1、30.5二次函数与一元二次方程的关系 知识点 1二次函数图像与x轴交点的横坐标1.(1)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图30-5-1所示,则方程ax2+bx+c=0的根是,;(2)方程x2+3x+2=0的根是,抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点坐标是和.图30-5-12.已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴的两个交点坐标分别为(3,0)和(-1,0),则一元二次方程x2+bx+c=0的两个根是()A.x1=1,x2=3 B.x1=-3,x2=1C.x1=3,x2=-1 D.x1=-1,x2=-33.二次函数y=-x2+6x-9的图像与x轴交点的横坐标为.知识点 2二次函数图像与x
2、轴的交点个数4.教材“做一做”变式题 抛物线y=-3x2-x+4与x轴的公共点的个数是()A.3 B.2 C.1 D.05.图30-5-2是二次函数y=ax2+bx+c的大致图像,则一元二次方程ax2+bx+c=0()图30-5-2A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定6.设二次函数y=ax2+bx+c(a0),当x=2时,函数值y=0,则方程ax2+bx+c=0的判别式b2-4ac与0的大小关系是()A.b2-4ac=0 B.b2-4ac0 D.b2-4ac07.2018自贡 若函数y=x2+2x-m的图像与x轴有且只有一个交点,则m的值为.8.已知关于x的
3、二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图像与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2m3,则a的取值范围是.9.指出下列函数图像与x轴是否有公共点,如果有,请求出公共点坐标;如果没有,请说明理由.(1)y=x2+x;(2)y=-x2+2x-1;(3)y=3x2-6x+5.10.已知关于x的二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴都没有公共点;(2)把该函数的图像沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图像与x轴只有一个公共点?知识点 3利用二次函数图像求一元二次方程的近似解11.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值
4、y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个根x的范围是() x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04A.6x6.17 B.6.17x6.18 C.6.18x6.19 D.6.19x0)的部分图像如图30-5-4所示,直线x=1是它的对称轴.若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2x13,则它的另一个根x2的取值范围是.14.如图30-5-5,抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1x3的范围内有解,则t的取值范围是()图30-5-5A
5、.-5t4 B.3t4C.-5t-515.2019泸州 已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图像与x轴没有公共点,且当x-1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是()A.a-1C.-1a2 D.-1a0(a0)的解集;(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;(4)若方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.图30-5-618.如图30-5-7,二次函数y=(x+2)2+m的图像与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图像经过该二次函数图像上的点A(-1,0)及点B
6、.(1)求二次函数与一次函数的表达式;(2)根据图像,写出满足不等式(x+2)2+mkx+b的x的取值范围.图30-5-7教师详解详析【备课资源】教材的地位和作用本节课学习二次函数与一元二次方程的关系,对以后的学习意义重大.利用二次函数求一元二次方程的近似解与利用公式求解具有本质的区别,其价值主要表现在数学方法(逐渐逼近)上教学目标知识与技能理解一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标.能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.理解二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根过程与方法1.经历探索二
7、次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图像与x轴交点的个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想情感、态度与价值观经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动中充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性教学重点难点重点把握二次函数图像与x轴(或直线y=h)交点的个数与一元二次方程的根的个数的关系,及交点的横坐标与一元二次方程的根的关系难点探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,理解二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系易错点根据图像求一元二次不等式的解
8、集时,若解集是两部分,学生易出错.如解集为xb(ab)易写成axb教学导入设计活动一忆一忆1.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是x=2.2.如图,已知函数y=2x+b和y=ax-3的图像交于点P(-2,-5),根据图像可得关于x的方程2x+b=ax-3的解是x=-2活动二想一想已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像如图:观察图像回答下列问题.如图(1),抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点,当y=0时,即ax2+bx+c=0,猜测方程ax2+bx+c=0的解的情况.图(2),图(3)呢?答案 略【详解详析】1.(1)x1=-3x2=1(2
9、)x1=-2x2=-1(-2,0)(-1,0)2.C3.34.B5.A解析 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点,一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.6.D7.-1解析 函数y=x2+2x-m的图像与x轴有且只有一个交点,b2-4ac=22-41(-m)=4+4m=0,解得m=-1.8.13a12或-3a-2解析 y=ax2+(a2-1)x-a=(ax-1)(x+a),当y=0时,x1=1a,x2=-a,抛物线与x轴的交点为1a,0和(-a,0).抛物线与x轴的一个交点的坐标为(m,0)且2m0时,21a3,解得13a12;当a0时,2-a3,解得-3a-2.故答案为
10、13a12或-3a0,所以函数图像与x轴有两个公共点.当x2+x=0时,解得x1=0,x2=-1,所以函数图像与x轴的公共点的坐标为(0,0)和(-1,0).(2)有公共点.因为b2-4ac=4-4=0,所以函数图像与x轴有一个公共点.当-x2+2x-1=0时,解得x1=x2=1,所以函数图像与x轴的公共点坐标为(1,0).(3)没有公共点.理由:因为b2-4ac=36-600,所以函数图像与x轴没有公共点.10.解:(1)证明:b2-4ac=(-2m)2-41(m2+3)=4m2-4m2-12=-120,方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根,即不论m为何值,该函数的图像与x轴都没有公共点
11、.(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,把函数y=(x-m)2+3的图像沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图像,它的顶点坐标是(m,0),此时,这个函数的图像与x轴只有一个公共点.所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图像沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图像与x轴只有一个公共点.11.C12.D13.-1x20解析 由图像可知当x=2时,y0.由于直线x=1是抛物线的对称轴,则由二次函数图像的对称性可知:当x=0时,y0,所以另一个根x2的取值范围为-1x20.14.B解析 抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2,-m2(-1)=2,解得m=4
12、,抛物线的函数表达式为y=-x2+4x,抛物线的顶点坐标为(2,4).当x=1时,y=-x2+4x=3;当x=3时,y=-x2+4x=3.关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1x3的范围内有解,抛物线y=-x2+4x与直线y=t在1x3的范围内有公共点,3t4.15.D解析 y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6.抛物线与x轴没有公共点,(-2a)2-4(a2-3a+6)0,解得a2.抛物线的对称轴为直线x=-2a2=a,抛物线开口向上,而当x-1时,y随x的增大而减小,a-1,实数a的取值范围是-1a0时,x的取值范围为1x0的解集为1x2
13、.(4)方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,实际上就是函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与直线y=k有两个交点,由图像可知,此时k的取值范围是k2.18.解:(1)二次函数y=(x+2)2+m的图像经过点A(-1,0),0=1+m,m=-1,二次函数的表达式为y=(x+2)2-1=x2+4x+3,点C的坐标为(0,3).抛物线的对称轴为直线x=-2,B,C两点关于对称轴对称,点B的坐标为(-4,3).直线y=kx+b经过点A(-1,0),B(-4,3),-4k+b=3,-k+b=0,解得k=-1,b=-1,一次函数的表达式为y=-x-1.(2)由图像可知,满足不等式(x+2)2+mkx+b的x的取值范围为x-4或x-1.