1、第2课时利用二次函数解决抛物线形问题知识点 1球类问题1.如图5-5-4,教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-112x2+23x+53,由此可知铅球被推出的距离是()图5-5-4A.10 m B.3 mC.4 m D.2 m或10 m2.小敏在某次投篮中,球的运动线路是抛物线y=-15x2+3.5的一部分(如图5-5-5).若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是()图5-5-5A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m3.2018滨州 如图5-5-6,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不
2、考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行时间是多少?(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 图5-5-6知识点 2拱桥问题4.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图5-5-7所示的平面直角坐标系,其函数表达式为y=-125x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面的宽度AB为()图5-5-7A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m5.建立如图5-
3、5-8所示的平面直角坐标系,某抛物线形桥拱的最大高度为16米,跨度为40米,则它对应的函数表达式为.图5-5-86.教材问题3变式 图5-5-9是一个横断面为抛物线形的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,当水面下降1米时,水面的宽度为多少米?图5-5-9知识点 3其他问题7.某广场有一个喷水池,水从地面喷出,如图5-5-10,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是()图5-5-10A.4米 B.3米 C.2米 D.1米8.2017泰兴期末 冬天来了,晒衣服成了头疼的事情,聪明的
4、小华想到一个好办法,他在家后院地面(BD)上立两根等长的立柱AB,CD(均与地面垂直),并在立柱之间悬挂一根绳子.绳子的形状近似抛物线y=110x2+bx+c,如图5-5-11,已知BD=8米,绳子最低点离地面的距离为1米.(1)求立柱AB的长度;(2)由于挂的衣服比较多,为了防止衣服碰到地面,小华用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子(如图),MN的长度为1.85米,通过调整MN的位置,使左边抛物线F1对应函数表达式的二次项系数为14,顶点离地面1.6米,求MN与AB的距离. 图5-5-119.如图5-5-12,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y
5、轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8 s时,离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44 m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门?图5-5-12教师详解详析1.A解析 令y=0,则-112x2+23x+53=0,解得x1=10,x2=-2,由此可知铅球被推出的距离是10 m.故选A.2.B解析 当y=3.05时,-
6、15x2+3.5=3.05,解得x1=-1.5(舍去),x2=1.5,l=2.5+1.5=4(m).故选B.3.解:(1)令y=15,有-5x2+20x=15,化简得x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,即飞行时间是1 s或3 s.(2)飞出和落地的瞬间,高度都为0,故令y=0,则有0=-5x2+20x,解得x1=0,x2=4,所以小球从飞出到落地所用时间是4-0=4(s).(3)y=-5x2+20x=-5(x-2)2+20,所以当x=2时,y取得最大值,此时y=20.故在飞行过程中,当飞行时间为2 s时,小球的飞行高度最大,最大高度为20 m.4.C5.y=-125(x-20)2+16
7、解析 由图可知抛物线的对称轴为直线x=20,顶点坐标为(20,16).可设此抛物线的函数表达式为y=a(x-20)2+16.又此抛物线过点(0,0),代入得(0-20)2a+16=0,解得a=-125,所以此抛物线的函数表达式为y=-125(x-20)2+16.6.解:建立如图所示的平面直角坐标系,可知OA和OB的长均为AB的一半,即2米,抛物线顶点C的坐标为(0,2),通过以上条件可设抛物线的函数表达式为y=ax2+2.把(-2,0)代入y=ax2+2,得出a=-0.5,所以y=-0.5x2+2.当y=-1时,有-1=-0.5x2+2,解得x=6,所以当水面下降1米时,水面的宽度为26米.7
8、.A解析 直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可,最大高度为4ac-b24a=4(-1)0-424(-1)=4,或将y=-x2+4x化为顶点式也可得出结论.8.解:(1)由题意可知抛物线的函数表达式为y=110(x-4)2+1,即y=110x2-45x+135.令x=0,得y=135,AB=135.答:立柱AB的长度为135米.(2)由题意可以假设抛物线F1的表达式为y=14x2+mx+135.414135-m2414=1.6,m=1.抛物线F1的对称轴在y轴右侧,140,m0,m=-1,抛物线F1的函数表达式为y=14x2-x+135.令y=1.85,解得x1=1,x2=3,当x=1时,不合题意,舍去,x=3,MN与AB的距离为3米.9.解:(1)由题意可知函数y=at2+5t+c的图像经过点(0,0.5),(0.8,3.5),0.5=c,3.5=0.64a+4+c,解得a=-2516,c=12,抛物线的函数表达式为y=-2516t2+5t+12=-2516t-852+92,当t=85时,y最大值=92.答:足球飞行的时间是85 s时,足球离地面最高,最大高度是92 m.(2)把x=28代入x=10t,得28=10t,t=2.8.当t=2.8时,y=-25162.82+52.8+12=2.252.44,他能将球直接射入球门.