1、30.2第1课时二次函数y=ax2的图像和性质知识点二次函数y=ax2的图像和性质命题角度1二次函数y=ax2的图像1.(1)函数y=5x2的图像的开口向,对称轴是,顶点坐标是.(2)函数y=-14x2的图像的开口向,对称轴是,顶点坐标是.2.二次函数y=(k+1)x2的图像如图30-2-1所示,则k的取值范围为.图30-2-13.指出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.抛物线y=3x2y=-4x2y=34x2y=-13x2开口方向对称轴顶点坐标4.已知二次函数y=12x2.(1)根据下表给出的x值,求出对应的y值后填写在表中;x-3-2-10123y=12x21292(2)在给出的平面直
2、角坐标系(如图30-2-2)中画出函数y=12x2的图像.图30-2-2命题角度2二次函数y=ax2的性质5.已知点A(-3,y1),B(-1,y2),C(-2,y3)在抛物线y=23x2上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3 B.y3y2y1C.y1y3y2 D.y2y30时,y随x的增大而(填“增大”或“减小”).8.课本“做一做”变式题 根据函数y=2x2,y=-2x2,y=x2与y=-x2的图像完成下列问题:(1)由图像可知抛物线y=2x2与抛物线的形状相同,且这两条抛物线关于轴对称;同样,抛物线y=x2与抛物线的形状相同,这两条抛物线也关于轴对称.(2)当|a|相同时
3、,开口大小;当|a|变大时,抛物线的开口变;当|a|变小时,抛物线的开口变.(3)抛物线y=2x2与y=-2x2,y=x2与y=-x2的共同性质是:.(写2条)9.已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数,求:(1)满足条件的m的值;(2)当m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时,当x为何值时,y随x的增大而增大?(3)当m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时,当x为何值时,y随x的增大而减小?10.已知抛物线y=ax2(a0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是()A.y10y2 B.y20y1C.y1y20 D.y2y1011.20
4、19呼和浩特 二次函数y=ax2与关于x的一次函数y=ax+a在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是()ABC D图30-2-412.定义运算“”为:ab=ab2(b0),-ab2(b0).如1(-2)=-1(-2)2=-4,那么函数y=2x的图像大致是()图30-2-513.如图30-2-6,O的半径为2,C1是函数y=2x2的图像,C2是函数y=-2x2的图像,则图中阴影部分的面积为.图30-2-614.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).(1)求此抛物线的表达式;(2)求抛物线y=ax2的顶点坐标和对称轴,并判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;(3)求出此抛物线上纵坐标为-6
5、的点的坐标.15.已知:如图30-2-7,直线y=3x+4与抛物线y=x2交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求出A,B两点的坐标;(2)求出两交点与抛物线顶点所围成的三角形的面积;(3)在直线y=3x+4的上方,抛物线的增减性如何描述?图30-2-716.有一座桥梁,桥孔的形状是一条开口向下的抛物线,其函数表达式为y=-12x2.(1)在平面直角坐标系中画出这条抛物线;(2)利用图像求离桥孔的最高点2个单位长度时水面的宽度;(3)当水面的宽为6个单位长度时,水面离桥孔的最高点有多少个单位长度?17.2019衡阳 在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图像如图30-2-8所
6、示.已知点A的坐标为(1,1),过点A作AA1x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4OA交抛物线于点A4依次进行下去,则点A2019的坐标为.图30-2-8教师详解详析【备课资源】教材的地位和作用本节课是在学生已经学习过一次函数(包括正比例函数)、反比例函数的图像与性质,以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的,它既是前面所学知识的应用和拓展,又是对前面所学一次函数、反比例函数图像与性质的一次升华教学目标知识与技能能画出二次函数y=ax2的图像,理解并掌握二次函数y=ax2的性质过程与方法1.
7、经历探索二次函数y=ax2的图像与性质的过程,理解数形结合的思想方法.2.能灵活运用二次函数y=ax2的图像和性质解决相关问题情感、态度与价值观体会动手操作在学习中的重要作用,感受数学知识的严谨性与严密性以及数形结合思想的应用教学重点难点重点能画出二次函数y=ax2的图像,理解并掌握二次函数y=ax2的性质难点运用二次函数y=ax2的图像和性质解决相关问题易错点1.画二次函数图像时应在对称轴的左右两侧对称取值.2.画实际生活中的二次函数图像时,应在自变量有意义的范围内取值教学导入设计活动一忆一忆1.直线y=2x-4经过第一、三、四象限,且y随x的增大而增大,与x轴的交点坐标是(2,0),与y轴
8、的交点坐标是(0,-4).2.反比例函数y=-3x的图像是双曲线,图像的两支分别在第二、四象限;若A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的两点,且x1x20,则y1y2活动二想一想已知点M(k,2)在抛物线y=x2上,则k的值为2;点N(k,4)不在(填“在”或“不在”)抛物线y=x2上,点H(-k,2)在(填“在”或“不在”)抛物线y=x2上【详解详析】1.(1)上y轴(0,0)(2)下y轴(0,0)2.k-1解析 由图可知抛物线的开口向上,故k+10,解得k-1.3. 抛物线y=3x2y=-4x2y=34x2y=-13x2开口方向向上向下向上向下对称轴y轴y轴y轴y轴顶点坐标(0,0
9、)(0,0)(0,0)(0,0)4.解:(1)x-3-2-10123y=12x292212012292(2)如图所示:5.D解析 抛物线y=23x2的对称轴是y轴,在对称轴左侧,y随x的增大而减小.-3-2-1,y2y30时,抛物线有最低点,所以m=2,此时抛物线的表达式为y=4x2,所以抛物线的最低点为(0,0).当x0时,y随x的增大而增大.(3)当m=-3时,抛物线开口向下,函数有最大值.此时抛物线的表达式为y=-x2,所以二次函数的最大值是0,这时,当x0时,y随x的增大而减小.10.C解析 方法1:将A(-2,y1),B(1,y2)两点分别代入y=ax2,得y1=4a,y2=a.因为
10、a0,所以4aa,即y1y20.方法2:由抛物线y=ax2(a0),得A(-2,y1)关于y轴的对称点的坐标为(2,y1).当a0时,y随x的增大而增大,012,0y20时,二次函数开口向上,一次函数经过第一、二、三象限,当a0),-2x2(x0).当x0时,其图像是抛物线y=2x2对称轴右侧的部分;当x0时,其图像是抛物线y=-2x2对称轴左侧的部分.故选C.13.2解析 图中阴影部分的面积等于半圆的面积.O的半径为2,图中阴影部分的面积为1222=2.14.解:(1)将点A(-2,-8)代入抛物线的表达式y=ax2,解得a=-2,则此抛物线的表达式为y=-2x2.(2)抛物线y=-2x2的
11、顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴,将x=-1代入y=-2x2,得y=-2-4,故点B(-1,-4)不在此抛物线上.(3)将y=-6代入y=-2x2,解得x=3.所以抛物线上纵坐标为-6的点的坐标为3,-6,-3,-6.15.解:(1)由y=3x+4,y=x2,解得x1=-1,y1=1或x2=4,y2=16,所以直线y=3x+4与抛物线y=x2的交点坐标为A(-1,1),B(4,16).(2)当x=0时,y=4,所以直线y=3x+4与y轴的交点C的坐标为(0,4).因为抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0),所以SAOB=SAOC+SCOB=1241+1244=2+8=10,即两交点与抛物线顶点
12、所围成的三角形的面积为10.(3)在直线y=3x+4上方的抛物线,当x4时,y随x的增大而增大.16.解:(1)列表:x-3-2-10123y=-12x2-412-2-120-12-2-412描点、连线,得二次函数y=-12x2的图像,如图所示:(2)如图所示,过点M(0,-2)作AB平行于x轴,交抛物线于A,B两点.函数y=-12x2的图像关于y轴对称,AM=BM.又直线AB平行于x轴,点A,B的纵坐标均为-2.当y=-2时,-12x2=-2,解得x=2,A(-2,-2),B(2,-2),即AB=4,此时水面的宽度为4个单位长度.(3)如图所示.取N(3,0),过点N作y轴的平行线,交抛物线
13、于点F,过点F作x轴的平行线交抛物线于另一点E,则EF=6,点E,F的横坐标分别为-3和3.当x=3或x=-3时,y=-1232=-412,点F的纵坐标为-412,NF=412.水面的宽为6个单位长度时,水面离桥孔的最高点为412个单位长度.17.(-1010,10102)解析 点A的坐标为(1,1),直线OA为y=x,A1(-1,1),A1A2OA,直线A1A2的表达式为y=x+2,解y=x+2,y=x2得x=-1,y=1或x=2,y=4,A2(2,4).A3(-2,4).A3A4OA,直线A3A4的表达式为y=x+6,解y=x+6,y=x2得x=-2,y=4或x=3,y=9,A4(3,9),A5(-3,9),A2019(-1010,10102).