1、6.6图形的位似知识点 1位似图形的概念及有关性质1.2018滨州 在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2).若以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的12后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为()A.(5,1) B.(4,3) C.(3,4) D.(1,5)2.下列关于位似图形的4个表述:相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;位似图形一定有位似中心;如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确的有()A.1个 B.2个 C.
2、3个 D.4个3.如图6-6-1所示的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是()图6-6-1A.点P B.点O C.点M D.点N4.2019邗江区一模 如图6-6-2,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形,且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积之比为19,则它们的位似比为()图6-6-2A.19 B.13 C.31 D.1815.2018菏泽 如图6-6-3,OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为34,OCD=90,AOB=60,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是.图6-6-3知识点 2位似作图6.教材“尝试与交流”变式 如图6-6-4,已知四
3、边形ABCD,以AD的中点为位似中心将它放大,使放大前后的两个图形对应线段的比为12.图6-6-47.2017南京期末 如图6-6-5,图中的小方格都是边长为1的正方形,ABC与ABC是以点O为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上.(1)在图中画出位似中心点O,ABC与ABC的相似比是.(2)以点O为位似中心,在方格纸中再画一个A1B1C1,使它与ABC的相似比等于21.图6-6-58.如图6-6-6,已知O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将OBC放大为原来的两倍(即新图与原图的相似比为21),画出图形;(2)分别写出
4、B,C两点的对应点的坐标;(3)如果OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出点M的对应点M的坐标.图6-6-69.2018潍坊 在平面直角坐标系中,P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把AOB放大为原来的两倍,则点P的对应点的坐标为()A.(2m,2n) B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.12m,12n D.12m,12n或-12m,-12n10.如图6-6-7,在ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作ABC的位似图形ABC,并把ABC的边长放大为原来的2倍.设点B的对应点B的横坐标是2,则点B的横坐标是.图6-6-
5、711.2019滨州 在平面直角坐标系中,ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,0),O(0,0).以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的12,得到CDO,则点A的对应点C的坐标是.12.如图6-6-8,已知ABC,在ABC内部作正方形D1E1F1G1,使点G1,D1,E1分别落在边AB,BC上,连接BF1,并延长交AC于点F,过点F作FEBC于点E,FGBC,交AB于点G,过点G作GDBC于点D.(1)求证:四边形DEFG为正方形;(2)在ABC中,如果BC=120,BC边上的高为80,求正方形DEFG的边长;(3)在(2)的条件下,将点G,F分别在AB,AC上移动,使正
6、方形DEFG变为矩形,且GF=12DG,其他条件不变,此时,GF的长是多少?图6-6-813.如图6-6-9在正方形ABCD与正方形OEFG中,点D和点F的坐标分别为(-3,2)和(1,-1),求这两个正方形的位似中心的坐标.图6-6-9教师详解详析1.C2.B解析 相似图形不一定是位似图形,位似图形一定是相似图形,错误;位似图形一定有位似中心,正确;如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形,正确;位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于相似比,错误.故选B.3.A4.B解析 四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形,四边形
7、ABCD四边形A1B1C1D1.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积之比为19,它们的位似比为13.故选B.5.(2,23)解析 如图,过点A作AEx轴于点E.OCD=90,OAB=90.AOB=60,ABO=OAE=30.点B的坐标是(6,0),OA=12OB=3,OE=12OA=32,AE=OA2-OE2=32-(32)2=332,A32,332.OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为34,点C的坐标为3243,33243,即(2,23).6.解:(答案不唯一)如图所示,四边形A1B1C1D1即为所求.7.解:(1)点O如图所示.OAOA=612=12,ABC与ABC
8、的相似比为12.(2)A1B1C1如图所示.8.解:(1)如图,OBC即为所求.(2)点B,C的对应点的坐标分别为(-6,2),(-4,-2).(3)点M的对应点M的坐标为(-2x,-2y).9.B解析 当放大后的AOB与AOB在原点O的同侧时,点P对应点的坐标为(2m,2n);当放大后的AOB与AOB在原点O的两侧时,点P对应点的坐标为(-2m,-2n).故选B.10.-52解析 分别过点B,B作BDx轴于点D,BEx轴于点E,BDC=BEC=90.ABC的位似图形是ABC,点B,C,B在一条直线上,BCD=BCE,BCDBCE,CDCE=BCBC=12.又点B的横坐标是2,点C的坐标是(-
9、1,0),CE=3,CD=32,OD=52,点B的横坐标为-52.11.(-1,2)或(1,-2)解析 点A的对应点C的坐标是-212,412或-2-12,4-12,即(-1,2)或(1,-2).12.解:(1)证明:EFBC,GDBC,FED=EDG=90.又FGBC,EFG=90,四边形DEFG为矩形.易知E1F1EF,F1G1FG,EFE1F1=BFBF1,FGF1G1=BFBF1,EFE1F1=FGF1G1.又E1F1=F1G1,EF=FG,矩形DEFG为正方形.(2)过点A作AA1BC,垂足为A1,交GF于点H,则AA1=80.设正方形DEFG的边长为x,则AH=80-x.GFBC,
10、AGFABC,AHAA1=GFBC,即80-x80=x120,解得x=48,故正方形DEFG的边长为48.(3)过点A作AA1BC,垂足为A1,交GF于点H,则AA1=80.设矩形DEFG的边DG的长为y,则AH=80-y,GF=12y.GFBC,AGFABC,AHAA1=GFBC,即80-y80=12y120,解得y=60,GF=12y=30.13.解:当位似中心在两个正方形之间时,如图,连接AF,DG,交于点H,则点H为其位似中心,且点H在x轴上.DCGO,DCHGOH,DCGO=CHOH.DC=2,GO=1,CH=2OH,即OH=13OC.又D(-3,2)C(-3,0),OC=3,OH=1,其位似中心的坐标为(-1,0).当位似中心在正方形OEFG的右侧时,如图,连接DE并延长,连接CF并延长,两条延长线交于点M,过点M作MNx轴于点N,MEFMDC,CEDNEM,EFDC=EMDM,EDEM=ECEN=DCMN.DC=2,EF=1,EMDM=EFDC=12,ED=EM,EC=EN,MN=DC=2.OC=3,OE=1,EC=4,ON=OE+EN=OE+EC=5,位似中心点M的坐标为(5,-2).综上所述,这两个正方形的位似中心的坐标为(-1,0)或(5,-2).