1、多边形与平行四边形【考纲要求】【高清课堂：多边形与平行四边形 考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题； 能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形(2)平行四边形A：会识别平行四边形B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题C：会运用平行四边形的知识解决有关问题【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1. 多边形：在平面内，由若干条不在
2、同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n2)个三角形3多边形的角：n边形的内角和是(n2)180，外角和是360.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的
3、镶嵌1镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌2平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中
4、位线.2定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心3判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形【要点诠释】在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和
5、判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线:1.对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；2.对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；3.对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系.考点五：平行线间的距离1两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.【要点诠释】1.距离是指垂线段的长度，是正值.2.平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.3
6、.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2平行四边形的面积：平行四边形的面积=底高(等底等高的平行四边形面积相等).【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将ABC沿着DE重叠压平，A与A重合，若A=70，则1+2=_.【思路点拨】首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADAE的内角和，由折叠可知AED=AED，ADE=ADE，A=A，又A=70，由此可以求出AED+AED+ADE+ADE，再利用邻补角的关系即可求出1+2【答案与解析】四边形ADAE的内角和为（4-2）180=360，而由折叠可知AED
7、=AED，ADE=ADE，A=A，AED+AED+ADE+ADE=360-A-A=360-270=220，1+2=1802-（AED+AED+ADE+ADE）=140【总结升华】本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理举一反三： 【变式】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620，则原来多边形的边数是（）A.10 B.11 C.12 D.以上都有可能【答案】D.2如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（）A.2008 B.2009 C.2010
8、 D.2011【思路点拨】根据图象显示的规律找到，1个三角形，2个三角形，3个三角形组成的周长，得到规律为第n个三角形的周长为3+（n-1），所以可求得2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长【答案】C.【解析】由图中可知：1个三角形组成的图形的周长是3；2个三角形组成的图形的周长是3+1=4；3个三角形组成的图形的周长是3+2=5；那么2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是3+2007=2010 故选C【总结升华】注意要以第一图为基数来找规律类型二、平行四边形及其他知识的综合运用3（2018阜新）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分ABC，CF平分BCD，BE、CF交于点G
9、若使EF=AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）AABC=60 BAB：BC=1：4 CAB：BC=5：2 DAB：BC=5：8 【思路点拨】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到AEB=EBC，再由BE平分ABC得到ABE=EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF=AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比
10、值 【答案与解析】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AB=CD，AD=BC，AEB=EBC，又BE平分ABC，ABE=EBC，ABE=AEB，AB=AE，同理可得：DC=DF，AE=DF，AE-EF=DE-EF，即AF=DE，当EF= AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，AF=DE=（AD-EF）=1.5x，AE=AB=AF+EF=2.5x，AB：BC=2.5：4=5：8故选D【总结升华】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用举一反三：【变式】已知：如图，M为AB上一点，使AM=B
11、C，N为BC上一点， CN=BM，连结AN、MC交于P.求：的度数【答案】过M点，作4.（2018德阳）如图，点D是ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=AB，那么PBC的面积与ABC面积之比为（）A. B. C. D. 【思路点拨】首先过点P作PHBC交AB于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH是平行四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD=a，则AB=4a，可求得BH=PF=3a，又由SHBC=SPBC，SHBC：SABC=BH：AB，即可求得PBC的面积与A
12、BC面积之比【答案与解析】过点P作PHBC交AB于H，连接CH，PF，四边形APEB是平行四边形，PEAB，PE=AB，四边形BDEF是平行四边形，EFBD，EF=BD，即EFAB，P，E，F共线，设BD=a，BD= AB，PE=AB=4a，则PF =PEEF=3a，PHBC， =，PFAB，四边形BFPH是平行四边形，BH=PF=3a，： =BH：AB=3a：4a=3：4，： =3：4故选D【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比5如图，ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等
13、边ADE，过点C作CFDE交AB于点F（1）若点D是BC边的中点（如图），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出AEF和ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【思路点拨】（1）根据ABC和AED是等边三角形，D是BC的中点，EDCF，求证ABDCAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出AEF和ABC的面积比；（3）根据EDFC，结合ACB=60，得出ACF=BAD，求证ABDCAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF
14、=DC【答案与解析】（1）证明：ABC是等边三角形，D是BC的中点，ADBC，且BAD=BAC=30，AED是等边三角形，AD=AE，ADE=60，EDB=90-ADE=90-60=30，EDCF，FCB=EDB=30，ACB=60，ACF=ACB-FCB=30，ACF=BAD=30，在ABD和CAF中，BAD=ACFAB=CAFAC=B，ABDCAF（ASA），AD=CF，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形EDCF是平行四边形，EF=CD（2）解：AEF和ABC的面积比为：1：4；（3）成立 理由如下：EDFC，EDB=FCB，AFC=B+BCF=60+BCF，BDA=ADE+EDB
15、=60+EDBAFC=BDA，在ABD和CAF中，BDA=AFCB=FACAB=CAABDCAF（AAS），AD=FC，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形EDCF是平行四边形，EF=DC【总结升华】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大6 .（2018北京）在口ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若ABC=90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图
16、3），求BDG的度数【思路点拨】（1）根据AF平分BAD，可得BAF=DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证CEF=F即可（2）根据ABC=90，G是EF的中点可直接求得（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证ECG是等边三角形由ADBC及AF平分BAD可得BAE=AEB，求证BEGDCG，然后即可求得答案.【答案与解析】（1）证明：如图1，AF平分BAD，BAF=DAF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DAF=CEF，BAF=F，CEF=FCE=CF（2）解：连接GC、BG，四边形ABCD为平行四边形，ABC=90，四边形ABCD为矩形，AF平分
17、BAD，DAF=BAF=45，DCB=90，DFAB，DFA=45，ECF=90ECF为等腰直角三角形，G为EF中点，EG=CG=FG，CGEF，ABE为等腰直角三角形，AB=DC，BE=DC，CEF=GCF=45，BEG=DCG=135在BEG与DCG中，EG=CGBEG=DCGBE=DC，BEGDCG，BG=DG，CGEF，DGC+DGA=90，又DGC=BGA，BGE+DGE=90，DGB为等腰直角三角形，BDG=45，（3）解：延长AB、FG交于H，连接HDADGF，ABDF，四边形AHFD为平行四边形ABC=120，AF平分BADDAF=30，ADC=120，DFA=30DAF为等腰
18、三角形AD=DF平行四边形AHFD为菱形ADH，DHF为全等的等边三角形DH=DF，BHD=GFD=60FG=CE，CE=CF，CF=BHBH=GF在BHD与GFD中，DH=DFBHD=GFDBH=GF，BHDGFD，BDH=GDFBDG=BDH+HDG=GDF+HDG=60【总结升华】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法举一反三：【变式】如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，
19、设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=，则S2=_【答案】.中考总复习：多边形与平行四边形-巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1如图，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，ABED的面积是，则四边形ABCD的周长为（ ）A49cm B43cm C41cm D46cm2如图，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=4，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是：( ) A.； B.2； C.3； D.43. 已知点A(2，0)、点B(，0)、点C(0，1)，以A、B、C三点
20、为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4.(2019安徽)如图，在四边形ABCD中，BADADC90，ABAD2，CD，点P在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为，则点P的个数为()A1 B2 C3 D45.如图，分别以RtABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边ABD和ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若BAC=30，下列结论：EFAC；四边形ADFE为平行四边形；AD=4AG；DBFEFA其中正确结论的是（ ）A B C D 6 .如图,在ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H， 则下
21、列结论： ABECDF； AG=GH=HC； EG=； SABE=3SAGE 其中正确的结论有（ ）A 1个 B 2个 C3个 D 4个二、填空题7. 如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若FDE的周长为8，FCB的周长为22，则FC的长为_.8. 如图, E、F分别是ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是_.9. 如图，平行四边形ABCD中，ABC=60，AB=4，AD=8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是_
22、10.（2019梅州）凸n边形的对角线的条数记作an（n4），例如：a4=2，那么：a5=_；a6-a5=_；an+1-an=_（n4，用n含的代数式表示）11.如图（1）,四边形ABCD中，ABE1F1CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形；如图（2），四边形ABCD中，ABE1F1E2F2CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形；如图（3），四边形ABCD中，ABE1F1E2F2E3F3CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形；一般地，若四边形ABCD中，E1，E2，E3，都是AD上的点，F1，F2，F3，都是BC上的点，且ABE1F1E2F2E3F3CD，ADBC，则图中共有_平行四边
23、形.12.如图所示，中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展”而来的，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为_.三、解答题13.问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该
24、围绕着3个正六边形的内角问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：90x+y=360，整理得：2x+3y=8，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为结论1：
25、镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由验证2：_；结论2：_上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程猜想3：_；验证3：_；结论3：_14. 如图，在四
26、边形ABCD中，A=90，ABC与ADC互补（1）求C的度数；（2）若BCCD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；（3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值 15.（2019厦门）如图，在四边形ABCD中，BAC=ACD=90，B=D（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BCCDDA运动至A点停止， 则从运动开始经过多少时间，BEP为等腰三角形？16（2018广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10
27、，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2-CF2取最大值时，求tanDCF的值【答案与解析】一选择题1.【答案】D.2【答案】A.3.【答案】C4【答案】B.【解析】如图所示，作AEBD于E，CFBD于F，由题意得AEBDAB2，在边AB和AD上各存在一个点P到BD的距离为.ABAD，BAD90，ADB45.又ADC90，CDF45.CFCD1，在边BC和CD上不存在符合题意的点P.综上所述.5【答案】A.【解析】先证 ADFABC,
28、可得DF=AC=AE.DFAE 且DF=AE四边形ADFE为平行四边形，即是正确的.6【答案】D .二填空题7【答案】7.【解析】由题意知x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22，所以a=7.8【答案】PQAB,PQ=AB.9【答案】4+4 10【答案】5；4；n-1【解析】五边形有5条对角线；六边形有9条对角线，9-5=4；n边形有条对角线，n+1边形有条对角线，an+1-an=-=n-1 11.【答案】3 ;6 ;10，.12【答案】n（n+1）【解析】正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=34，正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=45，正五边形“扩展”而来的多边形的边数
29、为30=56，正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=67，正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）三.综合题13【解析】用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据题意，可得方程：60a+120b=360整理得：a+2b=6，可以找到两组适合方程的正整数解为和结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想3：是否可以同时用正三
30、角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360，整理得：2m+3n+4c=12，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌（说明：本题答案不惟一，符合要求即可）14【解析】（1）ABC与ADC互补，ABC+ADC=180A=90，C=360-90-180=90；（2）过点A作AEB
31、C，垂足为E则线段AE把四边形ABCD分成ABE和四边形AECD两部分，把ABE以A点为旋转中心，逆时针旋转90，则被分成的两部分重新拼成一个正方形过点A作AFBC交CD的延长线于F，ABC+ADC=180，又ADF+ADC=180， ABC=ADFAD=AB，AEC=AFD=90，ABEADFAE=AF四边形AECF是正方形；（3）解法1：连接BD，C=90，CD=6，BC=8，RtBCD中，BD=10又S四边形ABCD=49，SABD=49-24=25过点A作AMBD垂足为M，SABD=BDAM=25AM=5又BAD=90，ABMDAM=设BM=x，则MD=10-x，=解得x=5AB=5解
32、法2：连接BD，A=90设AB=x，AD=y，则x2+y2=102，xy=25，xy=50由，得：（x-y）2=0x=y2x2=100x=515【解析】证明：在ABC和CDA中,ABCCDA，AD=BC，AB=CD，四边形ABCD是平行四边形（2）解：BAC=90，BC=5cm，AB=3cm，由勾股定理得：AC=4cm，即AB、CD间的最短距离是4cm，AB=3cm，AE=AB，AE=1cm，BE=2cm，设经过ts时，BEP是等腰三角形，当P在BC上时，BP=EB=2cm，t=2时，BEP是等腰三角形；BP=PE，作PMAB于M，BM=ME=BE=1cmcosABC=，BP=cm，t=时，B
33、EP是等腰三角形；BE=PE=2cm， 作ENBC于N，则BP=2BN，cosB=，=，BN=cm，BP=，t=时，BEP是等腰三角形；当P在CD上不能得出等腰三角形，AB、CD间的最短距离是4cm，CAAB，CA=4cm，当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，过P作PQBA于Q，平行四边形ABCD，ADBC，QAD=ABC，BAC=Q=90，QAPABC，PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，x=，AP=5x=cm，t=5+5+3-=，答：从运动开始经过2s或s或s或s时，BEP为等腰三角形16. 【解析
34、】（1）=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=5；（2）存在k=3，使得EFD=kAEF理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，F为AD的中点，AF=FD，在平行四边形ABCD中，ABCD， G=DCF，在AFG和CFD中，AFGDFC（AAS），CF=GF，AG=CD，CEAB，EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），AEF=G，AB=5，BC=10，点F是AD的中点，AG=5，AF=AD=BC=5，AG=AF，AFG=G，在EFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG（对顶角相等），CFD=AEF，EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整数k=3，使得EFD=3AEF；设BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5-x+5=10-x，在RtBCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2，在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x，CF=GF（中已证），CF2=（CG）2=CG2=（200-20x）=50-5x，CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-（x-）2+50+，当x=，即点E是AB的中点时，CE2-CF2取最大值，此时，EG=10-x=10-=，CE=，所以，tanDCF=tanG=