1、1.5第1课时利用二次函数解决拱桥、面积问题知识点1利用二次函数解决拱桥问题1.河北省赵县赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图1-5-1所示的平面直角坐标系,其函数表达式为y=-125x2.当水面离桥拱顶部的距离DO是4 m时,水面宽度AB为()A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m 图1-5-1 图1-5-22. 如图1-5-2,已知桥拱形状为抛物线,其函数表达式为y=-14x2,当水位线在AB位置时,水面的宽度为12 m,这时水面离桥拱顶部的距离是.3. 如图1-5-3,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成.已知
2、河底ED是水平的,ED=16 m,AE=8 m,抛物线的顶点C到ED的距离是11 m.试以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系,求题中抛物线的函数表达式. 图1-5-3知识点2利用二次函数解决面积问题4.如图1-5-4,一边靠学校院墙(不考虑其长度),其他三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD的边AB=x米,面积为S平方米,则下面表达式正确的是()A.S=x(40-x) B.S=x(40-2x)C.S=x(10-x) D.S=10(2x-20) 图1-5-4 图1-5-55.图1-5-5是一个长100 m、宽80 m的矩形草坪,现欲在草坪中间修两条互相垂直
3、且宽均为x m的小路,这时草坪的面积y(m2)与x(m)之间的函数表达式是()A.y=x2-20x-8000 B.y=x2-180x-8000C.y=x2-180x+8000 D.y=x2-20x+80006.某小区要用篱笆围成一直角三角形花坛,花坛的斜边利用足够长的墙,两条直角边所用的篱笆长的和恰好为17米.围成的花坛是图1-5-6所示的直角三角形ABC,其中ACB=90.设AC边的长为x米,直角三角形ABC的面积为S平方米.(1)求S和x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围);(2)根据小区的规划要求,所修建的直角三角形花坛的面积是30平方米,则直角三角形的两条直角边的长各为多少
4、米? 图1-5-67.如图1-5-7,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,左右两个抛物线形是全等的.正常水位时,大孔水面的宽度为20 m,顶点距水面6 m,小孔顶点距水面4.5 m.当水位上涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度为()A.8 m B.9 m C.10 m D.11 m8.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形,a的值不可能为()A.20 B.40 C.100 D.120 图1-5-7 图1-5-89.如图1-5-8的一座拱桥,当水面宽AB为12 m时,桥洞顶部离水面4 m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系.若选取点A为坐标原点时的抛物线的
5、表达式是y=-19(x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线的表达式是.10.如图1-5-9,在ABC中,B=90,AB=12 cm,BC=24 cm,动点P从点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B开始沿BC边以4 cm/s的速度向点C运动,动点P,Q分别从点A,B同时出发.(1)写出PBQ的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围;(2)当t为何值时,PBQ的面积S最大,最大面积是多少? 图1-5-911.如图1-5-10,隧道的截面由抛物线和矩形的一部分构成,矩形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以
6、用y=-16x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为172 m.(1)求该抛物线的表达式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;(2)一辆货车装载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)现要在抛物线形拱壁上安装两排灯,使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少米? 图1-5-10教师详解详析1.C2.9 m解析 根据题意,当x=6时,原式=-1462=-9,即水面离桥拱顶部的距离是9 m.3.解:如图所示.由题,知抛物线的顶点坐标为(0,11),B(8,8)
7、,设抛物线的函数表达式为y=ax2+11,将点B(8,8)代入抛物线的函数表达式得a=-364,所以抛物线的函数表达式为y=-364x2+11.4.B5.C6.解:(1)两条直角边所用的篱笆长的和恰好为17米,围成的花坛是直角三角形ABC,其中ACB=90,AC边的长为x米,BC=(17-x)米.又直角三角形ABC的面积为S平方米,S=12ACBC=12x(17-x)=-12x2+172x.(2)当S=30时,-12x2+172x=30,整理,得x2-17x+60=0,解得x1=12,x2=5.直角三角形的两条直角边的长分别为12米和5米.7.C解析 如图,建立如图所示的平面直角坐标系.由题意
8、,得点M的坐标为(0,6),点A的坐标为(-10,0),点B的坐标为(10,0).设中间大抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,代入三点的坐标得c=6,100a-10b+c=0,100a+10b+c=0,解得a=-350,b=0,c=6,中间大抛物线的表达式为y=-350x2+6.NC=4.5 m,令y=4.5,代入表达式得x1=5,x2=-5,EF=5-(-5)=10(m).故选C.8.D解析 设围成的长方形的长为x cm,则由题意,得a=x20-x=-x2+20x.-1100,a的值不可能为120.故选D.9.y=-19(x+6)2+4解析 平面直角坐标系原以点A为坐标原点,现以点B为坐标原点,相当于平面直角坐标系不动,抛物线向左平移12个单位,运用抛物线的左右平移规律,可得y=-19(x+6)2+4.10.解:由题意得AP=2t cm,BQ=4t cm,BP=(12-2t) cm.(1)S=12BPBQ=12(12-2t)4t=-4t2+24t(0t6,这辆货车能安全通过.(3)当y=8时,-16x2+2x+4=8,即x2-12x+24=0,x1+x2=12,x1x2=24,两排灯的水平距离最小是|x1-x2|=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=122-424=144-96=43(m).