1、特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性 质判 定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四
2、条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .中心对称图形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、中点四边形相关问题1. 中点四边形的概念：把依次连接任意一个四
3、边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定考点三、重心1.线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1.（2018湛江）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形AC
4、EF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，an，则an=_ 【思路点拨】求a2的长即AC的长，根据直角ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4由求出的a2=a1，a3=a2，an=an-1=（）n-1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式【答案】（）n-1.【解析】a2=AC，且在直角ABC中，AB2+BC2=AC2，a2=a1=，同理a3=a2=2，,a4=a3=2，由此可知：an=an-1=（）n-1故答案为：（）n-1.【总结升华】考查了正方形的性质，以及勾股定理在直
5、角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键举一反三： 【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例4】【变式】(2018德州)长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止当n=3时，a的值为_第一次操作第二次操作【答案】或.2O是ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，如果DEFG能构成四边形，(1)如图，当O
6、点在ABC内部时，判断四边形DEFG是什么特殊的四边形，并证明(2)若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？画出图形并说明理由(3)若四边形DEFG为菱形，O点所在位置应满足什么条件？画出图形并说明理由【思路点拨】（2）分析：四边形DEFG是平行四边形若要四边形DEFG为矩形，需要EFFG（3）分析：四边形DEFG是平行四边形若要四边形DEFG为菱形，需要EF=FG【答案与解析】（1）四边形DEFG是平行四边形证明：D、G分别是AB、AC的中点，且同理，且，且四边形DEFG是平行四边形（2）解：当AOBC时，四边形DEFG是矩形连接OA，易知，所以AOBC时，EFFG，此时平行四边
7、形DEFG为矩形（3）解：当AO=BC时，四边形DEFG是菱形连接OA，可知，所以当AO=BC时，EF=FG，此时平行四边形DEFG是菱形【总结升华】重点考查了特殊平行四边形的判定.类型二、梯形的应用3（2018资阳）如图，在梯形ABCD中，已知ADBC，B=90，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EFDE，交直线AB于点F（1）若点F与B重合，求CE的长；（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）【思路点拨】（1）先证明四边形ABED为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案；（
8、2）设AF=CE=x，则HE=x-3，BF=7-x，再通过证明BEFHDE，根据对应边成比例，然后代入求解即可；（3）综合（1）（2）两种情况，然后代入求出解析式即可【答案与解析】（1）F与B重合，且EFDE，DEBC，ADBC，B=90，A=B=90，四边形ABED为矩形，BE=AD=9，CE=12-9=3（2）作DHBC于H，则DH=AB=7，CH=3设AF=CE=x，F在线段AB上，点E在线段BH上，CH=3，CE=x，HE=x-3，BF=7-x，BEF+90+HED=180，HDE+90+HED=180，BEF=HDE，又B=DHE=90，BEFHDE=，=，整理得x2-22x+85=
9、0，（x-5）（x-17）=0，x=5或17，经检验，它们都是原方程的解，但x=17不合题意，舍去x=CE=5（3）作DHBC于H，ADBC，B=90，AB=7，AD=9，BC=12， CE=x，BF=y，则HE=x-3，BF=y，当3x12时，易证BEFHDE，=，y=-x2+x-，当0x3，易证BEFHDE，则HE=3-x，BF=y，=，y=x2x【总结升华】本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用举一反三：【变式】（2018台湾）如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH
10、相交于I点，且ADHE若A=60，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为（）.10-10+【答案】B.类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例7】4. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，=3将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N （1）求BN的长；（2）求四边形ABNM的面积. 【思路点拨】（1）根据折叠的性质得出AM=AM，BN=BN，BN=BN=x，则CN=9-x，再利用勾股定理求出即可；（2）首先求出NC的长，即可得出BN，利用角相等三角函数值就相等，即可
11、求出AM，即可得出答案【答案与解析】如图（1）由题意，点A与点A，点B与点B分别关于直线MN对称，AM=AM，BN=BN设BN=BN=x，则CN=9-x正方形ABCD，C=90CN2+BC2=BN2BC=3，（9-x）2+32=x2解得x=5,BN=5（2）正方形ABCD，ADBC，A=90点M，N分别在AD，BC边上，四边形ABNM是直角梯形BN=BN=5，BC=9，NC=4sin1=，tan1=1+2=90，2+3=90，3=1sin3=sin1=，在RtDBP中，D=90，DB=DC-BC=6，sin3=，PB=，AB=AB=9，AP=AB-PB=，4=3，tan4=tan3=，在RtA
12、MP中，A=A=90，AP=，tan4=，AM=2S梯形ABNM=（AM+BN）AB=（2+5）9=【总结升华】此题主要考查了折叠问题与解直角三角形以及正方形的知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，以及解直角三角形时相等的角三角函数值相等5（2018自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发
13、生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【思路点拨】（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得4=60，AC=AB进而求证ABEACF，即可求得BE=CF；（2）根据ABEACF可得=,故根据S四边形AECF =+=+=即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据=S四边形AECF-，则CEF的面积就会最大【答案与解析】（1）证明：连接AC，如下图所示，四边形ABCD为菱形，BAD=120，1+EAC=60，3+EAC=60，1=3，BAD=120，AB
14、C=60，ABC和ACD为等边三角形，4=60，AC=AB，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA）BE=CF；（2）解：四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化理由：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF，故S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值，作AHBC于H点，则BH=2，S四边形AECF=SABC=BCAH=BC=，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECF-SAEF，则此时CEF的面积就会最大SCE
15、F=S四边形AECF-SAEF=-=【总结升华】考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证ABEACF是解题的关键，有一定难度6.（2018苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0x2.5（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x
16、的值；（2）记DGP的面积为S1，CDG的面积为S2试说明S1-S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长【思路点拨】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由GCDAPG，利用对应边成比例可解出x的值（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可（3）延长PD交AC于点Q，然后判断DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在RtDGP中，解直角三角形可得出PD的长度【答案与解析】（1）CGAP，GCDAPG，=，GF=4，CD=DA=1，AF=，GD=3-，AG=4-，=，即y=，y关于x的函数关系式为y=，当y=3时
17、，=3，解得x=2.5，经检验的x=2.5是分式方程的根故x的值为2.5；（2）S1=GPGD=（3-）=，S2=GDCD=（3-x）1=，S1-S2=-=即为常数；（3）延长PD交AC于点Q正方形ABCD中，AC为对角线，CAD=45，PQAC，ADQ=45，GDP=ADQ=45DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，3-x=，化简得：x2-5x+5=0解得：x=，0x2.5，x=，在RtDGP中，PD=（3-x）=【总结升华】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解举一反三：【变式】如图，E是矩形
18、ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PFAE，PHDE，垂足分别为F，H（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？【答案】（1）AD=2AB证明：四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD；E是BC的中点，AB=BE=EC=CD；则ABE、DCE是等腰Rt；AEB=DEC=45；AED=90；四边形PFEH中，PFE=FEH=EHP=90，故四边形PFEH是矩形；（2）点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下：由（1）可得BAE=CDE=45；FAP=HDP=45；
19、又AFP=PHD=90，AP=PD，RtAFPRtDHP；PF=PH；在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形.中考总复习：特殊的四边形-巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 如图,E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQPR的值是( )ABCD2如图,在梯形ABCD中，ABCD， 中位线MN= 7,对角线ACBD,BDC= 30，则梯形的高为（ ）AB CD 第1题 第2题 第3题3. 四边形ABCD的对角线AC=BD，且ACBD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，得到四边形EFGH，则它是（
20、）.A正方形 B菱形 C矩形 D任意四边形4如图，矩形ABCD中，其长为a，宽为b，如果，则的值为（ ）.A B CD5.如图，在菱形ABCD中，的垂直平分线FE交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF则等于（ ）ABC D 第5题 第6题6.（2018台湾）如图，梯形ABCD中，DAB=ABC=90，E点在CD上，且DE：EC=1：4若AB=5，BC=4，AD=8，则四边形ABCE的面积为（）. A.24 B.25 C.26 D.27二、填空题7. 如图，点E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的
21、面积之比为_ 第7题 第8题8. 如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AC与BD相交于点O下面结论正确的是_AC=BD；DAO=DBC；SBOC=S梯形ABCD；AOBDOC9. 已知菱形ABCD的边长为6，A=60，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为_.10.（2018湖州）如图，将正ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若=，则ABC的边长是_. 第10题 第11题 第12题11.（2018咸宁）如图，在梯形ABCD中，ADBC，C=90，BE平分ABC且交CD于E，E为CD的中点，EFBC交AB于F，EGAB
22、交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为_12.如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，如此下去，得到四边形A2018B2018C2018D2018，若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的代数式表示四边形A2018B2018C2018D2018的周长_.三、解答题13. 已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF(1)当DG=2时，求FCG的面积；(2)设DG=，用含的代数式表示FCG的面积；(3
23、)判断FCG的面积能否等于1，并说明理由14.在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，MPN为直角三角形，MPN=90正方形ABCD保持不动，MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_；位置关系为_15如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作APC和BPD，使PC=PA，PD=PB，
24、APC=BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在APB的外部作APC和BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，APC=BPD=90，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由16.如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），OBA=90，BCOA，OB=8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动现点E、F同时出发，当点F到达点
25、B时，E、F两点同时停止运动（1）求梯形OABC的高BG的长；（2）连接E、F并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由【答案与解析】一.选择题1【答案】A2【答案】B.3【答案】A.4【答案】A.【解析】由题意，.5【答案】D.6【答案】C.【解析】连接AC， 梯形ABCD中，DAB=ABC=90，AB=5，BC=4，AD=8，S梯形ABCD=（AD+BC）AB=30，SABC=ABBC=54=10，SACD=30-10=20，DE：EC=1：4，
26、SACE=20=16，S四边形ABCE=10+16=26故选C二填空题7【答案】.【解析】 把APD旋转到DCM，把ABF旋转到BCN， 则多边形PFBNMD的面积被分成10份，阴影部分占4份.8【答案】.9【答案】或.10.【答案】12.【解析】设正ABC的边长为x，则高为x，SABC=xx=x2，所分成的都是正三角形，结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x-，较短的对角线为（x-）=x-1，黑色菱形的面积=（x-）（x-1）=（x-2）2，=，整理得，11x2-144x+144=0，解得x1=（不符合题意，舍去），x2=12，所以，ABC的边长是1211.【答案】28.【解析】先根据EFB
27、C交AB于F，EGAB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分ABC且交CD于E可得出FBE=EBC，由EFBC可知，EBC=FEB，故FBE=FEB，由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD=2，BC=12求出EF的长，进而可得出结论12【答案】.【解析】结合图形，脚码为奇数时，四边形A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1是矩形，长为，宽为；脚码为偶数时，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为，四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长为，周长为，即四边形A2018B2018C2018D2018是矩形，长为，宽为，四边形A2018B2
28、018C2018D2018的周长为：2（+）=故答案为：三.综合题13【解析】(1). (2)作FMDC，M为垂足，连结GE， ABCD， AEG=MGE， HEGF， HEG=FGE AEH=MGF。 在AHE和MFG中，A=M=90，HE=FG， AHEMFG。 FM=HA=2， 即无论菱形EFGH如何变化，点F的直线CD的距离始终为定值2.因此(3)若，由，得，此时在DGH中，. 相应地，在AHE中，即点E已经不在边AB上.故不可能有.14【解析】（1）OE=OF（相等）；（2）OE=OF，OEOF；证明：连接BO，在正方形ABCD中，O为AC中点，BO=CO，BOAC，BCA=ABO=
29、45，PFBC，BCO=45，FPC=45，PF=FC正方形ABCD，ABC=90，PFBC，PEAB，PEB=PFB=90四边形PEBF是矩形，BE=PFBE=FCOBEOCF，OE=OF，BOE=COF，COF+BOF=90，BOE+BOF=90，EOF=90，OEOF（3）OE=OF（相等），OEOF（垂直）15【解析】（1）四边形EFGH是菱形（2）成立理由：连接AD，BCAPC=BPD，APC+CPD=BPD+CPD即APD=CPB又PA=PC，PD=PB， APDCPB（SAS）AD=CBE、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，EF、FG、GH、EH分别是ABC、ABD、
30、BCD、ACD的中位线EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=ADEF=FG=GH=EH四边形EFGH是菱形（3）补全图形判断四边形EFGH是正方形理由：连接AD，BC（2）中已证APDCPBPAD=PCBAPC=90，PAD+1=90又1=2PCB+2=903=90（2）中已证GH，EH分别是BCD，ACD的中位线，GHBC，EHADEHG=90又（2）中已证四边形EFGH是菱形，菱形EFGH是正方形.16.【解析】（1）根据题意，AB=6,2SAOB=ABOB=AOBG，BG=4.8；（2）设当E点运动到x秒时，四边形ABED是等腰梯形，则BE=x，OF=2x，BCOA，=，即=，解得OD=，过E作EHOA于H，四边形ABED是等腰梯形，DH=AG=，HG=BE=x，DH=10-x-3.6=3.6，解得x=；（3）会同时在某个反比例函数的图象上根据题意，OG=AO-AG=10-3.6=6.4，点E（6.4-t，4.8），OF=2t，2tcosAOB=2t=t，2tsinAOB=2t=t，点F的坐标为（t，t）假设能在同一反比例函数图象上，则tt=（6.4-t）4.8，整理得：2t2+5t-32=0，=25-42（-32）=2810，方程有解，即E、F会同时在某一反比例函数图象上，此时，t=，因此E、F会同时在某个反比例函数的图象上，t=