1、29.4切线长定理*知识点 1切线长定理1.2019益阳 如图29-4-1,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是()A.PA=PB B.BPD=APDC.ABPD D.AB平分PD 图29-4-1 图29-4-22.如图29-4-2,从O外一点P引O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果APB=60,PA=8,那么弦AB的长是()A.4 B.8 C.43 D.833.教材习题A组第3题变式 如图29-4-3,四边形ABCD的四边分别与O相切,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为()A.50 B.52 C
2、.54 D.56 图29-4-3 图29-4-44.2019福建 如图29-4-4,PA,PB是O的切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB的度数为()A.55 B.70 C.110 D.1255.如图29-4-5,过O外一点P作圆的切线PA,PB,F是劣弧AB上任意一点,过点F作O的切线分别交PA,PB于点D,E,如果PA=10,P=42.求:(1)PED的周长;(2)DOE的度数.图29-4-5知识点 2三角形的内切圆6.如图29-4-6,O与ABC的三边BC,CA和AB分别相切于点D,E,F,则O是ABC的,点O为ABC的;连接OA,OB,OC,则OA,OB,OC分别为B
3、AC,ABC和ACB的.图29-4-67.2019荆门 如图29-4-7,ABC的内心为I,连接AI并延长交ABC的外接圆于点D,则线段DI与DB的关系是()A.DI=DB B.DIDBC.DIDB D.不确定 图29-4-7 图29-4-88.2018湖州 如图29-4-8,已知ABC的内切圆O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若ABC=40,则BOD的度数是.9.如图29-4-9,已知在ABC中,A=90.(1)请用圆规和直尺作出P,使圆心P在AC边上,且与AB,BC两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明);(2)若B=60,AB=3,求P的面积. 图29-4-910.如图29-4-1
4、0,O是RtABC的内切圆,C=90.若AC=12 cm,BC=9 cm,则O的半径为 ()A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.15 cm 图29-4-10 图29-4-1111.如图29-4-11,PA,PB,CD分别切O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于点C,D.若P=40,则PAE+PBE的度数为()A.50 B.62 C.66 D.7012.如图29-4-12,正方形ABCD的边长为4 cm,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆,过点A作半圆的切线,与半圆相切于点F,与DC相交于点E,则ADE的面积为()A.12 cm2 B.24 cm2 C.8 cm2 D.
5、6 cm2 图29-4-12 图29-4-1313.2019云南 如图29-4-13,ABC的内切圆O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A.4 B.6.25 C.7.5 D.914.如图29-4-14,AC为O的直径,MA,MB分别切O于点A,B.(1)如图,若BAC=25,求AMB的度数;(2)如图,过点B作BDAC于点E,交O于点D,若BD=MA,求AMB的度数. 图29-4-1415.联想三角形内心的概念,我们可引入如下概念.定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.举例:如图29-4-1
6、5,若PD=PE,则点P为ABC的准内心.应用:如图29-4-15,BF为等边三角形ABC的角平分线,准内心P(即PD=PE)在BF上,且PF=12BP.求证:点P是ABC的内心.探究:如图29-4-15,已知ABC为直角三角形,C=90,准内心P(即PD=PC)在AC上,若PC=12AP,求A的度数. 图29-4-15教师详解详析【备课资源】教材的地位和作用本节主要研究切线长定理和三角形的内切圆,它是对切线性质的进一步深化,为求线段的长度和验证角相等提供了方法和依据教学目标知识与技能掌握切线长的概念、切线长定理及三角形内切圆的相关性质,并能灵活运用过程与方法通过探索、归纳、猜想等数学过程,培
7、养学生的推理能力.通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,树立良好的学习态度情感、态度与价值观了解数学的价值,对数学有好奇心与求知欲,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心教学重点难点重点切线长的概念、切线长定理和三角形的内切圆的相关性质难点应用切线长定理和三角形内切圆的相关性质解决问题易错点切线与切线长的区别教学导入设计活动一忆一忆已知圆的半径为12,圆外一点P到圆心的距离为15,过点P作圆的切线,切点为C,请你求出PC的长度.答案 PC的长为9活动二想一想过圆外一点作圆的切线,可以作几条?这一点与切点之间的距离都相等吗?答案 两条.都相等【
8、详解详析】1.D2.B解析 根据切线长定理可得PA=PB,所以PAB为等腰三角形.又APB=60,所以PAB为等边三角形,所以AB=PA=8.故选B.3.B解析 根据切线长定理,得AB+CD=AD+BC,四边形ABCD的周长为2(16+10)=52.故选B.4.B5.解:(1)DA,DF分别切O于点A,F,DA=DF. 同理EF=EB,PB=PA=10.PED的周长为PD+PE+DE=PD+PE+DF+EF=PD+PE+DA+EB=(PD+DA)+(PE+EB)=PA+PB=20.(2)DA,DF分别切O于点A,F,DAO=DFO=90.在RtAOD与RtFOD中,AO=FO,OD=OD,Rt
9、AODRtFOD,AOD=FOD=12AOF,同理EOF=BOE=12BOF,DOE=FOD+EOF=12AOF+12BOF=12(AOF+BOF)=12AOB.又PAO=PBO=90,AOB=360-PAO-PBO-P=180-P=138,DOE=12AOB=69.6.内切圆内心平分线7.A解析 如图,连接BI.ABC的内心为I,1=2,5=6.3=1,3=2.4=2+6=3+5,即4=DBI,DI=DB.8.70解析 O内切于ABC,OB平分ABC.ABC=40,OBD=20,BOD=70.故填70.9.解:(1)如图所示,P为所求作的圆.(2)B=60,BP平分ABC,ABP=30.ta
10、nABP=APAB=33,AP=3,P的面积为3.10.A解析 如图,设D,E,F为切点,连接OD,OE,OF.则易证四边形ODCF为正方形,且AD=AE,BE=BF,CD=CF,所以O的半径为12(AC+BC-AB)=12(9+12-15)=3(cm).故选A.11.D12.D解析 设DE=x cm,则CE=(4-x)cm,根据题意知EF=CE=(4-x)cm,AF=AB=4 cm,AE=(8-x)cm.在RtADE中,AD2+DE2=AE2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,ADE的面积为12ADDE=1243=6 (cm2).13.A14.解:(1)MA切O于点A,MAC=90.又
11、BAC=25,MAB=MAC-BAC=65.MA,MB分别切O于点A,B,MA=MB,MBA=MAB=65,AMB=180-(MAB+MBA)=50.(2)如图,连接AD,AB.MAAC,BDAC,BDMA.又BD=MA,四边形MADB是平行四边形.MA,MB分别切O于点A,B,MA=MB,四边形MADB是菱形,AD=BD.又AC为O的直径,BDAC,AB=AD,AB=AD,ABD是等边三角形,D=60,在菱形MADB中,AMB=D=60.15.解:应用:证明:ABC是等边三角形,ABC=60.BF为ABC的角平分线,PBE=30,PE=12BP.BF是等边三角形ABC的角平分线,BFAC.PF=12BP,PD=PE,PE=PD=PF,点P是ABC的内心.探究:根据题意,得PD=PC=12AP.sinA=PDAP=12APAP=12,A=30.