1、20192020年九年级上学期第一次月考数学试卷考生注意：1.考试时间120分钟. 2. 全卷共三大题，满分120分. 题号一二三总分2122232425262728分数一选择题（每题3分，共30分）1.若关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值为()A.0 B. 8 C. 422 D. 0或82.某校九年级学生毕业时,每名同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念.全班共送了2 070张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x-1)=2 070 B. x(x+1)=2 070C. 2x(x+1)=2 070 D.x(x-1)2=
2、2 0703.“五一”期间,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了45场比赛,则这次参加比赛的队伍有()A. 12支 B. 11支 C. 9支 D. 10支4二次函数y=a(x+k)2+k(a0),无论k取何值,其图象的顶点都在()A直线y=x上B直线y=-x上C.x轴上Dy轴上5把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是()Ay=(x+2)2+2By=(x+2)2-2 C.y=x2+2Dy=x2-26把二次函数y=x23x的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是（）Ay=（x1）2+7By=（x
3、+7）2+7 Cy=（x+3）2+4Dy=（x1）2+17把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（）Ay=320（x1）By=320（1x）Cy=160（1x2）Dy=160（1x）28已知函数y=（k3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）Ak4Bk4Ck4且k3Dk4且k39三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x216x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A24B48C24或8D810函数y=ax22x+1和y=ax+a（a是常数，且a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD二填空题（每小题
4、3分，共18分）11已知（1，y1），（2，y2），（3，y3）都在函数y=x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 （用“”连接）12参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为 13关于x的一元二次方程x25x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为 14已知点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）23的图象上，当2x1时，y的取值范围是 15如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y=x2+bx1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形ABCD，点D
5、的对应点D落在抛物线上，则点D与其对应点D间的距离为 第15题图第16题图 16如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a=0；abc0； a2b+4c08a+c0，其中正确的有 三、解答题（共102分）17（10分）解方程（1）x24x=0 （2）2x2+3=7x18（8分）已知x1=1是方程x2+mx5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x219（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，2），（0，2），函数的最小值是4（1）求二次函数的解析式（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案
6、20（10分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润21（8分）已知：关于x的一元二次方程mx2（2m2）x+m=0有实根（1）求m的取值范围；（2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得+=1？请说明理由22（8分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的
7、高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道23（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料（1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2（2）当BC为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？并求出最大值24（10分）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（4，4）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也
8、停止运动连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点DBD与y轴交于点E，连接PE设点P运动的时间为t（s）（1）PBD的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）；（2）当t为何值时，PBE为等腰三角形？（3）探索POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值25（10分）已知直线l：y=2，抛物线C：y=ax21经过点（2，0）（1）求a的值；（2）如图，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题1如图，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，
9、N，连接ON，OM，求证：OMON；2如图，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一选择题（每题3分，共30分）1.若关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值为()A.0 B. 8 C. 422 D. 0或8【答案】D解析:因为方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,所以(m-2)2-41(m+1)=0,解得m1=0,m2=8,故选D.2.某校九年级学生毕业时,每名同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念.全班共送了2 070张相片,如果
10、全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x-1)=2 070 B. x(x+1)=2 070C. 2x(x+1)=2 070 D.x(x-1)2=2 070【答案】 A解析:每人要赠送(x-1)张相片,有x个人,全班共送了2 070张相片.可列出方程(x-1)x=2 070,故选A.3.“五一”期间,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了45场比赛,则这次参加比赛的队伍有()A. 12支 B. 11支 C. 9支 D. 10支【答案】D解析:设队数是x,则每队参加(x-1)场比赛,而任何两队都只赛一场,所以共举行x(x-1)场比赛.因为共进行了45场比赛,
11、所以x(x-1)=45,解得x=10或-9(不合题意,舍去),只取x=10,所以这次有10支队伍参加比赛,故选D.4.二次函数y=a(x+k)2+k(a0),无论k取何值,其图象的顶点都在()A直线y=x上B直线y=-x上C.x轴上Dy轴上【答案】选B.顶点为(-k,k),当x=-k时,y=k=-(-k)=-x,故图象顶点在直线y=-x上.【互动探究】若题目中的二次函数“y=a(x+k)2+k(a0)”改为“y=a(x-k)2+k(a0)”,则无论k取何值,其图象的顶点都在哪条直线上?【解析】二次函数y=a(x-k)2+k(a0)的顶点为(k,k),此时x=k,y=k,即y=x,所以图象顶点在
12、直线y=x上.5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是()Ay=(x+2)2+2By=(x+2)2-2C.y=x2+2Dy=x2-2【答案】选D.【解析】选D.抛物线y=(x+1)2的顶点为(-1,0),平移后的顶点为(0,-2),所以得到的抛物线的解析式为y=x2-2.6.把二次函数y=x23x的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是（）Ay=（x1）2+7By=（x+7）2+7 Cy=（x+3）2+4Dy=（x1）2+1【答案】A【分析】利用抛物线的性质【解答】解：把抛物线的表达式化为顶点坐标式，y=x23x=（x+
13、3）2+4按照“左加右减，上加下减”的规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位，得到y=（x1）2+7故选A【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力7把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（）Ay=320（x1）By=320（1x）Cy=160（1x2）Dy=160（1x）2【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160（1x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160（1x）（1x），由此即可得到函数关系式【解答】解：第一次降价后的价格是160（1x），第二次降价为160（1
14、x）（1x）=160（1x）2则y与x的函数关系式为y=160（1x）2故选：D【点评】此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x的二次函数8已知函数y=（k3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）Ak4Bk4Ck4且k3Dk4且k3【分析】分为两种情况：当k30时，（k3）x2+2x+1=0，求出=b24ac=4k+160的解集即可；当k3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案【解答】解：当k30时，（k3）x2+2x+1=0，=b24ac=224（k3）1=4k+16
15、0，k4；当k3=0时，y=2x+1，与x轴有交点故选：B【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键9三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x216x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A24B48C24或8D8【分析】先利用因式分解法解方程得到所以x1=6，x2=10，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在ABC中，AB=AC=6，BC=8，作ADBC，则BD=CD=4，利用勾股定理计算出AD=2，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形
16、，然后根据三角形面积公式计算三角形面积【解答】解：x216x+60=0（x6）（x10）=0，x6=0或x10=0，所以x1=6，x2=10，当第三边长为6时，如图，在ABC中，AB=AC=6，BC=8，作ADBC，则BD=CD=4，AD=2，所以该三角形的面积=82=8；当第三边长为10时，由于62+82=102，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积=86=24，即该三角形的面积为24或8故选：C【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方
17、程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）10函数y=ax22x+1和y=ax+a（a是常数，且a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误【解答】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=0，
18、故选项正确；D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=0，故选项错误故选C【点评】应该熟记一次函数y=ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等二填空题（每小题3分，共18分）11已知（1，y1），（2，y2），（3，y3）都在函数y=x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y1y2y3（用“”连接）【分析】把各点的横坐标代入函数解析式求出函数值，即可得解【解答】解：x=1时，y1=2（1）2=2，x=2时，y2=222=8，x=3时，y3=2（3）2=18，所以，y1y2y3故答案为：y1y2y
19、3【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确计算求出各函数值是解题的关键12参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为x（x1）=90【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程【解答】解：设有x个队参赛，x（x1）=90故答案为：x（x1）=90【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解13关于x的一元二次方程x25x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为6【分析】根据判别式的意义得到=（5）24k0，解不等式得k，
20、然后在此范围内找出最大整数即可【解答】解：根据题意得=（5）24k0，解得k，所以k可取的最大整数为6故答案为6【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根14已知点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）23的图象上，当2x1时，y的取值范围是3y5【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的y的取值范围，本题得以解决【解答】解：二次函数y=2（x+1）23，该函数对称轴是直线x=1，当x=1时，取得最小值，此时y=3，点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）23
21、的图象上，当2x1时，y的取值范围是：3y5，故答案为：3y5【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答15如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y=x2+bx1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形ABCD，点D的对应点D落在抛物线上，则点D与其对应点D间的距离为2【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据A和B的坐标求OB和OA的长，证明AOBBGC，BG=OA=2，CG=OB=1，写出C（3，1），同理得：BCGCDH，得出D的坐标，根据平移的性质
22、：D与D的纵坐标相同，则y=3，求出D的坐标，计算其距离即可【解答】解：如图，过C作GHx轴，交x轴于G，过D作DHGH于H，A（0，2），B（1，0），OA=2，OB=1，四边形ABCD为正方形，ABC=90，AB=BC，ABO+CBG=90，ABO+OAB=90，CBG=OAB，AOB=BGC=90，AOBBGC，BG=OA=2，CG=OB=1，C（3，1），同理得：BCGCDH，CH=BG=2，DH=CG=1，D（2，3），C在抛物线的图象上，把C（3，1）代入函数y=x2+bx1中得：b=，y=x2x1，设D（x，y），由平移得：D与D的纵坐标相同，则y=3，当y=3时， x2x1=3
23、，解得：x1=4，x2=3（舍），DD=42=2，则点D与其对应点D间的距离为2，故答案为：2【点评】本题考查出了二次函数图象与几何变换平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确D与D的纵坐标相同是关键16如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a=0；abc0； a2b+4c08a+c0，其中正确的有【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a0，根据图象与y轴交点可得c0，再根据二次函数的对称轴x=，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判
24、定出b0，根据a、b、c的正负即可判断出的正误；利用ab+c=0，求出a2b+4c0，再利用当x=4时，y0，则16a+4b+c0，由知，b=2a，得出8a+c0【解答】解：根据图象可得：a0，c0，对称轴：x=0，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），对称轴是x=1，=1，b+2a=0，故错误；a0，b0，c0，abc0，故错误；ab+c=0，c=ba，a2b+4c=a2b+4（ba）=2b3a，又由得b=2a，a2b+4c=7a0，故此选项正确；根据图示知，当x=4时，y0，16a+4b+c0，由知，b=2a，8a+c0；故正确；故正确为：两个故答案为：【点评】此题主要考查了二次
25、函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）三、解答题（共102分）17（10分）解方程（1）x24x=0（2）2x2+3=7x【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程【解答】解：（1）x（x4）=0，x=0或x4=0，所以x1=0，x2=4；（2）2x27x+3=
26、0，（2x1）（x3）=0，2x1=0或x3=0，所以x1=，x2=3【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）18（8分）已知x1=1是方程x2+mx5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2【分析】将x1=1代入方程可得关于m的方程，解之求得m的值，即可还原方程，解之得出另一个根【解答】解：由题意得：（1）2+（1）m5=0，解得m=4；当m=4时，方程为x24x
27、5=0解得：x1=1，x2=5所以方程的另一根x2=5【点评】本题主要考查一元二次方程的解的定义及解方程的能力，解题的关键是根据方程的解的定义求得m的值19（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，2），（0，2），函数的最小值是4（1）求二次函数的解析式（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案【分析】（1）先利用二次函数的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则抛物线的顶点坐标为（1，4），设顶点式y=a（x1）24，然后把（0，2）代入求出a即可；（2）2（x1）24=0得抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（1+，0），然后写出抛物线在x轴上
28、方所对应的自变量的范围即可【解答】解：（1）二次函数的图象经过（2，2），（0，2），抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的顶点坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y=a（x1）24，把（0，2）代入得a（01）24=2，解得a=2，抛物线的解析式为y=2（x1）24；（2）当y=0时，2（x1）24=0，解得x1=1，x2=1+，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（1+，0），当x1或x1+时，y0，即当x1或x1+时，该二次函数的图象在横轴上方【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化解一元二次方程的问题关于x的
29、一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了二次函数的性质20（10分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润【分析】确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值【解答】解：设销售价每件定为x元，则每件利润为（x8）元，销售量为10010（x10），根据利润=每件利润销售量，可得销售利润y=（x8）10010（x10
30、）=10x2+280x1600=10（x14）2+360，当x=14时，y的最大值为360元，应把销售价格定为每件14元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为360元【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单21（8分）已知：关于x的一元二次方程mx2（2m2）x+m=0有实根（1）求m的取值范围；（2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得+=1？请说明理由【分析】（1）根据“关于x的一元二次方程mx2（2m2）x+m=0有实根”，判别式0，得到关于m的一元一次方程，解之即可，（2）根据“+=1”，通过整理变形，根
31、据根与系数的关系，得到关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案【解答】解：（1）方程mx2（2m2）x+m=0是一元二次方程，m0，=（2m2）24m2=4m28m+44m2=48m0，解得：m，即m的取值范围为：m且m0，（2）+=2=1，x1+x2=，x1x2=1，把x1+x2=，x1x2=1代入2=1得：=3，解得：m=42，m的取值范围为：m且m0，m=42不合题意，即不存在实数m，使得+=1【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键：（1）根据判别式0，列出关于m的一元一次方程，（2）正确掌握根与系数的关系，列出一元二次方程22（8
32、分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道【分析】（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题（1）求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题【解答】解：（1）本题答案不唯一，如：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示A（4，0），B（4
33、，0），C（0，6）设这条抛物线的表达式为y=a（x4）（x+4）抛物线经过点C，16a=6a=抛物线的表达式为y=x2+6，（4x4）（2）当x=1时，y=，4.4+0.5=4.9，这辆货车能安全通过这条隧道【点评】本题考查二次函数的应用、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型23（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料（1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2（2）当BC为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？并求出最
34、大值【分析】（1）根据题意可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶点式，注意求出的边长要符合题意【解答】解：（1）设AB为xm，则BC为（502x）m，x（502x）=300，解得，x1=10，x2=15，当x1=10时502x=3025（不合题意，舍去），当x2=15时502x=2025（符合题意），答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米；（2）设AB为xm，矩形花园的面积为ym2，则y=x（502x）=2（x）2+，x=时，此时y取得最大值，502x=25符合题意，此时y=，即当砌墙BC长为25米时，矩形花
35、园的面积最大，最大值为【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件24（10分）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（4，4）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点DBD与y轴交于点E，连接PE设点P运动的时间为t（s）（1）PBD的度数为45，点D的坐标为（t，t）（用t表示）；（2）当t为何值时，PBE为等腰三角形？（3）探索POE周长是否随时间t的
36、变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值【分析】（1）易证BAPPQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出PBD的度数和点D的坐标（2）由于EBP=45，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE由于PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题【解答】解：（1）如图1，由题可得：AP=OQ=1t=t（秒）AO=PQ四边形OABC是正方形，AO=AB=BC=OC，BAO=AOC=OCB=ABC=90DPB
37、P，BPD=90BPA=90DPQ=PDQAO=PQ，AO=AB，AB=PQ在BAP和PQD中，BAPPQD（AAS）AP=QD，BP=PDBPD=90，BP=PD，PBD=PDB=45AP=t，DQ=t点D坐标为（t，t）故答案为：45，（t，t）（2）若PB=PE，则t=0，符合题意若EB=EP，则PBE=BPE=45BEP=90PEO=90BEC=EBC在POE和ECB中，POEECB（AAS）OE=CB=OC点E与点C重合（EC=0）点P与点O重合（PO=0）点B（4，4），AO=CO=4此时t=AP=AO=4若BP=BE，在RtBAP和RtBCE中，RtBAPRtBCE（HL）AP=
38、CEAP=t，CE=tPO=EO=4tPOE=90，PE=（4t）延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示在FAB和ECB中，FABECBFB=EB，FBA=EBCEBP=45，ABC=90，ABP+EBC=45FBP=FBA+ABP=EBC+ABP=45FBP=EBP在FBP和EBP中，FBPEBP（SAS）FP=EPEP=FP=FA+AP=CE+APEP=t+t=2t（4t）=2t解得：t=44当t为0秒或4秒或（44）秒时，PBE为等腰三角形（3）EP=CE+AP，OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8POE周长是定值，该定值为8【点评】本题考查了正
39、方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强熟悉正方形与一个度数为45的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键25（10分）已知直线l：y=2，抛物线C：y=ax21经过点（2，0）（1）求a的值；（2）如图，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题1如图，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OMO
40、N；2如图，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法可求a的值；（2）设点P（a， a21），根据两点距离公式可求PQ，PO的长度，即可证PQ=PO；（3）1由（2）可得OB=BN，AM=AO，即可求BON=BNO，AOM=AMO，根据三角形内角和定理可求OMON；2过点F作EF直线l，由（2）得OF=EF，当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小，此时DE直线l，即可求FD+FO的最小值【解答】解：（1）抛物线C：y=ax21经过点（2，0）0=4a1a=（2）a=抛物线解析式：
41、y=x21设点P（a， a21）PO=a2+1PQ=a21（2）=a2+1PO=PQ（3）1由（2）可得OA=AM，OB=BNBON=BNO，AOM=AMOAMMN，BNMNAMBNABN+BAM=180ABN+BON+BNO=180，AOM+AMO+BAM=180ABN+BON+BNO+AOM+AMO+BAM=360BON+AOM=90MON=90OMON2如图：过点F作EF直线l，由（2）可得OF=EF，OF+DF=EF+DF当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小即此时DE直线lOF+DF的最小值为DE=1+2=3【点评】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，两点距离公式，三角形内角和定理，最短路径问题，利用数形思想解决问题是本题的关键