1、30.4第1课时建立二次函数模型解决实际问题知识点利用二次函数模型解决抛物线形问题1.2019山西改编 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉索与主梁相连,最高的钢拱如图30-4-1所示,此钢拱(近似看成二次函数的图像抛物线的一段)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的二次函数表达式为()A.y=26675x2 B.y=-26675x2 C.y=131350x2 D.
2、y=-131350x2 图30-4-1 图30-4-22.2019临沂 从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图30-4-2所示.有下列结论:小球在空中经过的路程是40 m;小球抛出3 s后,速度越来越快;小球抛出3 s时速度为0 m/s;小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是()A. B. C. D.3.教材例1变式 小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-15x2+3.5的一部分(如图30-4-3).若球命中篮圈中心,则她与篮底的距离l是()A.3.5m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m 图30-4-3
3、 图30-4-44.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图30-4-4.若菜农身高为1.8 m,他在不弯腰的情况下,在棚内的横向活动范围是m.5.图30-4-5是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10 m时,桥洞与水面的最大距离是5 m.(1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如图30-4-6,图中坐标系中的单位长度均为1 m),你选择的方案是(填方案一,方案二,或方案三),则点B的坐标是,求出你所选方案中的抛物线的表达式;(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6 m,求水面上涨的高度. 图30-4-5 图30-4-66. 如图30-4-7,一
4、工厂车间门口由抛物线和矩形ABCD的三边组成,门的最大高度是4.9米,AB=10米,BC=2.4米.若有一个高为4米,宽为2米的长方体形的大型设备要安装在车间内,如果不考虑其他因素,设备的右侧至少离开门边,此设备运进车间时才不至于碰到门的顶部()A.1.8米 B.1.9米 C.2.0米 D.2.1米 图30-4-7 图30-4-87.平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图30-4-8所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1 m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手的水平距离为1 m,2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1
5、.5 m,则学生丁的身高为m.8.2019藁城区一模改编 跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看做抛物线形.图30-4-9是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4 m,离地面的高度为1 m,以小明的手所在的位置为原点,建立平面直角坐标系.(1)当身高为1.5 m的小红站在绳子的正下方,且在距小明拿绳子手的右侧1 m处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式.(2)在(1)的条件下,若身高为1.65 m的小丽也站在绳子的正下方.当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5 m处时,绳子能碰到小丽的头吗
6、?请说明理由;设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为d m,为保证绳子不碰到小丽,求d的取值范围.(参考数据:10取3.16)图30-4-99.2018衢州改编 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图30-4-10所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)维修设备期间,王师傅在喷水池内,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修
7、评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.图30-4-10教师详解详析【备课资源】教材的地位和作用利用二次函数解决有关抛物线形的实际问题教学目标知识与技能学会分析抛物线形的实际问题,能建立数学模型,利用二次函数的图像及性质去解决过程与方法1.利用图像求出函数表达式,培养学生分析问题的能力.2.通过运用二次函数解决实际问题,培养学生的数学应用能力情感、态度与价值观进一步体会数学与生活的密切关系,增强对数学的理解与好奇心教学重点难点重点利用函
8、数图像解决实际生活中的抛物线形问题难点利用函数图像及性质解决实际问题易错点认真观察图形,从图形中找到解决问题的突破点教学导入设计活动一忆一忆已知抛物线的顶点在原点,且过点(3,-27),则这个二次函数的表达式为y=-3x2活动二想一想某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线形(抛物线所在平面与墙面垂直)(如图).如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面403米,那么水流下落点B离墙距离OB是3米【详解详析】1.B解析 设抛物线的表达式为y=ax2.将B(45,-78)代入,得-78=a452,解得a=-26675,故此抛物线钢拱所对应的二次函数表达式为y=-26675x2.
9、2.D解析 由图像知小球在空中达到的最大高度是40 m,故错误;小球抛出3 s后,速度越来越快,故正确;小球抛出3 s时达到最高点即速度为0 m/s,故正确;设函数表达式为h=a(t-3)2+40,把O(0,0)代入得0=a(0-3)2+40,解得a=-409,函数表达式为h=-409(t-3)2+40.把h=30代入表达式,得30=-409(t-3)2+40,解得t=4.5或t=1.5,小球的高度h=30 m时,t=1.5 s或4.5 s,故错误.3.B解析 把y=3.05代入y=-15x2+3.5中,解得x=1.5(舍去负值),所以l=2.5+1.5=4(m).4.3解析 设抛物线的表达式
10、为y=ax2+b,由题图知点(0,2.4),(3,0)在抛物线上,2.4=b,0=9a+b,解得a=-415,b=2.4,抛物线的表达式为y=-415x2+2.4.菜农的身高为1.8 m,即y=1.8,则1.8=-415x2+2.4,解得x1=32,x2=-32.故他在不弯腰的情况下,横向活动的范围是3 m.5.解:(1)答案不唯一,如:选择方案二,B(10,0).由题意知,抛物线的顶点坐标为(5,5),且经过点O(0,0),B(10,0),设抛物线的表达式为y=a(x-5)2+5,把点(0,0)代入,得0=a(0-5)2+5,即a=-15,抛物线的表达式为y=-15(x-5)2+5.(2)解
11、法不唯一.抛物线y=-15(x-5)2+5的对称轴是直线x=5,当水面宽度为6 m时,水面左端对应的横坐标是5-3=2.把x=2代入y=-15(x-5)2+5,得y=3.2.即水面上涨的高度是3.2 m.6.C解析 如图,以AB为x轴,AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系.则点A的坐标为(-5,0),点D的坐标为(-5,2.4),点C的坐标为(5,2.4),点E的坐标为(0,4.9).设抛物线的表达式为y=ax2+4.9,把点D的坐标代入表达式,解得a=-110,所以y=-110x2+4.9.把y=4代入y=-110x2+4.9,解得x=3.即设备的右侧离开门边5-3=2(米),此设备运进车
12、间时才能刚好进去.故选C. 7.1.625解析 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.因为抛物线过点(-1,1),(3,1),(0,1.5),所以a-b+c=1,9a+3b+c=1,c=1.5,解得a=-16,b=13,c=1.5.所以y=-16x2+13x+1.5.当x=1.5时,y=1.625.即丁的身高是1.625 m.8.解:(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx(a0).1.5-1=0.5,抛物线经过点(4,0)和(1,0.5),16a+4b=0,a+b=0.5,解得a=-16,b=23,绳子所对应的抛物线的表达式为y=-16x2+23x.(2)绳子能碰到小丽的头.理由如下:小丽
13、在距小亮拿绳子手的左侧1.5 m处,小丽距原点4-1.5=2.5(m),当x=2.5时,y=-162.52+232.5=0.625.1+0.625=1.625(m)1.65 m,绳子能碰到小丽的头.1.65-1=0.65,当y=0.65时,0.65=-16x2+23x,即10x2-40x+39=0,解得x=201010.103.16,x12.316,x21.684,4-2.316=1.684,4-1.684=2.316,1.684d2.316.9.解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得25a+5=0,解
14、得a=-15.水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5(0x8).(2)当y=1.8时,有-15(x-3)2+5=1.8,解得x1=-1(不合题意,舍去),x2=7,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.(3)当x=0时,y=-15(x-3)2+5=165.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15x2+bx+165.该函数图像过点(16,0),0=-15162+16b+165,解得b=3.改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15x2+3x+165=-15x-1522+28920.扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米.