1、30.3由不共线三点的坐标确定二次函数*知识点 1设一般式确定二次函数的表达式1.教材习题A组第2题变式 若一个二次函数的图像经过点A(0,0),B(-1,-11),C(1,9),则这个二次函数的表达式是()A.y=-10x2+x B.y=-10x2+19xC.y=10x2+x D.y=-x2+10x2.如图30-3-1,平面直角坐标系中一条抛物线经过网格点A,B,C,其中点B的坐标为(4,4),则该抛物线的表达式为.图30-3-13.2018湖州 已知抛物线y=ax2+bx-3(a0)经过点(-1,0),(3,0),求a,b的值.4.抛物线y=2x2平移后经过点A(0,3),B(2,3),求
2、平移后的抛物线的表达式.知识点 2设顶点式确定二次函数的表达式5.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点为点A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x之间的函数表达式为()A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-26.在二次函数y=a(x-h)2+k中,当x=4时,y有最大值-1,且它的图像形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的表达式为.7.已知二次函数图像的顶点坐标为(2,0),与y轴的交点为(0,1),判断点(-m,2m-1)是否在该二次函数的图像上,并说明理由.知识点 3设交点式确定二次函数的表
3、达式8.抛物线y=-x2+bx+c如图30-3-2所示,则b+c的值等于()图30-3-2A.8 B.9C.10 D.119.已知某二次函数的图像经过点A(1,0),B(2,0),C(3,4),求该二次函数的表达式.10.2018杭州 四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是()A.甲B.乙C.丙D.丁11.广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米,此时喷
4、水的水平距离为12米,在如图30-3-3所示的平面直角坐标系中,这支喷泉的函数表达式是()图30-3-3A.y=-x-122+3 B.y=3x-122+1 C.y=-8x-122+3 D.y=-8x+122+312.若二次函数y=a(x-h)2+k的图像经过原点,二次函数的最小值为-8,且形状与抛物线y=2x2-2x+3相同,则此二次函数的表达式为.13.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)如图30-3-4所示,请结合图像中所给信息完成以下问题:(1)求抛物线的表达式;(2)若该抛物线经过一次平移后过原点O,请写出一种平移方法,并写出平移后得到的新抛物线的表达式.图30-3-414.2018
5、宁夏 如图30-3-5,抛物线y=-13x2+bx+c经过点A(33,0)和点B(0,3),且这个抛物线的对称轴为直线l,顶点为C.(1)求抛物线的表达式;(2)连接AB,AC,BC,求ABC的面积.图30-3-515.如图30-3-6,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)若l经过点B,求它的表达式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点x1,y1,x2,y2,其中x1x20,比较y1与y2的大小;(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是14时,求h的
6、值.图30-3-616.如图30-3-7,22的正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点.抛物线l的函数表达式为y=(-1)nx2+bx+c(n为整数).(1)若n为奇数,且l经过点H(0,1)和点C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点;(2)若n为偶数,且l经过点A(1,0)和点B(2,0),请判断点F(0,2)和点H(0,1)是否在该抛物线上;(3)若l经过这九个格点中的三个,直接写出满足这样条件的抛物线的条数.图30-3-7教师详解详析【备课资源】教材的地位和作用二次函数是初中数学的重要内容之一,而用待定系数法求函数表达
7、式在前面的一次函数、反比例函数中已经多次得以运用,确定一次函数有两个独立的系数,需要两个独立条件,这些知识同学们已经熟悉,本节把这些内容推向初中阶段的最高点二次函数表达式的确定.由于前几节已经对二次函数的两种表达式进行了多方面的认识,是学习本节最直接的认知基础,通过本节的学习,进一步深化对二次函数的认识教学目标知识与技能让学生利用已知条件设立恰当的二次函数表达式,用待定系数法求二次函数的表达式.利用二次函数的性质解决问题,培养学生的识图能力过程与方法1.让学生在经历方程与识图的过程中,培养学生独立分析问题、解决问题的能力,提升学生的数学思维意识.2.通过一题多解,培养学生的合作探究意识及发散思
8、维能力情感、态度与价值观1.让学生感受数学美,激发学生学习数学的兴趣.2.让学生体验数学这一工具在解决问题中的作用教学重点难点重点建立方程意识和培养识图能力,学会用待定系数法求二次函数的表达式难点根据已知条件设立恰当的二次函数表达式易错点不能根据已知条件选择恰当的二次函数表达式教学导入设计活动一忆一忆过点(1,2)和(0,3)的直线的函数表达式为y=-x+3活动二想一想我们知道一次函数的表达式中有两个未知字母,所以只要知道两个点的坐标就可以确定一次函数的表达式,反比例函数的表达式中只有一个未知字母,所以只需知道一个点的坐标就可以求出反比例函数的表达式,二次函数的表达式中有几个未知字母呢?一般要
9、知道几个点的坐标才能确定其表达式呢?答案 三个未知字母,所以已知三个点的坐标就可以求出其函数表达式【详解详析】1.D解析 设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.把A(0,0)代入,得c=0,即函数表达式为y=ax2+bx.把B(-1,-11),C(1,9)代入,得a-b=-11,a+b=9,解得a=-1,b=10,则这个二次函数的表达式为y=-x2+10x.故选D.2.y=-16x2+23x+4解析 根据题意,设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.由图像可得抛物线过点(0,4),(4,4),(6,2),所以c=4,16a+4b+c=4,36a+6b+c=2,解得a=-16,b=23
10、,c=4.故这个二次函数的表达式为y=-16x2+23x+4.3.解:抛物线y=ax2+bx-3(a0)经过点(-1,0),(3,0),a-b-3=0,9a+3b-3=0,解得a=1,b=-2,即a的值是1,b的值是-2.4.解:设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c.把点A(0,3),B(2,3)分别代入,得c=3,8+2b+c=3,解得b=-4,c=3,所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2-4x+3.5.D解析 设这个二次函数的表达式为y=a(x+2)2-2,将(0,2)代入上式,得2=(0+2)2a-2.解得a=1,故这个二次函数的表达式是y=(x+2)2-2.故选D.6.y=
11、-2(x-4)2-1解析 由题意知,二次函数的图像的顶点坐标为(4,-1),且它的图像形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,这个二次函数的表达式为y=-2(x-4)2-1.7.解:点(-m,2m-1)不在该二次函数的图像上.理由如下:根据题意,可设二次函数的表达式为y=a(x-2)2.将(0,1)代入,得4a=1,解得a=14.故抛物线的表达式为y=14(x-2)2.若点(-m,2m-1)在抛物线y=14(x-2)2上,则14(-m-2)2=2m-1,整理,得m2-4m+8=0.b2-4ac=(-4)2-48=-160.又其形状与抛物线y=2x2-2x+3相同,二次项系数a=2.把a=2,k
12、=-8代入ah2+k=0中,得h=2,所求函数表达式是y=2(x-2)2-8或y=2(x+2)2-8,即y=2x2-8x或y=2x2+8x.13.解:(1)由题意得抛物线y=ax2+bx+c经过点(-3,0),(0,3),(1,0),c=3,9a-3b+c=0,a+b+c=0,解得a=-1,b=-2,c=3,抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.(2)平移抛物线y=-x2-2x+3,使它经过原点,则平移后的抛物线的表达式可为y=-x2-2x.故将抛物线y=-x2-2x+3向下平移3个单位长度,即可得到过原点O的抛物线y=-x2-2x(答案不唯一).14.解:(1)抛物线y=-13x2+bx+c
13、经过点A(33,0),B(0,3),-9+33b+c=0,c=3,解得b=233,c=3,抛物线的表达式为y=-13x2+233x+3.(2)由(1)得抛物线的对称轴为直线x=-b2a=3.把x=3代入y=-13x2+233x+3,得y=4,则点C的坐标为(3,4).设线段AB所在直线的表达式为y=kx+b.把A(33,0),B(0,3)代入得33k+b=0,b=3,解得k=-33,b=3,直线AB的表达式为y=-33x+3.如图,过点B作BFl于点F,设抛物线的对称轴l交直线AB于点D,交x轴于点E,则点D的坐标为(3,m).将D(3,m)代入y=-33x+3,解得m=2,点D的坐标为(3,
14、2),CD=CE-DE=4-2=2.BFl,BF=OE=3.BF+AE=OE+AE=OA=33,SABC=SBCD+SACD=12CDBF+12CDAE,SABC=12CD(BF+AE)=12233=33.15.解:(1)把点B(2,1)代入y=-(x-h)2+1中,解得h=2.抛物线l的表达式为y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3),对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1).(2)点C的横坐标为0,则yc=-h2+1,当h=0时,yc取最大值,最大值为1.此时,抛物线l的表达式为y=-x2+1,对称轴为y轴,当x0时,y随着x的增大而减小,当x1x20时,y1y2.(3)把线段OA
15、分成14两部分的点为(-1,0)或(-4,0).把x=-1,y=0代入y=-(x-h)2+1,解得h=0或h=-2.但当h=-2时,线段OA被分为三部分,不合题意,故舍去.同样,把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+1,解得h=-5或h=-3(舍去).h的值为0或-5.16.解:(1)n为奇数,抛物线的表达式为y=-x2+bx+c.将点H(0,1)和点C(2,1)代入上式,得c=1,-4+2b+c=1,解得b=2,c=1,抛物线的表达式为y=-x2+2x+1. 化为顶点式为y=-(x-1)2+2,其顶点坐标为(1,2).顶点所在的格点为E.(2)n为偶数,抛物线的表达式为y=x2+bx+c.将点A(1,0)和B点(2,0)代入上式,得1+b+c=0,4+2b+c=0,解得b=-3,c=2,抛物线的表达式为y=x2-3x+2.将x=0代入上式,可得y=2,点F在该抛物线上,点H不在该抛物线上.(3)8.