1、江西省2020届中考数学单元专题练之圆的证明与计算综合大题类型一与圆基本性质有关的证明与计算1. (8分)如图，ABC内接于O，AB为直径，CBA的平分线交AC于点F，交O于点D，DEAB于点E，且交AC于点P，连接AD.(1)求证：DACDBA；(2)连接CD，若CD3，BD4，求O的半径和线段DE的长第1题图2. (8分)如图，ABC内接于O，ABAC，CO的延长线交AB于点D.(1)求证：AO平分BAC；(2)若BC6，sinBAC，求AC和CD的长 第2题图 备用图3. (10分)如图，ABC内接于O，BC，D是BC上一点(点D不与点B、C重合)，将B沿AD翻折，点B正好落在O上的点E
2、处，折痕AD交O于K.(1)求证：AK是O的直径；(2)设CAE，试用的代数式表示CDE，并说明理由；(3)若B，C，探究，之间的等量关系，并加以证明第3题图4. (10分)已知：如图，在ABC中，ABBC10，以AB为直径作O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EFAB，垂足为点F，交BD于点P.(1)求证：ADDE；(2)若CE2，求线段CD的长；(3)在(2)的条件下，求DPE的面积第3题图类型二与切线有关的证明与计算5. (8分)如图，O的直径AB8，点E在圆外，AE交O于点F，C是圆上一点，CDAE于点D，AF2CD4.(1)求BF的长；(2)求证：CD是O的切线第5
3、题图6. (8分)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交O于点F.(1)求证：DEAC；(2)若DEEA8，O的半径为10，求AF的长度第6题图7. (8分)如图，正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的一动点(不与点A、D重合)，以BP为直径作半圆，圆心为点O，半圆O与边BC交于点K，线段OFAD，且与CD相交于点F，与半圆O相交于点E，设APx.(1)当x为何值时，四边形OBKE为菱形；(2)当半圆O与CD相切时，试求x的值第7题图8. (8分)如图，P过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A(8，0)，与y轴交
4、于点B(0，6)，P的切线DC垂直于y轴，垂足为D，连接OC.(1)求P的半径；(2)求证：OC平分POD；(3)求以点B为切点P的切线和切线CD的交点坐标第8题图9. (12分)如图，在RtABC中，A30，AC8，以C为圆心，4为半径作C.(1)试判断C与AB的位置关系，并说明理由；(2)点F是C上一动点，点D在AC上且CD2，试证明FCDACF；(3)点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出EFFA的最小值第9题图10. (12分)如图，OA、OB是O的半径，且OAOB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切O于点D，连接AD交OC于点E.(1)求证：CDCE；(2)如图，若
5、将图中的半径OB所在直线向上平移，交OA于点F，交O于点B，其他条件不变，求证：C2A；(3)在(2)的条件下，若CD13，sinA，求DE的长第10题图11. (12分)如图，在O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC、点E在AB上，且AECE.(1)求证：AC2AEAB；(2)过点B作O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；(3)设O半径为4，点N为OC中点，点Q在O上，求线段PQ的最小值第11题图江西省2020届中考数学单元专题练之圆的证明与计算综合大题答案全解全析1. (1) 证明：BD平分CBA，CBDDBA，又DACCBD，DACDB
6、A；(2) 解：如解图，第1题解图CBDDBA，CDAD，CD3，AD3，ADB90，BD4，AB5，故O的半径为，SABDADBDABDE，5DE34，DE，即线段DE的长为.2. (1)证明：如解图，延长AO，交BC于点G，交O于点E，连接BE、CE，第2题解图ABAC，AEBAEC，AE是O的直径，ABEACE90，又AEAE，RtABERtACE，BAECAE，AO平分BAC；(2)解：OAOC，AO平分BAC，BAGCAGACO，COGCAGACO，COGBAC，sinBAC，sinCOG，ABAC，AG平分BAC，BC6，CG3，OGC90，OAOC5，OG4，AC3；ACDOAD
7、，ADCODA，ADOCDA，OD，CD， ，即 , CD.3. (1)证明：证法一：如解图，连接BE，点B沿折痕AD翻折后与点E重合，第3题解图点B与点E关于折痕AD对称，AD垂直平分线段BE，B、E同在O上，AD过圆心O(垂径定理的推论)，AD交O于点K，AK是O直径；证法二：如解图，连接BE交AD于点F, 点B沿折痕AD翻折后与点E重合，ABAE，BAFEAF, 又AFAF，BAFEAF(SAS)，BFEF，AFBAFE，BFE180，AFBAFE90，AD垂直平分线段BE，B、E在O上，AD过圆心O(4论)，AD交O于点K，AK是O直径；(2)解：CDE2；理由如下：，CBECAE，
8、由题可知BDDE，DEBCBE，CDE2；(3)解：；证明：，CBECAE， 同理，CAEB，ABAE，ABEAEBC，又ABC，.4. (1)证明：AB是O的直径，ADB90，又ABBC，ADCD，CDAB，又DABBED180，BEDDEC180，DABDEC，CDEC，CDDE，ADDE；(2)解：如解图，连接AE，第4题解图AB是O的直径，AEB90，ABBC10，CE2，BEBCCE8，在RtAEB中，AE6，在RtAEC中，AC2，CDAC2；【一题多解】DECBAC，CC，DECBAC，即，又AC2CD，解得CD或CD(舍去)，即线段CD的长为.(3)解：如解图，过点E作EHBD
9、于点H，第4题解图EHCD，即，解得EH，在RtDEH中，DH.ABDBPF90，ABDBAD90，BPFBAD，又EPHBPF，EPHBAD，EHPADB90，EPHBAD，又在RtBCD中，BD3，解得PH，SDPE(DHHP)EH().【一题多解】如解图，过点D作DMAB于点M，由(2)知，ADCD，在RtABD中，BD3，又SADBADBDABDM，DM3，在RtBDM中，BM9，SAEBAEBEABEF，EF，在RtBEF中，BF，MFBMBF9.ABDPBF，ADBPFB90，ADBPFB，即，解得PF，PEEFPF，SDPEPEMF.5. (1)解：AB是O直径，AFB90，BF
10、4，即BF的长为4；(2)证明：如解图，连接OC，作OGAE于点G，第5题解图OG垂直平分AF，OAOB，OGBF，BF2OG，BFAF2CD4，OGCD，OGAE，CDAE，OGCD，四边形OGDC是矩形，OCDC，OC为O的半径，CD是O的切线6. (1)证明：如解图，连接AD，AB是O的直径，ADBC，ABAC，BDCD，OBOA，ODAC，DE是O的切线，ODDE，DEAC.第6题解图(2)解：如解图，连接BF.AB是O的直径，BFAF，DECF，DEBF，点D是BC的中点，EFEC，BF2DE.ACAB20，EC20AE，AFEFAEECAE202AE，AEDE8，DE8AE，BF1
11、62AE，在RtABF中，BF2AF2AB2，即(162AE)2(202AE)2202，解得AE2或AE16(舍)，AF202AE20416.7. 解：(1)如解图，连接PK，第7题解图BP是O的直径，BKP90，在正方形ABCD中，AABC90，四边形ABKP是矩形，BKAPx，又AB4，BP，OFBC，OEOB，当OEBK时，四边形OBKE为菱形，此时x，x0，x；当x时，四边形OBKE为菱形；(2)如解图，当半圆O与CD相切时，延长EO与AB相交于点M，第7题解图OFAD，OFCD，此时点E与点F重合，OFAD，且O为BP的中点，BM2，OM，OEOF4，在RtOBM中，4()2(4)2
12、，解得x3，即x为3时，半圆O与CD相切8. (1)解：如解图，连接AB，AOB90，AB是P的直径，A(8，0)，B(0，6)，AB10，P的半径rAB5；第8题解图(2)证明：如解图，连接PC，POCP，POCPCO，DC切P于点C，DCOPCO90，又CDy轴，DOCDCO90，DOCPOC，即OC平分POD；(3)解：如解图，过点B作OP的切线，与CD的延长线交于点M，由题意可设交点M的坐标为(x，2)，C(4，2)，B(0，6)，OD2，BD8，MCMB，MC2MB2，(x4)2x282，解得：x6，M(6，2)9. (1)解：C与AB相切第9题解图理由：如解图，作CMAB于点M.在
13、RtACM中，AMC90，CAM30，AC8，CMAC4，C的半径为4，CMr，AB是C的切线；(2)证明：CF4，CD2，CA8，CF2CDCA，FCDACF，FCDACF.(3)解：如解图，作DEAB于E，交C于F.第9题解图FCDACF，DFAF，EFAFEFDF，欲求EFAF的最小值，就是要求EFDF的最小值，当E与E，F与F重合时，EFDF的值最小，最小值DEAD3.10. (1)证明：连接OD，如解图所示：第10题解图OAOB，AOE90，AAEO90，CD是O的切线，ODC90，即CDEODE90，又OAOD，AODE，AEOCDE，CEDAEO，CDECED，CDCE；(2)证
14、明：连接OD，作CMAD于点M，如解图所示：同(1)可证：CDCE，则ECMDCMDCE，DE2DM，CME90，ECMCEM90，AAEF90，AEFCEM，AECM，ADCE，即C2A；第11题解图(3)解：连接OD，作CMAD于M，如解图所示：由(1)(2)可知：CDCE，DCE2A，DMCDsinA135，DE2DM10.4. (1)证明：如解图，连接BC.第11题解图CDAB ， . CABABC，在ACE和ABC中，ACEABC，则，AC2AEAB；(2)解：相等，理由如下：如解图连接BC，OB.第11题解图CDAB，ACBC.CABABC，ACNBCN.ANC90，BACACN9
15、0，PB是O的切线，OBCPBC90.OCOB，OCBOBC，PBCCABABC，PBEPBCABC2ABC.由(1)知ACECAE ，CEBCAEACE，PEB2CAE，PEBPBE，PBPE；(3)解：如解图，连接PO交O于点Q，此时的点Q即是所求的点第4题解图由O的半径为4，点N为OC中点，在RtOBN中，BN2， AB4，又CN2，在RtACN中，由勾股定理可得AC4，由(1)AC2AEAB，知AE，CE，又BEABAE4，BCAC4，在BCE中，BC2CE242()2 ，BE2()2，BC2CE2BE2，ECB90，sinBEC，BEC60，由(2)知PBPE，PBE为等边三角形，PBBE，在RtPBO中，BO4，PB，PO，PQminPOOQ4.