1、第5课时圆中的相似、三角形的重心知识点 1圆中的相似1.如图6-4-52,ABC的角平分线AD的延长线交ABC的外接圆于点E.则下列结论中不正确的是()图6-4-52A.BAEDBE B.BAEDACC.DBEDAC D.BADDAC2.如图6-4-53,O的弦AB,CD相交于点P.若AP=3,BP=4,CP=2,则CD的长为()图6-4-53A.6 B.12 C.8 D.不能确定3.2018滨州 如图6-4-54,AB为O的直径,点C在O上,ADCD于点D,且AC平分DAB.求证:(1)直线DC是O的切线;(2)AC2=2ADAO.图6-4-544.已知:如图6-4-55,AD是ABC的边B
2、C上的高,AE是ABC外接圆的直径.求证:ABAC=ADAE.图6-4-55知识点 2三角形的重心5.三角形的重心是三角形的()A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点C.三边垂直平分线的交点 D.三条高所在直线的交点6.如图6-4-56,在ABC中,AD是BC边上的中线,G是重心.如果AG=6,那么线段DG的长为 ()图6-4-56A.2 B.3 C.6 D.127.如图6-4-57,ABC的中线BE与CD交于点G,连接DE,下列结论正确的是()图6-4-57A.点G是ABC的内心 B.BD=2CEC.SBGC=2SDGE D.SBDG=SCEG8.如图6-4-58,若AD,BE是ABC的
3、中线,AD,BE相交于点F,FD=2,则线段AD的长为.图6-4-589.如图6-4-59,在ABC中,AE,BF交于点D,且D是ABC的重心,SDEF=2,求AEC的面积.图6-4-5910.如图6-4-60,在ABC中,O是重心,BC=10,连接AO并延长交BC于点D,连接BO并延长交AC于点E,ADBE.若BE=6,AO=6,则AC的长为()图6-4-60A.8 B.410 C.12 D.1411.2018遵义 如图6-4-61,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=5,BC=10,连接AC,BD,以BD为直径的圆交AC于点E,连接DE.若DE=3,则AD的长为.图6-4-6
4、112.如图6-4-62,在ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为D,AD=18,点E在AC上且CE=12AC,连接BE,与AD交于点F.若BE=15,则DBF的周长是.图6-4-6213.2018黄冈 如图6-4-63,AD是O的直径,AB为O的弦,OPAD,OP与AB的延长线交于点P,过点B的切线交OP于点C.(1)求证:CBP=ADB;(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长. 图6-4-6314.如图6-4-64,已知G是ABC的重心,AGGC.(1)若AC=4 cm,求BG的长;(2)若ABC的面积为9 cm2,求GBC的面积.图6-4-6415.如图6-4-65,已知在矩形ABC
5、D中,DEAC,DE与BC的延长线交于点E,AE交CD于点F,BF交AC于点G.(1)求证:G是ABE的重心;(2)已知ADAF=23,求证:BCG=BGC.图6-4-65教师详解详析1.D2.C解析 连接AC,BD,则PACPDB,APDP=CPBP,DP=APBPCP.AP=3,BP=4,CP=2,DP=6,CD=CP+DP=2+6=8.故选C.3.证明:(1)连接OC,AC平分DAB,DAC=OAC.OA=OC,OAC=OCA,DAC=OCA,OCAD.ADCD,OCCD.点C在O上,直线DC是O的切线.(2)连接BC,AB是O的直径,ACB=90,ACB=ADC=90.又BAC=CAD
6、,ACBADC,ACAD=ABAC,从而AC2=ADAB,AC2=2ADAO.4.证明:AD是ABC的边BC上的高,AE是ABC外接圆的直径,ADB=ACE=90.又B=E,ADBACE,ABAE=ADAC,ABAC=ADAE.5.A6.B解析 根据重心的性质,三角形的重心到一顶点的距离等于其到对边中点距离的2倍,可直接求得结果.7.D解析 根据三角形重心的定义和性质对各选项分析判断,利用排除法求解.8.6解析 AD,BE是ABC的中线,AD,BE相交于点F,FD=2,点F是ABC的重心,AF=2FD=22=4,AD=AF+FD=4+2=6.9.解:D是ABC的重心,AD=2DE,F为AC的中
7、点,SADF=2SDEF=4,SEFC=SAEF=6,SAEC=12.10.B解析 O是ABC的重心,E是AC的中点,OE=13BE=136=2.ADBE,AE=62+22=210,AC=2AE=2210=410.故选B.11.25解析 连接BE,因为DAE=DBE,DAE=ACB,所以DBE=ACB.因为BD是直径,所以BAD=90,BED=90.又因为ABC=90,所以BED=ABC,所以BEDCBA,所以DEAB=EBBC,得到EB=6.RtBED中,根据勾股定理,得BD=35.在RtADB中,根据勾股定理,得AD=25.12.24解析 根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD,又由C
8、E=12AC,可知F是ABC的重心,根据重心的性质,得BF=23BE=10,DF=13AD=6.在RtBDF中利用勾股定理求得BD=8,进而得出DBF的周长为24.13.解:(1)证明:如图,连接OB.AD是O的直径,ABD=90,A+ADB=90.BC为O的切线,OBBC,OBC=90,OBA+CBP=90,而OA=OB,A=OBA,CBP=ADB.(2)OPAD,POA=90,P+A=90.又A+D=90,P=D,AOPABD,PADA=AOAB,即1+BP4=21,BP=7.14.解:(1)如图,延长BG交AC于点D.G是ABC的重心,BD为ABC的中线.又AGGC,GD为RtAGC斜边上的中线,GD=12AC.又G是ABC的重心,BG=2GD=AC=4 cm.(2)BD为ABC的中线,SCBD=12SABC=92 cm2.G是ABC的重心,BD=3GD,SGBC=23SCBD=3 cm2.15.证明:(1)四边形ABCD是矩形,ADBE,BC=AD.又DEAC,四边形ACED是平行四边形,AF=EF,AD=CE.BC=AD,BC=CE,G是ABE的重心.(2)ABE=90,AF=EF,BF=12AE=AF.G是ABE的重心,BG=23BF=23AF.ADAF=23,BC=AD=23AF,BC=BG,BCG=BGC.