换.,例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？,有关方向角的实际问题距离,解：如图 ，在RtAPC中，,PC=PAcos（9065）,=80cos25,800.91,=72.505.,在RtBPC中，B=34，,因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时， 它距离灯塔P大约130n mile,归纳总结,利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （
21、2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案,1.美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所示，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东，从景点A看，景点B在北偏东75方向，景点C在北偏东30方向.一游客自景点A驾船以每分钟20 m的速度行驶了10分钟到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间(精确到1分钟)?,解:根据题意,得AC=2010=200(m). 如图所示,过点A作ADBC于点D. 在RtADC中, , DC=ACsin CAD=200sin 30=10
22、0. 在RtADB中, ., .,例2 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？,B,A,C,60,有关方向角的实际问题预测路线,30,解：过A作AFBC于点F， 则AF的长是A到BC的最短距离. BDCEAF， DBA=BAF=60， ACE=CAF=30， BAC=BAFCAF =6030 =30.,E,F,又ABC =DBFDBA = 9060=30=BAC， BC=AC=12海里， ， 故渔船继续向正东方向行驶， 没有触
23、礁的危险, (海里)，,2. 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 (参考数据： 1.732， 1.414)?,北,东,解：过点P作PCAB于点C 则APC30，BPC45， ACPCtan30，BCPCtan45. ACBCAB， PC tan30PC tan45200， 即 ， 解得 PC126.8km100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会 穿越保护区,
24、C,解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？,坡度、坡角有关的问题,【思考】如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？,如何用数量来刻画哪条路陡呢？,坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。,坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成 的形式。,坡度越大 坡角越大 坡面越陡,水平面,坡面,（1）斜坡的坡度是 ，则坡角 =_度. （2）斜坡的坡角是45 ，则坡比是 _. （3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_.,3
25、0,1 : 1,3.完成下列各题,例3 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 ADBC，=60，汛期来临前对其进行了加固，改造 后的背水面坡角=45若原坡长AB=20m，求改造后 的坡长AE(结果保留根号),利用坡度、坡角解答大坝问题,解：过点A作AFBC于点F， 在RtABF中， ABF =60， 则AF=ABsin60= (m)， 在RtAEF中，E=45， 则 (m). 故改造后的坡长AE 为 m.,F,4. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45，高10米经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行
26、加固，并使上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比 求加固后坝底增加的宽度AF. (结果保留根号),G,H,解：作DGAB于G，EHAB于H， 则GH=DE=2米，EH=DG=10米.,(米)，,(米).,又AG=DG=10米，,故加固后坝底增加的宽度AF为 米., (米).,例4 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01，长度精确到0.1m）？,i=1:2,利用坡度、坡角解答山坡问题,在RtABC中，B=90，A=26.57， AC=240m，,因此 26.57.,答：这座山坡的坡角约为26.
27、57，小刚上升了约107.3 m,从而 BC=240sin26.57107.3（m）,因此,B,A,C,i=1:2,5. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶A处这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30请求出点B和点C的水平距离,30,答案：点B和点C的水平距离为 米.,E,1.（2018徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： ，,巩固练习,巩固练习,解：在RtCDE中， ， ，,EF=AD=6m，AF=DE=7m,四边形AFED是矩形，,答：该坝的坝高和坝底宽分别为
28、7m和25.1m,在RtABF中，B=45，,BF=AF=7m，,BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1（m）,，,2.（2018重庆）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为 i=1：0.75、坡长为10 米的斜坡CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走40 米到达点 E（A， B，C，D，E均在同一平面内）在E处测得建筑物顶端A的仰角为24，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin240.41，cos240.91，tan24=0.45）（ ） A21.7米 B22.4米 C27
29、.4米 D28.8米,A,1. 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛 的北偏西40方向，则从C岛看A，B两岛的视角 ACB等于 ,90,2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是（ ）,A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟,B,3. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘 船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43方向，则A、B两岛之间的距离
30、为 (结果精确到0.1海里， 参考数据：sin43=0.68， cos43=0.73， tan43=0.93),33.5海里,水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求： (1) 斜坡CD的坡角 (精确到 1)；,i=1:3,解： 斜坡CD的坡度i = tan = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得22.故斜坡CD的坡角 为22.,解：分别过点B、C作BEAD于E ，CFAD于F ， 由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.,在RtABE中，,(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).,E,F,i=1:3
31、,在RtABE中，由勾股定理可得,在RtDCF中，同理可得,故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.,AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m),FD=2.5CF=2.523=57.5(m)，,E,F,解：作DEAB于E ， CFAB于F ， 由题意可知DECF4 (米)，CDEF12 (米),一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是12 米， 路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽 (精确到0.1米， ， ).,45,30,4米,12米,A,B,C,D,在RtADE中，,E,F,在RtBCF中，同理可得 因此 ABAEEFBF4126.9322.9 (米) 答： 路基下底的宽约为22.9米,(米).,(米).,解直角三角形的应用,坡度问题,方向角问题,坡角,坡度(或坡比),课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,