1、第2课时用频率估计概率知识点用频率估计概率1.如图31-3-2显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.有下面三个推断:当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616;随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;若再次用计算机模拟试验,则当投掷次数为1000时,“钉尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是()A. B. C. D. 图31-3-2 图31-3-32.2018玉林 某小组做“用频率估计概率”的试验时,绘出的某一结果出现的频率折线图,如图31-
2、3-3所示.则符合这一结果的试验可能是()A.抛一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上B.掷一个质地均匀的骰子,出现3点朝上C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃D.从一个装有2个红球1个黑球的不透明袋子中任取一球(球除颜色外其他都相同),取到的是黑球3.2019柳州 柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果.下面是这个兴趣小组在相同的试验条件下,对某植物的种子发芽率进行研究时所得到的数据:种子数n307513021048085612502300发芽数m287212520045781411872185发芽频率mn0.93330.96000.96
3、150.95240.95210.95090.94960.9500依据上面的数据可以估计,这种植物的种子在该试验条件下发芽的概率约是(结果精确到0.01).4.如图31-3-4,为了测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画了一个边长为5 m的正方形,使不规则区域落在正方形内.现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.2附近,由此可估计不规则区域的面积是m2.图31-3-45.如图31-3-5,正方形ABCD内,有一个内切圆O.电脑可设计程序:在正方形内可随机产生一系列的点,当点数很多时,电
4、脑自动统计正方形内的点数为a个,O内的点数为b个(在正方形边上和圆上的点不在统计范围中),根据用频率估计概率的原理,可推得的大小约是()A.ab B.4ba C.ba D.4ab 图31-3-5 图31-3-66.2018北京模拟 某水果超市为了吸引顾客来店购物,设立了一个如图31-3-6所示的可以自由转动的转盘,开展有奖购物活动.顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果;指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得一盒樱桃(若指针落在分界线上,则重转).下表是该活动的一组统计数据:转动转盘的次数n100150200500800100
5、0落在“一袋苹果”区域的次数m68108140355560690落在“一袋苹果”区域的频率0.680.720.700.710.700.69下列说法不正确的是()A.当n很大时,估计指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70B.假如你去转动转盘一次,获得“一袋苹果”的概率大约是0.70C.如果转动转盘2000次,指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有600次D.转动转盘10次,一定有3次获得一盒樱桃7.在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球,共40个,这些球除颜色外都相同.小明从袋子中随机摸一个球,记下颜色后放回,摇匀,进行重复试验,并绘制了如图31-3-7所示的统计图.根据统计图提供的信息
6、,解决下列问题:(1)摸到黑球的概率约为(精确到0.1);(2)估计袋中黑球的个数为个;(3)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里,然后再次进行这个试验,当经过大量重复试验后,发现黑球的频率稳定在0.6左右,则估计小明后来放进了个黑球.图31-3-78.某小鱼塘放养鱼苗500尾,成活率为80%,成熟后,质量0.75千克及以上的鱼为优质鱼.若在一天中随机捞出一条鱼,称出其质量,再放回去,过一段时间后,不断重复上面的试验,共捞了500次,有320条鱼的质量在0.75千克及以上.若优质鱼的利润为4元/千克,则估计这个小鱼塘在优质鱼上至少可获利多少元.9.一个不透明的袋子中装有4个小球,分
7、别标有数字2,3,4,x,这些球除所标数字外其余都相同.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球,并计算摸出的这2个小球上的数字之和.记录后都将小球放回袋中搅匀,进行重复试验.试验数据如下表:摸球总次数1020306090120180240330450“和为7”出现的频数19142426375882109150“和为7”出现的频率0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33请解答下列问题:(1)如果试验继续进行下去,根据表中数据,“和为7”出现的频率将稳定在它的概率附近,试估计“和为7”出现的概率;(结果精确到0.01)(2)根据(1),若x是不等于2,3,
8、4的自然数,试估计x的值.教师详解详析【详解详析】1.B解析 当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以此时“钉尖向上”的频率是308500=0.616,但“钉尖向上”的概率不一定是0.616,故错误;随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618,故正确;若再次用计算机模拟试验,则当投掷次数为1000时,“钉尖向上”的概率可能是0.620,但不一定是0.620,故错误.故选B.2.D解析 A选项中抛一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的概率为0.5,不符合这一结果;B选项中掷一个质地均匀的骰子,出现3
9、点朝上的概率为16,不符合这一结果;C选项中一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为0.25,不符合这一结果;D选项中从一个装有2个红球1个黑球的不透明袋子中任取一球,取到的是黑球的概率为13,符合这一结果.故选D.3.0.95解析 大量重复试验的情况下,频率的稳定值可以作为概率的估计值,即次数越多的频率越接近于概率,这种植物的种子在此条件下发芽的概率约为0.95.4.5解析 经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.2附近,小石子落在不规则区域的概率为0.2.正方形的边长为5 m,正方形的面积为25 m2.设不规则区域的面积为S m,则S25=
10、0.2,解得S=5.5.B解析 设圆的半径为r,则正方形的边长为2r.根据题意,得r24r2ba,故4ba.6.D解析 A选项,频率稳定在0.7左右,故用频率估计概率,指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70,故A选项正确;由A可知B,转动转盘一次,获得一袋苹果的概率大约是0.70,故B选项正确;C选项,指针落在“一盒樱桃”区域的概率约为0.30,转动转盘2000次,指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有20000.3=600(次),故C选项正确;D选项,随机事件,结果不确定,D选项不正确.故选D.7.解:(1)观察发现:随着试验次数的增加,频率逐渐稳定在常数0.5附近,故摸到黑球的概率约为
11、0.5.故答案为0.5.(2)摸到黑球的概率约为0.5,黑球数约为球的总数的一半,估计袋中黑球的个数为20个.故答案为20.(3)设放入黑球x个.根据题意,得20+x40+x0.6,解得x10.故答案为10.8.解:共捞了500次,有320条鱼的平均重量在0.75千克及以上,池塘中的鱼是0.75千克及以上的鱼的概率约为320500=1625,162550080%40.75=768(元).答:估计这个小鱼塘在优质鱼上至少可获利768元.9.解:(1)估计“和为7”出现的概率是0.33.(2)随机摸出两个小球的数字之和为5,6,(2+x),5,7,(3+x),6,7,(4+x),(2+x),(3+x),(4+x).共有12种等可能的结果,由(1)知,和为7出现的概率约为0.33,和为7出现的次数约为0.3312=3.964(次).若2+x=7,则x=5,此时P(和为7)=130.33,符合题意;若3+x=7,则x=4,不符合题意;若4+x=7,则x=3,不符合题意.故估计x的值为5.