1、第2课时二次函数y=ax2+k的图像和性质知识点 1二次函数y=ax2+k与y=ax2的图像关系1.将抛物线y=x2向上平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为()A.y=x2+2 B.y=x2-2C.y=(x+2)2 D.y=(x-2)22.教材练习第1题变式 如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位长度,那么所得新抛物线的函数表达式是()A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2C.y=x2+1 D.y=x2+33.抛物线y=3x2-5可以看成是由抛物线y=3x2向平移个单位长度得到的.4.将抛物线y=ax2+c向下平移7个单位长度,得到抛物线y=-2x2,则a=,c=.知识点
2、 2二次函数y=ax2+k的图像和性质5.写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值y=2x2+2y=-5x2-3y=15x2+1y=-12x2-46.抛物线y=x2+4与y轴的交点坐标是()A.(4,0) B.(-4,0) C.(0,-4) D.(0,4)7.关于二次函数y=2x2+3,下列说法正确的是()A.它的图像的开口方向是向下 B.当x”“=”或“0时,x的取值范围.图5-2-812.如图5-2-9,二次函数y=-12x2+2(-2x2)的图像与x轴,y轴分别交于点A,B,C.试求ABC的面积. 图5-2-913.将抛物线y=12x2先向上平
3、移m个单位长度,所得新抛物线经过点-1,72,求新抛物线的函数表达式及新抛物线与y轴的交点坐标.14.在平面直角坐标系中,如果保持抛物线y=x2不动,而把x轴向上平移2个单位长度,那么在新坐标系下抛物线的函数表达式为()A.y=x2+2 B.y=x2-2C.y=(x+2)2 D.y=(x-2)215.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图像可能是()图5-2-1016.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为 ()A.a+c B.a-cC.-c D.c17.已知拋物线y=-13x2+2,当1x5时,
4、y的最大值是.图5-2-1118.2019镇江模拟 如图5-2-11,抛物线y=ax2+1(a0)与过点(0,-3)且平行于x轴的直线相交于点A,B,与y轴交于点C.若ACB为直角,则a=.19.已知抛物线y=ax2+2经过点(1,-2).(1)求a的值;(2)若点A(m,y1),B(n,y2)(mn0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中A(-2,0),B(-1,-3).(1)求该抛物线的函数表达式;(2)M为y轴上任意一点,当点M到A,B两点的距离之和最小时,求此时点M的坐标. 图5-2-13教师详解详析1.A2.C3.下54.-275.填表如下:抛物线开口方向对称轴顶点
5、坐标最值y=2x2+2向上y轴(0,2)最小值2y=-5x2-3向下y轴(0,-3)最大值-3y=15x2+1向上y轴(0,1)最小值1y=-12x2-4向下y轴(0,-4)最大值-46.D解析 当x=0时,y=4,所以抛物线与y轴的交点坐标是(0,4).故选D.7.B解析 A项,a=20,故它的图像的开口方向是向上,故此选项错误;B项,在y轴左侧,y随x的增大而减小,故当x解析 -10时,y随着x的增大而减小.2y2.9.答案不唯一,如y=2x2-1解析 抛物线的顶点坐标为(0,-1),该抛物线的函数表达式为y=ax2-1.又二次函数的图像开口向上,a0,这个二次函数的表达式可以是y=2x2
6、-1.10.a2解析 抛物线y=(a-2)x2+5的顶点是它的最低点,a-20,即a2.11.解:(1)如图.抛物线的顶点坐标为(0,4),抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0),(2,0).(2)当y0时,-2x2.12.解:当x=0时,y=2;当y=0时,-12x2+2=0,解得x1=2,x2=-2,A(-2,0),B(2,0),C(0,2),SABC=12ABCO=1242=4.13.解:由题意可得新抛物线的函数表达式为y=12x2+m.将-1,72代入,解得m=3.故新抛物线的函数表达式为y=12x2+3.当x=0时,y=3,即新抛物线与y轴的交点坐标为(0,3).14.B解析 抛物线y
7、=x2的顶点坐标为(0,0).把x轴向上平移2个单位长度,在新坐标系中抛物线的顶点坐标为(0,-2),抛物线的函数表达式为y=x2-2.故选B.15.D16.D解析 二次函数y=ax2+c的对称轴是y轴,当x取x1,x2(x1x2)时,函数值相等,即以x1,x2为横坐标的点关于y轴对称,则x1+x2=0,此时函数值为y=ax2+c=0+c=c.故选D.17.53解析 根据抛物线的函数表达式推断出抛物线的开口方向、对称轴.由拋物线y=-13x2+2的二次项系数a=-130,知该抛物线的开口向下.又抛物线的对称轴是y轴,故若1x5,则当x=1时,y最大值=-13+2=53.18.-14解析 如图,
8、直线AB与y轴交于点D,则D(0,-3).C(0,1),CD=4.AB过点(0,-3)且平行于x轴,ABC为等腰三角形.ACB=90,ABC为等腰直角三角形,CD=AD=BD=4,B(4,-3),把B(4,-3)代入y=ax2+1,得16a+1=-3,解得a=-14.19.解:(1)抛物线y=ax2+2经过点(1,-2),-2=a+2,解得a=-4.(2)抛物线y=-4x2+2的对称轴为y轴,点A(m,y1),B(n,y2)(mn0)在对称轴左侧.抛物线开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而增大.mn0,y1y2.20.解:(1)由函数图像可知,当x=-2或x=2时,y有最小值0,当x=-2或
9、x=2时,函数y有最小值.(2)由函数图像可知当-2x2时,y随x的增大而增大,x的取值范围是-2x2.21.解析 (1)将点A,B的坐标代入抛物线的函数表达式即可求出a,c的值;(2)由于A,D两点关于抛物线的对称轴(即y轴)对称,所以连接BD,BD与y轴的交点就是所求的点M,可先求出直线BD的函数表达式,即可得到点M的坐标.解:(1)点A,B均在抛物线上,把点A,B的坐标代入函数表达式,得4a+c=0,a+c=-3,解得a=1,c=-4,该抛物线的函数表达式为y=x2-4.(2)点A,D关于抛物线的对称轴(y轴)对称,点D的坐标为(2,0).连接BD,与y轴交于点M,则此时点M到A,B两点的距离之和最小.设直线BD的函数表达式为y=kx+b(k0),则2k+b=0,-k+b=-3,解得k=1,b=-2,直线BD的函数表达式为y=x-2,点M的坐标为(0,-2).