1、5.5第1课时利用二次函数解决实际问题中的最值问题知识点1利用二次函数解决实际问题中的最值问题1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件,则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为()A.y=-10x2-560x+7350 B.y=-10x2+560x-7350C.y=-10x2+350x D.y=-10x2+350x-73502.某产品的进货单价为每件90元,按100元一件出售时,每周能售出500件.若每件涨价1元,则每周销售量就减少10件,则该产品每周能获得的最大利润为()A.5000元 B
2、.8000元C.9000元 D.10000元3.2019鄂州节选 “互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:每条休闲裤的销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.(1)直接写出y与x的函数表达式;(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?知识点2面积最大化问题4.2017南通一模 为搞好环保,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形的周长为100
3、 m,则池底的最大面积是()图5-5-1A.600 m2 B.625 m2 C.650 m2 D.675 m25.2018浦东新区一模改编 如图5-5-1,用长为10米的篱笆,一面靠墙(墙的长度超过10米),围成一个矩形花圃,设矩形垂直于墙的一边长为x米,花圃面积为S平方米,则S关于x的函数表达式是,当边长x为米时,花圃有最大面积,最大面积为平方米.6.2018邗江校级模拟 如图5-5-2,在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上,剪去四个全等的等腰直角三角形(图中阴影部分),再沿虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A,B,C,D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E,F在边AB上,且是被
4、剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x cm.(1)若折成的包装盒恰好是正方体,试求该包装盒的体积V;(2)要使该包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,x应该取何值?图5-5-2知识点3其他最大化问题7.从地面垂直向上抛出一个小球,小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)之间的函数表达式是h=9.8t-4.9t2,则小球的最大高度为米.8.2018武汉 飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数表达式是y=60t-32t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是m.9.2019天水 天水某景区商店销售一种纪念品,这种商品的成本价为10元/件,已知销
5、售价不低于成本价,且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件.市场调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图5-5-3所示.(1)求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数表达式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?图5-5-310.随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫之间的距离为x(单位:千米),乘坐地铁的
6、时间y1(单位:分)是关于x的一次函数,其关系如下表:地铁站ABCDEx(千米)891011.513y1(分)1820222528(1)求y1关于x的函数表达式;(2)李华骑单车的时间y2(单位:分)也受x的影响,其关系可以用y2=12x2-11x+78来描述,则李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短?并求出最短时间.11.某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.公司发现每天的营运规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的
7、观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?教师详解详析1.B解析 由题意,得y=(x-21)(350-10x)=-10x2+560x-7350.2.C3.解:(1)由题意可得,y=100+5(80-x),整理,得y=-5x+500.(2)由题意,得w=(x-40)(-5x+500)=-5x2+700x-20000=-5(x-70)2+4500a=-50,w有最大值.即当x=70时,w最大值=4500.应降
8、价80-70=10(元).答:当销售单价降低10元时,每月获得的利润最大,最大利润为4500元.4.B解析 设矩形的一边长为x m,则其邻边长为(50-x)m,设池底面积为S m2,则S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625,当x=25时,S取得最大值,最大值为625.5.S=-2x2+10x52252解析 由题意知平行于墙的一边长为(10-2x)米,则S=x(10-2x)=-2x-522+252(0x5),所以当x=52时,花圃有最大面积,最大面积为252平方米.6.解:(1)根据题意,知这个正方体的底面边长a=2x,EF=2a=2x,x+2x+x=24,解得x=6,则a
9、=62.V=a3=(62)3=4322(cm3).(2)设包装盒的底面边长为b cm,高为h cm,则b=2x,h=24-2x2=2(12-x),S=4bh+b2=42x2(12-x)+(2x)2=-6x2+96x=-6(x-8)2+384.0x12,当x=8时,S取得最大值,最大值为384 cm2.7.4.98.24解析 y=60t-32t2=-32(t-20)2+600,当t=20时,飞机着陆后滑行到最大距离600 m,然后停止滑行;当t=16时,y=576,最后4 s滑行的距离是24 m.9.解:(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b.将(10,30),(16,24)代入,得10k+b
10、=30,16k+b=24,解得k=-1,b=40,所以y与x的函数表达式为y=-x+40(10x16).(2)根据题意,知W=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.a=-10,当x25时,W随x的增大而增大.10x16,当x=16时,W取得最大值,最大值为144.即每天的销售利润W与销售价之间的函数表达式为W=-(x-25)2+225,每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.10.解:(1)设乘坐地铁的时间y1关于x的一次函数表达式是y1=kx+b.把x=8,y1=18;x=10,y1=22代入,得18=8k+b,2
11、2=10k+b,解得k=2,b=2,y1关于x的函数表达式是y1=2x+2.(2)设李华从文化宫回到家里所用的时间为y分,则y=y1+y2,即y=2x+2+12x2-11x+78=12x2-9x+80=12(x-9)2+792,当x=9时,y最小值=792.李华选择从B地铁口出站,才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短,最短时间为792分钟.11.解:(1)由题意,知若观光车能全部租出,则00,解得x22,22x100.又x是5的倍数,每辆车的日租金至少应为25元.(2)设每辆车的净收入为y元.当0100时,y2=50-x-1005x-1100=-15x2+70x-1100=-15x-1752+5025,当x=175时,y2有最大值为5025.50253900,当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多.