1、专题训练(一)圆的切线中常见的辅助线类型类型之一遇到切线时,有交点,连半径,得垂直1.2019包头 如图1-ZT-1,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C,CAB=90.若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为.图1-ZT-12.2018德州 如图1-ZT-2,AB是O的直径,直线CD与O相切于点C,且与AB的延长线交于点E,C是BF的中点.(1)求证:ADCD;(2)若CAD=30,O的半径为3,一只蚂蚁从点B出发,沿着BE-EC-CB爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程(3.14,31.73,结果保留一位小数).图1-ZT-23.如图1-ZT-3,在RtABC中
2、,ACB=90,D是边AB上一点,以BD为直径的O与边AC相切于点E,连接DE并延长,交BC的延长线于点F.(1)求证:BD=BF;(2)若CF=1,cosB=35,求O的半径.图1-ZT-3类型之二证明某一直线是圆的切线一、有交点,连半径,证垂直4.2018金华 如图1-ZT-4,在RtABC中,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知CAD=B.(1)求证:AD是O的切线;(2)若BC=8,tanB=12,求O的半径.图1-ZT-45.2019十堰 如图1-ZT-5,在ABC中,AB=AC,以AC为直径的O交BC于点D,E为AC延长线上
3、一点,且CDE=12BAC.(1)求证:DE是O的切线;(2)若AB=3BD,CE=2,求O的半径.图1-ZT-56.如图1-ZT-6,已知O的半径为1,DE是O的直径,AD是O的切线,C是AD的中点,AE交O于点B,四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长.(2)BC是O的切线吗?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.图1-ZT-6二、无交点,作垂直,证半径7.2018安顺 如图1-ZT-7,在ABC中,AB=AC,O为BC的中点,AC与半圆O相切于点D.(1)求证:AB是半圆O所在圆的切线;(2)若cosABC=23,AB=12,求半圆O所在圆的半径.图1-ZT-78. 如图1-ZT-
4、8,已知O是正方形ABCD对角线AC上的一点,以点O为圆心、OA长为半径的圆与BC相切于点M,与AB,AD分别相交于点E,F.求证:CD是O的切线.图1-ZT-89.如图1-ZT-9,AB是O的直径,AM,BN分别切O于点A,B,CD分别交AM,BN于点D,C,DO平分ADC.(1)求证:CD是O的切线;(2)若AD=4,BC=9,求O的半径R.图1-ZT-9教师详解详析【详解详析】1.262.解:(1)证明:连接OC.直线CD与O相切,OCCD.C是BF的中点,DAC=EAC.OA=OC,OCA=EAC,DAC=OCA,OCAD.OCCD,ADCD.(2)CAD=30,CAE=CAD=30.
5、由圆周角定理,得COE=60,OE=2OC=6,EC=3OC=33,BC=603180=,BE=3,蚂蚁爬过的路程为3+33+11.3.3.解:(1)证明:连接OE.AC与O相切于点E,OEAC,OEA=90.ACB=90,OEA=ACB,OEBC,OED=F.OE=OD,OED=ODE,F=ODE,BD=BF.(2)cosB=BCAB=35,设BC=3x,则AB=5x.又CF=1,BF=3x+1.由(1)知BD=BF,BD=3x+1.OEBF,O是BD的中点,OB=OE=12BF=3x+12,OA=AB-OB=5x-3x+12=7x-12.OEBF,AOE=B,cosAOE=OEOA=35,
6、即3x+127x-12=35,解得x=43,O的半径为3x+12=52.4.解:(1)证明:如图,连接OD.OB=OD,3=B.B=1,1=3.在RtACD中,1+2=90,4=180-(2+3)=90,ODAD.点D在O上,AD为O的切线.(2)设O的半径为r.在RtABC中,AC=BCtanB=4.根据勾股定理,得AB=42+82=45,OA=45-r.在RtACD中,tan1=tanB=12,CD=ACtan1=2.根据勾股定理,得AD2=AC2+CD2=16+4=20,在RtADO中,OA2=OD2+AD2,即(45-r)2=r2+20,解得r=352.5.解:(1)证明:如图,连接O
7、D,AD.AC是直径.ADC=90,ADBC.AB=AC,CAD=BAD=12BAC.CDE=12BAC.CDE=CAD.OA=OD,CAD=ADO,ADO=CDE.ADO+ODC=90,ODC+CDE=90,ODE=90.又OD是O的半径,DE是O的切线.(2)AB=AC,ADBC,BD=CD.AB=3BD,AC=3DC.设DC=x,则AC=3x,AD=AC2-DC2=22x.CDE=CAD,DEC=AED,CDEDAE,CEDE=DCAD=DEAE,即2DE=x22x=DE3x+2,DE=42,x=143,AC=3x=14,则O的半径为7.6.解:(1)如图,连接BD.DE是O的直径,DB
8、E=DBA=90.四边形BCOE是平行四边形,BCOE,BC=OE=1.在RtABD中,C为AD的中点,BC=12AD=1,AD=2.(2)BC是O的切线.证明:如图,连接OB.由(1)得BCOE,且BC=OE.OE=OD,BC=OD,四边形BCDO是平行四边形.又AD是O的切线,ODAD,四边形BCDO是矩形,OBBC.点B在O上,BC是O的切线.7.解:(1)证明:如图,过点O作OEAB于点E,连接OD,OA.AB=AC,O是BC的中点,CAO=BAO.AC与半圆O相切于点D,ODAC.OEAB,OD=OE.AB过半圆O的半径的外端点,AB是半圆O所在圆的切线.(2)如(1)题图,AB=A
9、C,O是BC的中点,AOBC.在RtAOB中,OB=ABcosABC=1223=8.根据勾股定理,得OA=AB2-OB2=45.SAOB=12ABOE=12OBOA,OE=OBOAAB=853,即半圆O所在圆的半径为853.8.解析 此例未给出直线和圆的公共点,在这种情况下,应连接OM,并过点O作ONCD于点N,然后证明ON=OM即可.为此只需证明OMCONC即可.证明:如图,连接OM,过点O作ONCD于点N.BC与O相切于点M,OMBC,即OMC=90.ONC=90.ONCD,ONC=OMC=90.四边形ABCD是正方形,AC为正方形ABCD的对角线,OCM=OCN=45.在OMC和ONC中,OMC=ONC,OCM=OCN,OC=OC,OMCONC(AAS),OM=ON.ONCD,CD是O的切线.9.解:(1)证明:如图,过点O作OECD于点E.AM切O于点A,OAAD.又DO平分ADC,OE=OA.CD是O的切线.(2)过点D作DFBC于点F.AM,BN分别切O于点A,B,ADAB,ABBC,四边形ABFD是矩形,AD=BF,AB=DF.又AD=4,BC=9,FC=9-4=5.又AM,BN,CD分别切O于点A,B,E,DA=DE,CB=CE,DC=DE+EC=AD+BC=4+9=13.在RtDFC中,DF=DC2-FC2=132-52=12,AB=12,O的半径R为6.