1、图形的相似【考纲要求】1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置【知识网络】【考点梳理】考点一、比例线段1. 比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其
2、中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：a：b=c：dad=bc a：b=b：c.（2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（ACBC），并且使AC是
3、AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)
4、相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一
5、个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相 等，那么这两个三角形相似.考点三、位似图形1.位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类：(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应
6、线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐 标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、比例线段1. 已知三个数1,2,请你再添上一个(只填一个)数, 使它们能构成一个比例式,则这个数是_.分析：这是一道开放型试题,由于题中没有告知构成比例的各数顺序, 故应考虑各种可能位置.【思
7、路点拨】这是一道开放型试题,由于题中没有告知构成比例的各数顺序, 故应考虑各种可能位置.【答案与解析】根据比例式的概念，可得：12=；21=212=【总结升华】要构成一个比例式，根据比例式的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段举一反三： 【变式】将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A菱形的各角扩大为原来的2倍 B菱形的边长扩大为原来的2倍C菱形的对角线扩大为原来的2倍 D菱形的面积扩大为原来的4倍【答案】A.类型二、相似图形【高清课堂：图形的相似 考点10 （3）】2. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，A=60，直线EF经过点C，分别
8、交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长；请你在图中找到一个与BDF相似的三角形，并说明理由【思路点拨】（1）可证EBC与EAF相似，通过相似三角形的性质可得出DE的长（2）根据相似三角形的判定定理可得，找出条件即可【答案与解析】（1）四边形ABCD是菱形，且边长为3，AB=BC=AD=3，BCADEBCEAFDF=2，AD=3，AF=5BE=（2）EBD与BDF相似 证明：四边形ABCD是菱形，BCAD，CDAB， 又AB=AD，A=60，ABD是等边三角形，BD=AB=AD，ABD=ADB=60，EBD=BDF=120EBDBDF【
9、总结升华】此题考查了相似三角形的判定和性质，如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似相似三角形的对应边的比相等，对应角相等3（2019广东汕头）如图（1），ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，BACDEF90，固定ABC，将EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与AGC相似的三角形
10、有 及 ；（2）设CGx，BHy，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，AGH是等腰三角形？【思路点拨】（1）根据ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论（2）由AGCHAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y=x：9即可（3）此题要采用分类讨论的思想，当CGBC时，当CG=BC时，当CGBC时分别得出即可【答案与解析】（1）ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，H+HAC=45，HAC+CAG=45，H=CAG，ACG=B=45，AGCHAB，同理可得出：始终与AGC相似的三角形有HA
11、B和HGA；故答案为：HAB和HGA（2）AGCHAB，AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，y=（x0），AB=AC=9，BAC=90，BC=答：y关于x的函数关系式为y=（x0） （3）当CGBC时，GAC=HHAG，ACCH，AGAC，AGCHGH，又AHAG，AHGH，此时，AGH不可能是等腰三角形，当CG=BC时，G为BC的中点，H与C重合，AGH是等腰三角形，此时，GC=，即x=，当CGBC时，由（1）AGCHGA，所以，若AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH，若AG=AH，则AC=CG，此时x=9，如图（3），当CG=BC时，注意：DF才旋转到与BC垂直的位置，此时B，
12、E，G重合，AGH=GAH=45，所以AGH为等腰三角形，所以CG=综上所述，当x=9或x=或时，AGH是等腰三角形【总结升华】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目举一反三：【变式】（2019湖南怀化）如图8，ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1) 求证：(2) 求这个矩形EFGH的周长.
13、【答案】（1）证明：四边形EFGH为矩形，EFGH，AHG=ABC，又HAG=BAC，AHGABC，；（2）解：由（1）得：设HE=xcm，MD=HE=x，AD=30，AM=30-x，HG=2HE，HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x（cm），可得，解得，x=12，2x=24所以矩形EFGH的周长为：2（12+24）=72（cm）答：矩形EFGH的周长为72cm4. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q（1）四边形OABC的形状是 ，当时，的值是 ；（2
14、）如图1，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；如图2，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【思路点拨】（1）根据有一个角是直角的平行四边形即可得出四边形OABC是矩形，当=90时，可知，根据比例的性质得出；（2）由COPAOB，根据相似三角形对应边成比例得出CP=，同理由BCQBCO，得出CQ=3，则BQ可求；先利用AAS证明OCPBAP，得出OP=BP，即可求出；（3）当点P位于点B的右侧时，过点Q画QHOA于H，连接OQ，则QH=OC=OC，根据SPOQ=SPOQ，即
15、可证明出PQ=OP；设BP=x，在RtPCO中，运用勾股定理，得出x=，进而求得点P的坐标【答案与解析】（1）O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），OA=BC=8，OC=AB=6， 四边形OABC的形状是矩形；当=90时，P与C重合，如图，根据题意，得，则； （2）如图1，POC=BOA，PCO=OAB=90，COPAOB，即，CP=,BP=BCCP=.同理BCQBCO，即，CQ=3，BQ=BC+CQ=11，; 图2，在OCP和BAP中，OCPBAP（AAS）OP=BP设BP=x，在RtOCP中，（8-x）2+62=x2，解得x=SOPB=；（3）
16、过点Q作QHOA于H，连接OQ，则QH=OC=OC，SPOQ=PQOC，SPOQ=OPQH，PQ=OP设BP=x，BP=BQ，BQ=2x，如图4，当点P在点B左侧时，OP=PQ=BQ+BP=3x，在RtPCO中，（8+x）2+62=（3x）2，解得x1=1+，x2=1-（不符实际，舍去）PC=BC+BP=9+，P1（-9-，6） 如图5，当点P在点B右侧时，OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x在RtPCO中，（8-x）2+62=x2，解得x=PC=BC-BP=8-=，P2（-，6），综上可知，存在点P1（-9-，6），P2（-，6），使BP=BQ【总结升华】本题考查了旋转的性质，矩形的性质
17、，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解【高清课堂：图形的相似 考点10 （5）】5如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EFDE交BC于点F求证：ADEBEF；设正方形的边长为4， AE=，BF=当取什么值时，有最大值?并求出这个最大值【思路点拨】本题涉及到的考点有相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，二次函数的最值以及正方形的性质【答案与解析】（1）证明：ABCD是正方形，DAE=EBF=90，ADE+AED=90，又EFDE，AED+BEF=90，ADE
18、=BEF，ADEBEF由（1）ADEBEF，AD=4，BE=4-x得：，即：， 得：y=（0x4）（3）解：当x=2时，y有最大值，y的最大值为1该函数图象在对称轴x=2的左侧部分是上升的，右侧部分是下降的【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用确定个二次函数的最值是，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值类型三、位似图形6 . 如图，用下面的方法可以画出AOB的“内接等边三角形”，阅读后证明相应的问题.画法：(1)在AOB内画等边CDE，使点
19、C在OA上，点D在OB上；(2)连结OE并延长，交AB于点E，过E作ECEC，交OA于点C，作EDED，交OB于点D；(3)连结CD，则CDE是AOB的内接三角形.请判断CDE是否是等边三角形，并说明理由. 【思路点拨】由画法可知，CDE和CDE是位似图形.【答案与解析】CDE是等边三角形. 证明：CECE，OECOEC， ，CED=CED=60， CDECDE.CDE为等边三角形， CDE为等边三角形.【总结升华】重点考查阅读理解能力和知识的迁移能力.举一反三：【变式】如图，直角坐标系中ABC的A、B、C三点坐标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0).请在图中画出ABC的一个以点P (1
20、2，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与ABC同在 P点一侧)；【答案】连接位似中心P和ABC的各顶点，并延长，使PA=3PA，PB=3PB，PC=3PC连接、，则得到所要画的图形.画出，如图所示.中考总复习：图形的相似-巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1如图，四边形ABCD中，BAD=ADC=90，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上若P到BD的距离为，则点P的个数为（）A1B2C3D42. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则SBCE：SBDE等于（）A.2：5B.14:25C.16:25D.4:213.
21、（2019湖北荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，CPDAB，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A1对B2对C3对D4对4.如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60时，第二次是阳光与地面成30时，第二次观察到的影子比第一次长()A B.C.D.5如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE下列结论中：CE=BDADC是等腰直角三角形ADB=AEBCDAE=EFCG；一定正确的结论有（）A1个 B2个 C3个 D4个6如图，中
22、，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）A1 B2 C3 D4 二、填空题7.如图已知ABC的面积是的等边三角形，ABCADE，AB=2AD，BAD=45，AC与DE相交于点F，则AEF的面积等于_（结果保留根号）. 第7题 第8题 8. 已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为9.如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若APD=60，则CD的长为 第9题 第10题 10如图，在直角三角形ABC中（C=90），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若
23、两个小正方形的面积分别为，则+的值为 第11题 第12题 12.锐角ABC中，BC6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MNBC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ABC公共部分的面积为y（y 0）,当x ，公共部分面积y最大，y最大值 ,三、解答题13. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=（090）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答:_.（填“能”或“不能”）（2）设
24、AA1=A1A2=A2A3=1.=_度；若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1.数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则=_，=_，=_；（用含的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.14. 如图（1），ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，BACDEF90，固定ABC，将EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结
25、束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与AGC相似的三角形有及；（2）设CGx，BHy，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，AGH是等腰三角形？15.已知:直角梯形OABC中，BCOA，AOC=90，以AB为直径的圆M交OC于DE，连结AD、BD、BE.(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形._，_；(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点ABD，且B为抛物线的顶点.写出顶点B的坐标（用a的代数式
26、表示）_；求抛物线的解析式；在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PNx轴于N，使得PAN与OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.16（2019上海）在RtABC中，ACB=90，BC=30，AB=50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sinEMP=（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），
27、求AP的长图1 图2 备用图【答案与解析】一选择题1【答案】B2【答案】B3【答案】C；【解析】先根据条件证明PCFBCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明APDPGD，进而证明APGBFP，再证明时注意图形中隐含的相等的角4【答案】B5【答案】；【解析】利用SAS证明BADCAE，可得到CE=BD，利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合ADE是等腰直角三角形可得到ADC是等腰直角三角形；利用SAS证明BAEBAD可得到ADB=AEB；利用已知得出GFD=AFE，以及GDF+GFD=90，得出GCD=AEF，进而得出CGDEAF，得出比例式6【答案】；【解析】因为A+2=90，1=
28、A，所以1+2=90，即ABC为直角三角形，故正确；根据CD2=ADDB得到，再根据ADC=CDB=90，则ACDCBD，1=A，2=B，根据三角形内角和定理可得：ACB=90，故正确；因为B+2=90，B+1=90，所以推出1=2，无法得到两角和为90，故错误；设BC的长为3x，那么AC为4x，AB为5x，由9x2+16x2=25x2，符合勾股定理的逆定理，故正确；由三角形的相似无法推出ACBD=ADCD成立，所以ABC不是直角三角形，故错误所以正确的有三个故选C二填空题7【答案】8【答案】9【答案】；【解析】ABC是等边三角形，B=C=60，APB=PAC+C，PDC=PAC+APD，AP
29、D=60，APB=PAC+60，PDC=PAC+60，APB=PDC，又B=C=60，ABPPCD，即，CD=10【答案】；【解析】根据已知条件可以推出CEFOMEPFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值答题11.【答案】17；【解析】如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，AC=2CD，CD=2，EC2=22+22，即EC=2，S2的面积为EC2=8，S1的边长为3，S1的面积为33=9，S1+S2=8+9=1712【答案】3；6三.综合题13【解析】（1）根据已知条件BAC=（090）小棒两端能分别落在两射线上
30、，小棒能继续摆下去故答案为：能；（2）A1A2=A2A3，A1A2A2A3，A2A1A3=45，AA2A1+=45，AA2A1=，=22.5；AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2A2A3A1A3=，AA3=1+又A2A3A3A4A1A2A3A4同理；A3A4A5A6A=AA2A1=AA4A3=AA6A5AA3A3A4，AA5=A5A6a2=A3A4=AA3=1+a3=AA3+A3A5=a2+A3A5A3A5=a2a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2an=(+1)n-1；（3）A1A2=AA1A1AA2=AA2A1=A2A1A3=1=+1=2同理可得：2=33=4；（4）如图：A4
31、A3=A4A5，A4A3A5=A4A5A3=4，A4A3A5+A4A5A3+A3A4A5=180，4+4+A3A4A5=180，A4A3A5=A4A5A3=490，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，当A5A4B是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，A5A4B=5是钝角或直角时，只能摆放4根小棒，590，即，1822.5故答案为：能，22.5，2，3，414【解析】（1）HGA及HAB；（2）由（1）可知AGCHAB，即，所以，（3）当CG时，GAC=HHAC，ACCHAGAC，AGGH又AHAG，AHGH此时，AGH不可能是等腰三角形；当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，AGH是等腰三
32、角形；此时，GC=，即x=当CG时，由（1）可知AGCHGA所以，若AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH，则AC=CG，此时x=9综上，当x=9或时，AGH是等腰三角形15【解析】（1）OADCDB.ADBECB； （2）（1，4a）；OADCDBax22ax3a=0，可得A（3，0）又OC=4a，OD=3a，CD=a，CB=1，故抛物线的解析式为： 存在，设P（x，x2+2x+3），PAN与OAD相似，且OAD为等腰三角形，PN=AN当x0（x0（x3）时，x3=(x2+2x+3)，x1=0，x2=3(都不合题意舍去)， 符合条件的点P为（2，5）16.【解析】（1）ACB=90，AC=40S=,CP=24在RtCPM中，sinEMP=，CM=26（2）由APEACB，得，即，PE=在RtMPE中，sinEMP=，EM=PM=PN=AP+PN+NB=50，x+y=50y=(0x32)（3）当点E在线段AC上时，AMEENB，EM=EN，设AP=x，由（2）知EM=，AM=，NB=解得x1=22，x2=0（舍去），即AP=22当点E在线段BC上时，根据外角定理，ACEEPM，CE=设AP=x，易得BE=，CE=3030=解得x=42即AP=42AP的长为22或42