1、专题训练(二)圆的综合题型类型之一切线的性质与判定1.在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-3,2),以点P为圆心,3为半径画P,则以下说法正确的是()A.P与x轴相切,与y轴相离B.P与x轴相交,与y轴相切C.P与x轴相交,与y轴相离D.P与x轴相离,与y轴相切2.如图2-ZT-1,直线AB,BC,CD分别与O相切于点E,F,G,且ABCD,OB=6 cm,OC=8 cm.求:(1)BOC的度数;(2)BE+CG的长;(3)O的半径.图2-ZT-13.2018河北二模改编 如图2-ZT-2,PC是O的弦,过点O作OBPC于点E,交O于点B,延长OB到点A,连接AC,OP,使A=P.(1)求证:
2、AC是O的切线;(2)若BE=2,PC=43,求AC的长;(3)思考:连接AP,则AP与O有什么位置关系?图2-ZT-24.2018藁城区模拟 如图2-ZT-3,AB是半圆的直径,O为半圆的圆心,AC是弦,取BC的中点D,过点D作DEAC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是O的切线;(2)当AB=10,AC=53时,求BC的长;(3)当AB=20时,直接写出ABC面积最大时,点D到直径AB的距离. 图2-ZT-3类型之二三角形的内心5.如图2-ZT-4,点I是ABC的内心,AI的延长线交BC于点D,与ABC的外接圆相交于点E,连接BE.(1)求证:BE=IE;(2)若AD=6,DE=2,求
3、AI的长.图2-ZT-46.如图2-ZT-5,O是ABC的外接圆,FH是O的切线,切点为F,连接AF交BC于点E,AF平分BAC,连接BF.(1)求证:FHBC;(2)若在AF上存在一点D,使得FB=FD,试说明点D是ABC的内心.图2-ZT-5类型之三运动型问题一、动点问题7.如图2-ZT-6,已知O的圆心是数轴的原点,半径为1,AOB=45,点P在数轴上运动.若过点P且与OA平行的直线与O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是()A.-1x1 B.-2x2C.02 图2-ZT-6 图2-ZT-78.如图2-ZT-7,直线l1l2,O与l1和l2分别相切于点A和点B,M和N分别是l1和l2上
4、的动点,线段MN沿l1和l2平移.若O的半径为1,1=60,下列结论错误的是()A.MN=433B.若MN与O相切,则AM=3C.l1和l2的距离为2D.若MON=90,则MN与O相切二、动图问题9.如图2-ZT-8,半圆O的直径DE=10 cm,在ABC中,ACB=90,ABC=30,BC=10 cm,半圆O以1 cm/s的速度从右到左运动,在运动过程中,点D,E始终在直线BC上,设运动时间为t(s),当t=0时,半圆O在ABC的右侧,OC=6 cm,那么当t为时,ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切. 图2-ZT-810.如图2-ZT-9,在ABC中,AB=AC=4,BAC=120,P
5、为BC上一点,PA=PB,O是PAB的外接圆.(1)求O的直径;(2)如图,将ABC绕点B逆时针旋转至ABC,使边BA与O相切,BC交O于点M,求此时的旋转角度及弧AQM的长度. 图2-ZT-9教师详解详析【详解详析】1.B解析 点P的坐标为(-3,2),点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3.P的半径为3,圆心P到x轴的距离小于半径,到y轴的距离等于半径,故P与x轴相交,与y轴相切.2.解:(1)如图,连接OF.根据切线长定理,得BE=BF,CF=CG.由题意,易证得OBF=OBE,OCF=OCG.ABCD,ABC+BCD=180,OBF+OCF=90,BOC=90.(2)由(1)知,BOC
6、=90.OB=6 cm,OC=8 cm,在RtBOC中,由勾股定理,得BC=OB2+OC2=10(cm),BE+CG=BF+CF=BC=10 cm.(3)OFBC,OF=OBOCBC=4.8(cm).3.解:(1)证明:如图,连接OC.OP=OC,P=OCP.P=A,A=OCP.OBPC,A+ACP=90,OCP+ACP=90,即OCA=90,OCAC,AC是O的切线.(2)OBPC,OP=OC,PE=CE=12PC=23.设O的半径为r,则OE=r-2,在RtOCE中,(23)2+(r-2)2=r2,解得r=4,OE=2,OC=4,OCE=30,COE=60.在RtAOC中,AC=3OC=4
7、3.(3)相切.4.解:(1)证明:如图,连接OD.D是BC的中点,BD=DC,1=2.OA=OD,1=3,2=3,ODAE.DEAC,ODDE,DE是O的切线.(2)如图,连接BC,OC,则ACB是直角.当AB=10,AC=53时,则cosBAC=ACAB=32,BAC=30,BOC=60,BC=605180=53.(3)如图,连接OD,BC,OC,过点O作OFAC,垂足为F.由(1)可知ODDE.OFE=ODE=DEA=90,四边形ODEF为矩形.OF=ED.当ABC为等腰直角三角形时,ABC的面积最大.此时AC=cos45AB=2220=102.DE=OF=AF=12AC=52.D为BC
8、的中点,AD为BAE的平分线,点D到直径AB的距离为52.5.解:(1)证明:如图,连接BI.点I是ABC的内心,ABI=IBD,BAI=EAC.EBC=EAC,BIE=BAI+ABI,EBI=EBC+IBD,BIE=EBI,BE=IE(2)EBC=EAC=BAE,BED=AEB,EBDEAB.BEDE=AEBE,BE2=DEAE=2(2+6)=16,IE=BE=4,AI=AD+DE-IE=6+2-4=4.6.解:(1)证明:如图,过点F作直径FN,连接BN.FH是O的切线,FNFH.AF平分BAC,BAF=FAC,FB=FC,由垂径定理,得FNBC,FHBC.(2)如图,连接BD.FB=FD
9、,FBD=FDB.又FBD=FBC+DBC,FDB=FAB+ABD,FAB=FAC=FBC,DBC=ABD,BD平分ABC,又AF平分BAC,点D是ABC的内心.7.C解析 当PC与圆相切时,切点为C,OCPC,CO=1,POC=45,OP=2,0x2.同理,当点P在点O左侧时,0x2.0x2.8.B解析 如图,连接OA,OB.O与l1和l2分别相切于点A和点B,OAl1,OBl2.l1l2,点A,O,B共线,AB为O的直径,l1和l2的距离为2,故C选项正确;过点N作NHAM于点H,则NH=AB=2.AMN=60,sin60=NHMN,MN=232=433,故A选项正确;当MN与O相切时,连
10、接OM,ON,当MN在AB左侧时,AMO=12AMN=1260=30,在RtAMO中,tanAMO=OAOM,即AM=133=3,在RtOBN中,ONB=ONM=60,tanONB=OBBN,即BN=13=33,当MN在AB右侧时,AM=33,AM的长为3或33,故B选项错误;当MON=90时,过点D作OEMN于点E,延长NO交l1于点F.OA=OB,RtOAFRtOBN,OF=ON,MO垂直平分NF,OM平分NMF,OE=OA,MN为O的切线.故D选项正确.9.1或6或11或26解析 OC=6,DE=10,OD=OE=5,CD=1,EC=11,t=1或11时,O与直线AC相切;当O第一次与A
11、B相切时,设切点为M,连接OM,在RtBMO中,BO=2MO=10,此时O与点C重合,OO=6,当O第二次与AB相切时,设切点为N,连接ON,同法可得BO=10,OO=26,当t=6或26时,O与AB相切.10.解:(1)连接OP,OB,OP交AB于点H,如图.AB=AC=4,BAC=120,ABC=C=30.PA=PB,PAB=ABP=30,OPAB,BOP=60,BH=AH=2.在RtPBH中,PH=33BH=233,BP=2PH=433.OB=OP,OBP为等边三角形,OB=BP=433,O的直径为833.(2)连接OB,OM,OA,如图.边BA与O相切,OBBA,OBA=90.由(1)可得OBA=30,ABA=90+30=120.ABC绕点B逆时针旋转至ABC,CBC=ABA=120,即旋转角度为120.OBP=60,OBM=60,OBM为等边三角形,BOM=60,由(1)易得BOA=120,AOM=360-60-120=180,而OB=433,弧AQM的长度为180433180=433.