1、专题训练(三)相似三角形基本模型模型一“X”形1.如图3-ZT-1,ABCD,AD与BC相交于点O,已知AB=4,CD=3,OD=2,那么线段OA的长为.图3-ZT-12.如图3-ZT-2,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点F,则CFCD=.图3-ZT-23.2018江西 如图3-ZT-3,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,交AC于点E.求AE的长.图3-ZT-3模型二“A”形4.如图3-ZT-4,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DEBC,若BD=2AD,则()图3-ZT-4A.A
2、DAB=12 B.AEEC=12C.ADEC=12 D.DEBC=125.如图3-ZT-5,已知ADEABC,若ADE=37,则B=.图3-ZT-56.如图3-ZT-6,D为ABC的边AB上的点,请补充一个条件:,使ADCACB.图3-ZT-67.如图3-ZT-7,在ABC中,点D,F,E分别在边AB,AC,BC上,且DFBC,EFAB.若AD=2BD,则ECBE的值为.图3-ZT-78.如图3-ZT-8,D是ABC的边AC上的一点,连接BD,已知ABD=C,AB=6,AD=4,求线段CD的长.图3-ZT-89.如图3-ZT-9,已知ECAB,EDA=ABF.求证:(1)四边形ABCD是平行四
3、边形;(2)OA2=OEOF.图3-ZT-9模型三“K”形10.如图3-ZT-10,已知ABC和ADE均为等边三角形,点D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF等于()图3-ZT-10A.1 B.2 C.3 D.411.如图3-ZT-11,已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x的图像上,第二象限内的点B在反比例函数y=kx的图像上,且OAOB,OA=2,OB=4,则k的值为()图3-ZT-11A.-3 B.-6 C.-4 D.-812.2018遵义 如图3-ZT-12,在菱形ABCD中,ABC=120,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B,D重合),折
4、痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为.图3-ZT-1213.如图3-ZT-13,在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点,EHBH=3,连接CH并延长交AB于点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.(1)求证:ECBG=EHBH;(2)若CGF=90时,求ABBC的值.图3-ZT-13模型四“共享”型14.如图3-ZT-14,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AGBC于点G,AFDE于点F,EAF=GAC.(1)求证:ADEABC;(2)若AD=3,AB=5,求AFAG的值.图3-ZT-1415.在AOB中,C,D分别是OA,OB边上的点,将OCD绕点O顺
5、时针旋转到OCD的位置.如图3-ZT-15,若AOB为任意三角形且AOB=,CDAB,AC与BD交于点E,猜想AEB=是否成立,请说明理由.图3-ZT-15教师详解详析1.83解析 ABCD,A=D,B=C,OABODC,OAOD=ABDC,即OA2=43,OA=83.故答案为83.2.13解析 四边形ABCD是矩形,BAD=90.又AB=3,AD=BC=6,BD=AB2+AD2=3.BE=1.8,DE=3-1.8=1.2.ABCD,DFBA=DEBE,即DF3=1.21.8,解得DF=233,则CF=CD-DF=33,CFCD=333=13.故答案为13.3.解:BD为ABC的平分线,ABD
6、=DBC.又ABCD,D=ABD,DBC=D,BC=CD=4.又AEB=CED,AEBCED,ABCD=AECE,从而AECE=84=2,AE=2CE,即CE=12AE.AC=AE+CE=6,AE+12AE=6,解得AE=4.4.B解析 点D,E分别在边AB,AC上,DEBC,ADBD=AEEC.BD=2AD,故ADBD=AEEC=12.故选B.5.376.答案不唯一,如ADC=ACB解析 DAC=CAB,当ADC=ACB时,可得ADCACB.7.12解析 DFBC,EFAB,AD=2BD,AFFC=ADBD=BEEC=2,ECBE=12.8.解:在ABD和ACB中,ABD=C,A=A,ABD
7、ACB,ABAC=ADAB.AB=6,AD=4,AC=9,CD=AC-AD=9-4=5.9.证明:(1)ECAB,C=ABF.又EDA=ABF,C=EDA,ADBC,四边形ABCD是平行四边形.(2)ECAB,OABOED,OAOE=OBOD.又ADBC,OBFODA,OFOA=OBOD,OAOE=OFOA,OA2=OEOF.10.B解析 ABC和ADE均为等边三角形,B=ADE=C=60,BAD+ADB=ADB+CDF=120,BAD=CDF,ABDDCF,ABDC=BDCF.DC=BC-BD=6,96=3CF,CF=2.故选B.11.D12.2.8解析 在菱形ABCD中,ABC=120,B
8、D为对角线,所以FGE=A=60,FDG=GBE=60,ABD是等边三角形.因为DG=2,BG=6,所以BD=8,所以AD=BD=8,DFG+FGD=120,FGD+BGE=120,所以DFG=BGE,从而FGDGEB,所以FGGE=FDGB=DGBE.设BE=x,则GE=AE=8-x,即FD6=2x,FD=12x,则FG=AF=8-12x,得8-12x8-x=12x6,解得x=2.8,即BE=2.8.13.解:(1)证明:四边形ABCD为矩形,ABCD,HEC=HBG,HCE=HGB,EHCBHG,ECBG=EHBH.(2)由(1)知ECBG=EHBH=3,EC=3BG.E为CD的中点,DE
9、=EC=3BG,CD=2EC=6BG.AB=CD=6BG,AG=AB-BG=5BG.CGF=90,AGF+BGC=90.AGF+AFG=90,BGC=AFG.又A=CBG=90,AFGBGC,AFBG=AGBC.ABCD,FDEFAG,DFAF=DEAG=35,AF=52AD=52BC,52BC16AB=56ABBC,AB2BC2=18,ABBC=32.14.解:(1)证明:AFDE于点F,AGBC于点G,AFE=AGC=90,AEF=90-EAF,C=90-GAC.EAF=GAC,AEF=C,又DAE=BAC,ADEABC.(2)ADEABC,ADE=B.又AFD=AGB=90,AFDAGB,AFAG=ADAB.AD=3,AB=5,AFAG=35.15.解:AEB=成立.理由如下:设AC与OB交于点F.OCD经过旋转得到OCD,OC=OC,OD=OD,AOC=BOD.又CDAB,OCOA=ODOB,OCOA=ODOB,即OCOD=OAOB.又AOC=BOD,AOCBOD,OAC=OBD.又AFO=BFE,AEB=AOB=.