1、回顾与反思类型之一点与圆的位置关系1.圆心都为O的甲、乙两圆,半径分别为r1和r2,且r1OAr2,那么点A在()A.甲圆内 B.乙圆外C.甲圆外,乙圆内 D.不确定2.如图29-X-1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,以点A为圆心画圆,请你在下列条件下直接写出A的半径R的取值范围.(1)B,C,D三点都在圆外;(2)B,C,D三点中,只有一点在圆上;(3)B,C,D三点中,一点在圆内,两点在圆外;(4)B,C,D三点中,两点在圆内,一点在圆外. 图29-X-1类型之二直线与圆的位置关系3.若OAB=30,OA=10 cm,则以点O为圆心,6 cm为半径的圆与射线AB的位置关系是()A.
2、相交 B.相切C.相离 D.不能确定4.如图29-X-2,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,O2的半径为1,O1O2AB于点P,O1O2=6.若O2绕点P按顺时针方向旋转360,在旋转过程中,O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现()A.3次 B.4次C.5次 D.6次5.已知O的半径为3,M为直线AB上一点.若MO=3,则直线AB与O的位置关系为()A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相切或相交 图29-X-2 图29-X-36.同学们玩过滚铁环吗?如图29-X-3,已知铁环的半径是30 cm,手柄长40 cm.当手柄的一端勾在环上,另一端与铁环的圆心的距离为50 cm
3、时,铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为.类型之三与圆相关的证明与计算7.如图29-X-4,在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心,所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E,则AD的长为()A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.18.2018呼和浩特 同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为. 图29-X-4 图29-X-59.如图29-X-5,C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,则弧AE所对的圆周角APE等于.10.如图29-X-6,点C在O的直径BA的延长线上,AB=2AC,CD切O于点D,连接BD,OD.(1)求C的正切值;(2)若O的
4、半径r=2,求BD的长.图29-X-611.如图29-X-7,点O在APB的平分线上,O与PA相切于点C.(1)求证:直线PB与O相切;(2)PO的延长线与O交于点E,若O的半径为3,PC=4,求弦CE的长.图29-X-712.2019张家界 如图29-X-8,AB为O的直径,且AB=43,C是AB上的一动点(不与点A,B重合),过点B作O的切线交AC的延长线于点D,E是BD的中点,连接EC.(1)求证:EC是O的切线;(2)当D=30时,求阴影部分的面积.图29-X-8类型之四与圆有关的学科内综合题13.圆心O到直线l的距离为d,O的半径为R.若R,d是方程x2-9x+20=0的两根,则直线
5、l和O的位置关系是.14.如图29-X-9,A与y轴交于C,D两点,圆心A的坐标为(1,0),A的半径为5,过点C作A的切线交x轴于点B(-4,0).(1)求切线BC对应的函数表达式.(2)向左移动A(圆心A始终保持在x轴上),与直线BC交于点E,F,在移动过程中是否存在点A,使得AEF是直角三角形?若存在,求出点A 的坐标;若不存在,请说明理由.图29-X-9类型之五数学活动15.如图29-X-10所示,边长为2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径为r的O的圆心O在直线l上运动,点A,O之间的距离为d.图29-X-10(1)如图,当ra+rd=a+ra-rda+rd=
6、a-r0da-r所以,当ra+rd=a+rada+r0da所以,当r=a时,O与正方形的公共点可能有个;(3)如图,当O与正方形有5个公共点时,试说明r=54a.教师详解详析【详解详析】1.C2.解:(1)0R3.(2)当点D在圆上时,R=3;当点B在圆上时,R=4;当点C在圆上时,R=5.(3)根据题意,点D在圆内,点B,C在圆外,此时3R4.(4)根据题意,点D,B在圆内,点C在圆外,此时4R5.点评 本题主要考查点与圆的位置关系,题目难度不大,但一定要注意分类讨论,避免出现重复或遗漏的错误.3.A解析 由题意画图,易知O到AB的距离为5 cm,则dr,所以O与射线AB相交.4.B解析 如
7、图,当O2的圆心旋转到与点E,F,G,H(图中点E,F到AD的距离均等于1;点G,H到BC的距离均等于1)分别重合时,O2与矩形的边只有一个公共点,共出现4次.5.D解析 因为垂线段最短,所以圆心到直线的距离小于等于3,此时和半径3的大小关系不确定,所以直线和圆相交、相切都有可能.6.相切解析 如图所示,由已知得BC=30 cm,AC=40 cm,AB=50 cm.BC2+AC2=302+402=2500,且AB2=502=2500,BC2+AC2=AB2,ACB=90,即ACBC,AC为B的切线.即此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切.故答案为相切.7.B解析 连接OD,OE,则
8、ODAC,OEBC,易证四边形ODCE是正方形,所以OD=CD,ODBC,所以AODABC,所以ADAC=ODBC,所以ADAC=DCBC,即ADAC=AC-ADBC,所以AD=1.6.8.21解析 设O的半径为R,O的内接正方形ABCD,如图.过点O作OQBC于点Q,连接OB,OC,即OQ为正方形ABCD的边心距.四边形ABCD是正方形,O是正方形ABCD的外接圆,O为正方形ABCD的中心,BOC=90.OQBC,OB=OC,QC=BQ,COQ=BOQ=45,OQ=OCcos45=22R.设O的内接正三角形EFG,如图.过点O作OHFG于点H,连接OG,即OH为正三角形EFG的边心距.正三角
9、形EFG是O的外接圆,OGF=12EGF=30,OH=OGsin30=12R,OQOH=22R12R=21,故答案为21.9.3010.解:(1)CD切O于点D,CDOD.又AB=2AC,OD=AO=AC=12CO,C=30,tanC=33.(2)如图,连接AD.AB是O的直径,ADB=90.DOA=90-30=60,OD=OA,DAO是等边三角形,DA=r=2,BD=42-22=23.11.解析 (1)利用角平分线的性质得到圆心到角的两边的距离等于圆的半径,进而证明直线PB与O相切.(2)作CFOP,通过勾股定理可计算出CF及OF的长,进而求出弦CE的长.解:(1)证明:如图,过点O作ODP
10、B于点D,连接OC.PA切O于点C,OCPA.又点O在APB的平分线上,OC=OD,PB与O相切.(2)如图,过点C作CFOP于点F.在RtPCO中,PC=4,OC=3,OP=OC2+PC2=5.OCPC=OPCF=2SPCO,CF=125.在RtCOF中,OF=OC2-CF2=95,EF=EO+OF=245,CE=EF2+CF2=1255.12.解:(1)证明:如图,连接BC,OC,OE.AB为O的直径,ACB=90.在RtBDC中,E是BD的中点,DE=EC=BE.OC=OB,OE=OE,OCEOBE(SSS),OCE=OBE.BD是O的切线,ABD=90,OCE=ABD=90.OC为O半
11、径,EC是O的切线.(2)OA=OB,BE=DE,ADOE,D=OEB.D=30,OEB=30,EOB=60,BOC=120.AB=43,OB=23,BE=23sin60=6,四边形OBEC的面积为2SOBE=212623=123,阴影部分的面积为S四边形OBEC-S扇形BOC=123-120(23)2360=123-4.13.相交或相离解析 判断直线和圆的位置关系,必须求出d与R的大小关系,因此需先解方程,求出方程的两根.因为d与R是方程的两实数根,但大小关系未定,故d与R的取值有两种情况.解方程x2-9x+20=0,得x1=4,x2=5.当d=4,R=5时,dR,直线与圆相离.点评 本题是
12、一道直线与圆的位置关系和一元二次方程相联系的综合题,解题的关键是求出方程的两根,确定d与R的取值,从而判断直线与圆的位置关系.14.解:(1)如图,连接AC.A(1,0),OA=1.又AC=5,OC=AC2-OA2=2.点C的坐标是(0,2).设切线BC对应的函数表达式为y=kx+b(k0).该切线经过点B(-4,0)与点C(0,2),-4k+b=0,b=2,解得k=12,b=2,该切线BC对应的函数表达式为y=12x+2.图图(2)存在.如图,当点A在点B的右侧时,点E,F在A上,AE=AF.若AEF是直角三角形,则EAF=90,且AEF为等腰直角三角形.过点A作AMEF于点M.在RtAME
13、中,由三角函数可知MA=AEsinAEM=5sin45=522=102.B为RtBOC和RtBMA的公共角,BOCBMA,OCMA=BCBA.BC=BO2+OC2=42+22=25,BA=BCMAOC=251022=522.OA=OB-BA=8-522,点A的坐标是52-82,0.当A在点B的左侧时,同理可求点A的坐标是-52+82,0.综上,点A的坐标是52-82,0或-52+82,0.15.解:(1)如下表所示:d,a,r之间的关系公共点的个数da+r0d=a+r1a-rda+r2d=a-r10da-r0所以,当ra+r0d=a+r1ada+r20da4所以,当r=a时,O与正方形的公共点个数可能有0,1,2,4个.(3)如图所示,连接OC,设正方形的顶点与圆相交于点B,C,直线l与正方形相交于点E,F,则OE=OC=r,OF=EF-OE=2a-r.在RtOCF中,由勾股定理,得OF2+FC2=OC2,即(2a-r)2+a2=r2,4a2-4ar+r2+a2=r2,5a2=4ar,因为a0,r0,所以r=54a.