1、二次函数综合应用（综合提高篇）目录：易错考点1. 二次函数的最值问题(1-4) 错因：忘记分类讨论和联系最小值或最大值2. 代几综合的最值问题（5-8）错因：不会构造辅助线或者对于配方与实际联系不够3. 二次函数与实际图像结合判断（9-17）错因：对于实际结论不会转化4. 二次函数交点与最值（18-24）错因：没有注意二次项系数的具体取值5. 二次函数的综合应该（25-28）错因：解题技巧不明确6. 带绝对值二次函数与一次函数交点综合问题（29-31）错因：没有考虑到具体点的区别，取等问题不好7. 解答题（面积最值，存在点，最值综合等问题）一、选择题（本大题共17小题）1. 如果函数y=2x2
2、-3ax+1,在自变量x的值满足1x3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为-23,则a的值为()A. 263B. 32C. 833或143D. 1432. 已知关于x的二次函数y=(x-h)2+3,当1x3时,函数有最小值2h,则h的值为()A. 32B. 32或2C. 32或6D. 2、32或63. 已知a2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是()A. 6 B. 3 C. -3 D. 04. 已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是()A. 7B. 11C. 12D. 165
3、. 如图,在ABC中,C=90,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值为() A. 19cm2B. 16cm2C. 15cm2D. 12cm26. 如图,ABC中,BC=4,点D是AB边上一个动点,7. 将AD绕点A逆时针旋转得到AD,连接CD,则CD的最小值是()A. 1 B. 3 C. 3-1 D. 327.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+23x的顶点为A点,且与x轴的正半轴交于点B,P点为该抛物线对称轴上一点,则OP+12A
4、P的最小值为()A. 3 B. 23 C. 3+2214 D. 3+2328. 如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=1318(x-3)2-32与y轴相交于点A,顶点为B,直线l:y=-43x+b经过点A,与抛物线的对称轴交于点C,点P是对称轴上的一个动点,若AP+35PC的值最小,则点P的坐标为( ) A. (3,1) B. (3,114) C. (3,165) D. (3,125)9. 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点,点,点,点是抛物线上任意一点,有下列结论：二次函数y=ax2+bx+c的最小值为-4a；若-1x24,则0y25a；若y2y1,则x24；一元二次方程
5、cx2+bx+a=0的两个根为1和-13其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图,直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点,抛物线与x轴交于A、B两点,其对称轴为直线x=1,且OA=OD.直线y=kx+c与x轴交于点C(点C在点B的右侧).则下列命题中正确命题的是()abc0；3a+b0；-1k0；4a+2b+c0；a+bkA. B. C. D. 11. 如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(-1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中-2x1-1,0x20；4a-2b+c0；2a-b4ac其中正确的有(
6、)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论：3a+b0；-1a-23；对于任意实数m,a+bam2+bm总成立；关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,给出下列四个结论：3a+2b+c0；3a+cb2-4ac；方程2ax2+2bx+2c-5=0没有实数根；m(am+b)+b3时,y0；3a+b8a；其中正确的结
7、论是()A. B. C. D. 15. 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(-2,-9a),下列结论：4a+2b+c0；5a-b+c=0；若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2,且x1x2,则-5x1x21；若方程|ax2+bx+c|=1有四个根 ,则这四个根的和为-4.其中正确的结论有() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个16. 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-1,3),与x轴的交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论,其中正确结论的个数为() 若点P(-3,m),Q(3,n)在抛物线上,则mn；c
8、=a+3；a+b+c0；方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个17. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c都是常数,且a0)的图象与x轴交于点(-2,0)、(x1,0),且1x12,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方,下列结论：4a-2b+c=0；ab0；2a-b+10.其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共14小题）18. 已知抛物线y=x2-(k+2)x+9的顶点在坐标轴上,则k的值为_19. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+3x-1=0有实数根,则k的取值范围是_20. 二次函数y
9、=x2+2ax+a在-1x2上有最小值-4,则a的值为_ 21. 关于x的函数y=(k-2)x2-(2k-1)x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是_ 22. 已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则y-x的最大值为_23. 抛物线y=2x2-4x+2绕坐标原点旋转所得的抛物线的解析式是_ 24. 若函数y=mx2-(m-3)x-4的图象与x轴只有一个交点,则m的值为_25. 如图抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为_26. 已知a2,mn,m2
10、-2am+2=0,n2-2an+2=0,求(m-1)2+(n-1)2的最小值是_27. 如图,平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2(x0)与y2=x23(x0)的图象于B、C两点,过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D,直线DEAC,交y2的图象于点E,则DEAB=_28. 如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-5,0)、(-2,0).点P在抛物线y=-2x2+4x+8上,设点P的横坐标为m.当0m3时,PAB的面积S的取值范围是_29. 已知函数y=|x2-2x-3|的大致图象如图所示,如果方程|x2-2x-3|=m(m为实数)有2个不相等的实数根,则m的取值范围是_30.
11、已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数,如图所示.当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,则m的取值范围是_31. 已知抛物线y=-3x2+2x+c,当-1x1时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,则c的值或取值范围为 三、解答题（本大题共11小题）32. 如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),顶点为D(1)求此抛物线的解析式；(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴；(3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三
12、角形是等腰三角形？若存在,请求出所有符合条件的P点的坐标,若不存在,请说明理由33. 如图,抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,-52)三点(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在,求点N的坐标；若不存在,请说明理由34. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P,使POC是以OC为底边
13、的等腰三角形？若存在,求出P点坐标；若不存在,请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时,PBC面积最大,求出此时P点坐标和PBC的最大面积35. 如图,二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0),另一个交点为A,且与y轴相交于C点(1)求m的值及C点坐标；(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B,C两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M点坐标；若不存在,请简要说明理由(3)P为抛物线上一点,它关于直线BC的对称点为Q当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标；点P的横坐标为t(0t0)的相关费用,当40x45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a
14、的值.(日获利=日销售利润-日支出费用)41. 怡然美食店的A、B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元、18元,这两种菜品每天的营业额共为1120元,总利润为280元(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份,如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为：p=14
15、t+16(1t40,t为整数)-12t+46(41t80,t为整数),日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示：(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？(4)在实际销售的前40天中,该养殖户决定每销售1千克小龙虾,就捐赠m(m-14且k222. 723. y=-2x2-4x-224. 0或-1或-925. 32226. 627. 3-328. 3S1529. m=0或m430. -6m-231. 1c5或c=-1332. 解：(1)抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,
16、0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),a(-1)2+b(-1)+c=0a32+3b+c=0c=-3,解得,a=1b=-2c=-3,即此抛物线的解析式是y=x2-2x-3；(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,此抛物线顶点D的坐标是(1,-4),对称轴是直线x=1；(3)存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形,设点P的坐标为(1,y),当PA=PD时,(-1-1)2+(0-y)2=(1-1)2+(-4-y)2,解得,y=-32,即点P的坐标为(1,-32)；当DA=DP时,(-1-1)2+0-(-4)2=(1-1)2+(-4-y)2,解得,y=-425,即点
17、P的坐标为(1,-4-25)或(1,-4+25)；当AD=AP时,(-1-1)2+0-(-4)2=(-1-1)2+(0-y)2,解得,y=4,即点P的坐标是(1,4)或(1,-4),当点P为(1,-4)时与点D重合,故不符合题意,由上可得,以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时,点P的坐标为(1,-32)或(1,-4-25)或(1,-4+25)或(1,4)33. 解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0), A(-1,0),B(5,0),C(0,-52)三点在抛物线上, a-b+c=025a+5b+c=0c=-52, 解得a=12b=-2c=-52抛物线的解析式为：y=12x
18、2-2x-52；(2)抛物线的解析式为：y=12x2-2x-52, 其对称轴为直线x=-b2a=-2212=2, 连接BC,如图1所示, B(5,0),C(0,-52), 设直线BC的解析式为y=kx+b(k0), 5k+b=0b=-52, 解得k=12b=-52, 直线BC的解析式为y=12x-52, 当x=2时,y=1-52=-32, P(2,-32)；(3)存在如图2所示, 当点N在x轴下方时, 抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,-52), N1(4,-52)；当点N在x轴上方时, 如图,过点N2作N2Dx轴于点D, 在AN2D与M2CO中, N2AD=CM2OAN2=CM2AN2D=
19、M2CO AN2DM2CO(ASA), N2D=OC=52,即N2点的纵坐标为5212x2-2x-52=52, 解得x=2+14或x=2-14, N2(2+14,52),N3(2-14,52). 综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,-52),(2+14,52)或(2-14,52).34. 解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A、B、C三点坐标代入可得a-b+c=016a+4b+c=0c=-4,解得a=1b=-3c=-4,抛物线解析式为y=x2-3x-4；(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图1,PO=PC,此时P点即为满足条件的点,C(0,-4
20、),D(0,-2),P点纵坐标为-2,代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2,解得x=3-172(小于0,舍去)或x=3+172,存在满足条件的P点,其坐标为(3+172,-2)；(3)点P在抛物线上,可设P(t,t2-3t-4),过P作PEx轴于点E,交直线BC于点F,如图2,B(4,0),C(0,-4),直线BC解析式为y=x-4,F(t,t-4),PF=(t-4)-(t2-3t-4)=-t2+4t,SPBC=SPFC+SPFB=12PFOE+12PFBE=12PF(OE+BE)=12PFOB=12(-t2+4t)4=-2(t-2)2+8,当t=2时,SPBC最大值为8,此时t2-3t-
21、4=-6,当P点坐标为(2,-6)时,PBC的最大面积为835. 解：(1)将B(4,0)代入y=-x2+3x+m,解得,m=4,二次函数解析式为y=-x2+3x+4,令x=0,得y=4,C(0,4),(2)存在,理由：B(4,0),C(0,4),直线BC解析式为y=-x+4,当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时,MBC面积最大,y=-x+4+by=-x2+3x+4,x2-4x+b=0,=16-4b=0,b=4,x=2y=6,M(2,6),(3)如图,点P在抛物线上,设P(m,-m2+3m+4),当四边形PBQC是菱形时,点P在线段BC的垂直平分线上,B(4,0),C(0,4)线
22、段BC的垂直平分线的解析式为y=x,m=-m2+3m+4,m=15,P(1+5,1+5)或P(1-5,1-5),如图,设点P(t,-t2+3t+4),过点P作y轴的平行线l交BC于点D,交x轴于点E,过点C作l的垂线交l于点F,点D在直线BC上,D(t,-t+4),PD=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t,BE+CF=4,S四边形PBQC=2SPBC=2(SPCD+SPBD)=2(12PDCF+12PDBE)=4PD=-4t2+16t,0t4,当t=2时,S四边形PBQC最大=1636. 解：(1)抛物线y=-x2+mx+3过(3,0),0=-9+3m+3,m=2(2)由y=-x2+
23、2x+3y=-32x+3,得x1=0y1=3,x2=72y2=-94,D(72,-94),SABP=4SABD,12AB|yP|=412AB94,|yP|=9,yP=9,当y=9时,-x2+2x+3=9,无实数解,当y=-9时,-x2+2x+3=-9,x1=1+13,x2=1-13,P(1+13,-9)或P(1-13,-9)37. 解：(1)由题意,可得C(1,3),D(3,1)抛物线过原点,设抛物线的解析式为：y=ax2+bxa+b=39a+3b=1,解得a=-43b=133,抛物线的表达式为：y=-43x2+133x.(2)存在设直线OD解析式为y=kx,将D(3,1)代入,求得k=13,
24、直线OD解析式为y=13x.设点M的横坐标为x,则M(x,13x),N(x,-43x2+133x),MN=|yM-yN|=|13x-(-43x2+133x)|=|43x2-4x|由题意,可知MNAC,因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形,则有MN=AC=3|43x2-4x|=3若43x2-4x=3,整理得：4x2-12x-9=0,解得：x=3+322或x=3-322；若43x2-4x=-3,整理得：4x2-12x+9=0,解得：x=32存在满足条件的点M,点M的横坐标为：32或3+322或3-322(3)C(1,3),D(3,1)易得直线OC的解析式为y=3x,直线OD的解析式为y=
25、13x.如解答图所示,设平移中的三角形为AOC,点C在线段CD上设OC与x轴交于点E,与直线OD交于点P；设AC与x轴交于点F,与直线OD交于点Q设水平方向的平移距离为t(0t2),则图中AF=t,F(1+t,0),Q(1+t,13+13t),C(1+t,3-t)设直线OC的解析式为y=3x+b,将C(1+t,3-t)代入得：b=-4t,直线OC的解析式为y=3x-4tE(43t,0)联立y=3x-4t与y=13x,解得x=32t,P(32t,12t)过点P作PGx轴于点G,则PG=12t.S=SOFQ-SOEP=12OFFQ-12OEPG=12(1+t)(13+13t)-1243t12t=-
26、16(t-1)2+13当t=1时,S有最大值为13S的最大值为1338. 解：(1)将B、C两点的坐标代入得9+3b+c=0c=3,解得b=2c=3所以二次函数的表达式为y=-x2+2x+3；(2)如图,存在点P,使四边形POPC为菱形设P点坐标为(x,-x2+2x+3),PP交CO于E若四边形POPC是菱形,则有PC=PO连接PP则PECO于EOE=CE=32,y=32-x2+2x+3=32解得x1=2+102,x2=2-102(不合题意,舍去)P点的坐标为(2+102,32)(3)如图1,过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,-x2+2x+3)易得,直线BC的解析式
27、为y=-x+3则Q点的坐标为(x,-x+3)PQ=-x2+3xS四边形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ=12ABOC+12QPBF+12QPOF=1243+12(-x2+3x)3=-32(x-32)2+758,当x=32时,四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为(32,154),四边形ABPC面积的最大值为75839. 解：(1)根据题意,得：y=50-x,(0x50,且x为整数)；(2)W=(120+10x-20)(50-x)=-10x2+400x+5000=-10(x-20)2+9000,a=-1010,则当x=45时,w有最大值,即w=2250-150a2430(不合题意)；若a
28、2301, 第30天的日销售利润最大,最大利润为2450元(3)由(2)得：当1t40时, w=-12(t-30)2+2450, 令w=2400,即-12(t-30)2+2450=2400, 解得：t1=20、t2=40, 由函数w=-12(t-30)2+2450图象可知,当20t40时,日销售利润不低于2400元, 而当41t80时,w最大=23012400, t的取值范围是20t40, 共有21天符合条件(4)设日销售利润为w,根据题意,得：w=(14t+16-6-m)(-2t+200)=-12t2+(30+2m)t+2000-200m, 其函数图象的对称轴为t=2m+30, w随t的增大
29、而增大,且1t40, 由二次函数的图象及其性质可知2m+3040, 解得：m5, 又m7, 5m7【参考具体解析】1. 解：抛物线y=2x2-3ax+1的对称轴为x=34a. 当34a1,即a3,即a4时,有18-9a+1=-23, 解得：a=143综上所述：a的值为143故选D分a4三种情况,找出函数值y的最小值,令其等于-23,即可得出关于a的一元一次(或一元二次)方程,解之即可得出结论本题考查了二次函数的最值,分a4三种情况,找出关于a的方程是解题的关键2. 【分析】本题主要考查二次函数的最值,熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键.依据二次函数的增减性分1h3、h3三种情况
30、,由函数的最小值列出关于h的方程,解之可得【解答】解：y=(x-h)2+3中a=10,当xh时,y随x的增大而增大；若1h3,则当x=h时,函数取得最小值2h,即3=2h,解得h=32；若h1(舍去)；若h3,则在1x3范围内,x=3时,函数取得最小值2h,即(3-h)2+3=2h,解得h=2(舍)或h=6,综上,h的值为32或6,故选C3. 【分析】本题考查了根与系数的关系,二次函数的最值及性质,熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.根据已知条件得到m,n是关于x的方程x2-2ax+2=0的两个根,根据根与系数的关系得到m+n=2a,mn=2,化简(m-1)2+(n-1)2,把m+n=2a,m
31、n=2代入得到4a-122-3,当a=2时,有最小值,代入即可得到结论【解答】解：m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,m,n是关于x的方程x2-2ax+2=0的两个根,m+n=2a,mn=2,(m-1)2+(n-1)2=m2-2m+1+n2-2n+1=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a2-4-4a+2=4a-122-3,当a2时,(m-1)2+(n-1)2随a的增大而增大,当a=2时,(m-1)2+(n-1)2有最小值,原式=4a-122-3=42-122-3=6故选A4. 解：m,n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根, m+n=2t,mn=t2
32、-2t+4, (m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=t2+2t+8=(t+1)2+7方程有两个实数根, =(-2t)2-4(t2-2t+4)=8t-160, t2, (t+1)2+7(2+1)2+7=16故选：D由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2-2t+4,将其代入(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4中可得出(m+2)(n+2)=(t+1)2+7,由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围,再根据二次函数的性质即可得出(m+2)(n+2)的最小值本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及二次函数的最值,根据根与系数的关系找出(m+2)(n+2)=(t+1)2+
33、7是解题的关键5. 【分析】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理,利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ=t2-6t+24是解题的关键.在RtABC中,利用勾股定理可得出AC=6cm,设运动时间为t(0t4),则PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2-6t+24,利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值,此题得解【解答】解：在RtABC中,AB=10cm,BC=8cm,AC=AB2-BC2=6,设运动时间为t(0t4),则PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,S四边形PABQ=SABC-SCPQ=12ACBC-12PCCQ=1268-12(6-t)2t=t2-6t+24=(t-3)2+1