1、第2课时二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图像和性质知识点 1二次函数y=ax2+k的图像和性质1.二次函数y=x2-1的图像是一条,它的开口方向,对称轴是,顶点坐标是,当x=时,函数y取得最值,可见函数y=x2-1的图像是由函数y=x2的图像向平移个单位长度得到的.2.2018淮安 将二次函数y=x2-1的图像向上平移3个单位长度,得到的图像所对应的函数表达式是.3.抛物线y=ax2+c的顶点坐标是(0,2),且形状及开口方向与抛物线y=-12x2相同,则a,c的值分别为()A.-12,-2 B.-12,2C.12,2 D.12,-24.关于二次函数y=-2x2+3,下列说
2、法中正确的是()A.图像的开口向上B.当x-3时,y随x的增大而减小7.顶点为(5,0)且开口方向、形状与函数y=-13x2的图像相同的抛物线是()A.y=-13(x-5)2 B.y=-x2-5C.y=-13(x+5)2 D.y=13(x+5)28.2019徐州 已知二次函数的图像经过点P(2,2),顶点为O(0,0),将该图像向右平移,当它再次经过点P时,所得抛物线的函数表达式为.知识点 3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质9.二次函数y=-(x-2)2+1的图像是一条,它的开口方向,对称轴是直线,顶点坐标是,当x=时,函数y取得最值,可见函数y=-(x-2)2+1的图像可由函数y=
3、-x2的图像经过得到.10.2019兰州 已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.2y1y2 B.2y2y1C.y1y22 D.y2y1211.二次函数y=(x+2)2-1的图像大致为()图30-2-912. 已知二次函数y=34(x-1)2-3.(1)画出函数图像,并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的变化情况;(2)函数y有最大值还是最小值?并写出这个最大(小)值.13.2018路南区期中 抛物线y=(x+2)2+m2+1(m为常数)的顶点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限14.关于x的二次函数y=
4、a(x-m)2-n的图像如图30-2-10所示,则一次函数y=mx+n的图像经过()图30-2-10A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限15.2019哈尔滨 将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为()A.y=2(x+2)2+3 B.y=2(x-2)2+3C.y=2(x-2)2-3 D.y=2(x+2)2-316.2018潍坊 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6 B.1或6C.1或3 D.4或617.已知二次函数y=
5、ax2+c有最大值,其中a和c分别是方程x2-2x-24=0的两个根,试求该二次函数的表达式.18.已知抛物线y=-2x2,y=-2(x-2)2,y=-2(x-2)2+2,请回答下列问题:(1)写出抛物线y=-2(x-2)2的顶点坐标,开口方向和对称轴;(2)分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=-2x2得到抛物线y=-2(x-2)2和y=-2(x-2)2+2?(3)如果要得到抛物线y=-2(x+2020)2-2019,应将y=-2x2怎样平移?19.已知抛物线y=13x2如图30-2-11所示.(1)抛物线向右平移m(m0)个单位长度后,经过点A(0,3),试求m的值;(2)画出(1)中平移后
6、的图像;(3)设两条抛物线相交于点B,试在新抛物线的对称轴上找一点P,使BP+AP的值最小,并求出点P的坐标.图30-2-11教师详解详析【备课资源】教材的地位和作用在本课时之前,学生已经理解了二次函数的概念并且了解了最简单的二次函数y=ax2的图像和性质.本课时主要是引导学生画一般的二次函数y=a(x-h)2+k的图像,让学生借助图像发现二次函数的性质以及特征教学目标知识与技能能够作出函数y=a(x-h)2+k的图像;能够正确说出y=a(x-h)2+k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标;能够理解函数y=a(x-h)2+k的图像的增减性过程与方法1.经历探索二次函数的图像作法和性质的过程,培养
7、学生的探索能力.2.通过学生自己的探索活动,对二次函数性质的研究,达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解情感、态度与价值观通过猜想、总结等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.让学生学会与他人合作,并体会与他人交流思想的过程教学重点难点重点经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图像的作法和性质的过程,能够作出y=a(x-h)2+k的图像.能够正确说出y=a(x-h)2+k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标难点如何运用二次函数的图像与性质解决问题.能够理解y=a(x-h)2+k的图像的变化情况易错点在写形如二次函数y=a(x+h)2+k
8、的顶点坐标时误写成(h,k),不注意h前面的符号教学导入设计活动一忆一忆抛物线y=-2x2的开口向下,顶点坐标为(0,0),对称轴是y轴,有最大值是0活动二想一想1.若把抛物线y=-2x2先向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的抛物线的开口方向和大小不变(填“改变”或“不变”),顶点坐标是(-4,1),有最大值是1.比较平移前后两抛物线的顶点坐标的变化情况,平移前后抛物线的形状变不变?不变(填“改变”或“不变”)2.把抛物线y=x2先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,你能写出平移后得到的抛物线的函数表达式吗?答案 y=(x-2)2-2【详解详析】1.抛物线向上y轴(或
9、直线x=0)(0,-1) 0小-1下1解析 画出二次函数y=x2-1的图像如图.结合图像可知二次函数y=x2-1的性质.2.y=x2+2解析 二次函数y=x2-1的顶点坐标为(0,-1),把点(0,-1)向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为(0,2),所以平移后的抛物线的表达式为y=x2+2.3.B4.B5.抛物线向上x=1(1,0)1小0右16.D解析 由a=-2-3时,y随x的增大而减小,故D项正确.故选D.7.A解析 设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y=-13x2相同,a=-13,y=-13(x-h)2+k其顶点坐标为(5,0),y=-13(
10、x-5)2.8.y=12(x-4)2解析 设原来的抛物线的表达式为y=ax2(a0).把P(2,2)代入,得2=4a,解得a=12,故原来的抛物线的表达式是y=12x2.设平移后的抛物线的表达式为y=12(x-b)2.把P(2,2)代入,得2=12(2-b)2.解得b=0(舍去)或b=4.所以平移后抛物线的表达式是y=12(x-4)2.9.抛物线向下x=2(2,1)2大1向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度10.A解析 当x=1时,y1=-(x+1)2+2=-(1+1)2+2=-2;当x=2时,y2=-(x+1)2+2=-(2+1)2+2=-7,所以2y1y2.11.D12.解:(1)
11、图像略.抛物线的开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-3).当x1时,y随x的增大而增大.(2)a=340,函数y有最小值,最小值为-3.13.B解析 y=(x+2)2+(m2+1)(m为常数),其顶点坐标为(-2,m2+1).-20,顶点在第二象限.14.A解析 观察函数图像可知:m0,n0,一次函数y=mx+n的图像经过第一、二、三象限.15.B16.B解析 当h5时,有-(5-h)2=-1,解得h3=4(舍去),h4=6.综上所述,h的值为1或6.17.解:解方程x2-2x-24=0,得x1=-4,x2=6.因为函数y=ax2+c有最大值,所以a0,所以m=3.(2)如图所示.(3)如图,由题意可知平移后抛物线的函数表达式为y=13(x-3)2,点B的坐标为32,34.设点A关于新抛物线对称轴的对称点为点C,则点C的坐标为(6,3),则点P为直线BC与抛物线y=13(x-3)2的对称轴(直线x=3)的交点.设直线BC所对应的函数表达式为y=kx+b(k0),则32k+b=34,6k+b=3,解得k=12,b=0,即直线BC所对应的函数表达式为y=12x,当x=3时,y=32,因此点P的坐标为3,32