1、2018-2019 学年湖北省孝感市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项1 （5 分）若 ，则 cos2（ ）A B C D2 （5 分）在ABC 中，A60，B45， ，则 BC（ ）A B C D3 （5 分）cos80cos20sin （80）sin160的值是（ ）A B C D4 （5 分）下列命题正确的是（ ）A如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行B若一条直线平行于两个相交平面，则这条
2、直线与这两个平面的交线平行C垂直于同一条直线的两条直线相互垂直D若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行5 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 aacosB+bcosA，则ABC 的形状为（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形6 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为（ ）A B C D7 （5 分）在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（
3、 ）A B C D8 （5 分）如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 50m，则河流的宽度 BC 等于（ ）第 2 页（共 19 页）A B C D9 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长，若 c2（ab） 2+4，则ABC 的面积是（ ）A B3 C D10 （5 分）已知某圆柱的底面周长为 12，高为 2，矩形 ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从 A 到 C 的路径中，最短路径的长度为（ ）A B C3 D211 （5 分） 九章算术是我
4、国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为 3，则可估算出米堆的体积约为（ ）A9 立方尺 B18 立方尺 C36 立方尺 D72 立方尺12 （5 分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM 与 ED 平行 CN 与 BE 是异面直线CN 与 BM 成 60角 DM 与 BN 是异面直线以上四个命题
5、中，正确命题的个数是（ ）第 3 页（共 19 页）A1 B2 C3 D4二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、写不清、模棱两可均不得分13 （5 分）已知球 O 的表面积为 8，则球 O 的体积为 14 （5 分）已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则这个圆锥的表面积等于 15 （5 分）已知 ，则 的值是 16 （5 分）已知 a，bR，且 a2b+80，则 的最小值为 三、解答题：本大题共 6 小题，满分
6、70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）已知 ，（1）求 tan的值；（2）求 sin2的值18 （12 分）如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC， ，AD3，ABD 的面积为 （1）求 sinBAC 的值；（2）求 BD 的长19 （12 分）在四面体 ABCD 中，E，H 分别是线段 AB，AD 的中点，F，G 分别是线段CB，CD 上的点，且 求证：（1）四边形 EFGH 是梯形；第 4 页（共 19 页）（2）AC，EF， GH 三条直线相交于同一点20 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D、P 分别是棱 AB，A 1B
7、1 的中点，求证：（1）AC 1平面 B1CD；（2）平面 APC1平面 B1CD21 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知（1）求角 B 的大小；（2）若 b4，求ABC 面积的最大值22 （12 分）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效通过办沼气带来的农村“厕所革命” ，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果为了积极响应国家推行的“厕所革命” ，某农户准备建造一个深为 2 米，容积为 32 立方米的
8、长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，沼气池盖子的造价为3000 元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？第 5 页（共 19 页）2018-2019 学年湖北省孝感市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项1 （5 分）若 ，则 cos2（ ）A B C D【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得 cos2的值【解答】解：若 sin ，即 sin ，则 cos212sin
9、212 ，故选：B【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题2 （5 分）在ABC 中，A60，B45， ，则 BC（ ）A B C D【分析】由已知利用正弦定理即可解得 BC 的值【解答】解：ABC 中，A60，B45， ，由正弦定理 ，可得： ，解得：BC3 故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题3 （5 分）cos80cos20sin （80）sin160的值是（ ）A B C D【分析】直接利用三角函数的角的变换的应用求出结果【解答】解：cos80cos20sin （80）sin160
10、，cos80cos20+sin （80）sin20 ，cos60， ，第 6 页（共 19 页）故选：A【点评】本题考查的知识要点：三角函数的角的变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型4 （5 分）下列命题正确的是（ ）A如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行B若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C垂直于同一条直线的两条直线相互垂直D若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行【分析】在 A 中，另一条也与这个平面平行或者包含于这个平面；在 B 中，利用线面平行的判定定理和性质定理可判断 B 正确；在
11、C 中，垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面；在 D 中，这两条直线相交、平行或异面【解答】解：在 A 中，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或者包含于这个平面，故 A 错误；在 B 中，设平面 a，l ，l ，由线面平行的性质定理，在平面 内存在直线bl，在平面 内存在直线 cl，所以由平行公理知 bc ，从而由线面平行的判定定理可证明 b，进而由线面平行的性质定理证明得 ba，从而 la，故 B 正确；在 C 中，垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故 C 错误；在 D 中，若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故D
12、 错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题5 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 aacosB+bcosA，则ABC 的形状为（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形【分析】由余弦定理化简已知等式可求 ac，即可得解三角形的形状【解答】解：aacosB+bcosA，第 7 页（共 19 页）由余弦定理可得：aa +b ，整理可得：2ac2c 2，ac，则ABC 的形状为等腰三角形故选：D【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦
13、定理是解题的关键，属于基础题6 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】连结 BE，则 CDAB，从而BAE 是异面直线 AE 与 CD 所成角（或所成角的补角） ，由此能求出异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值【解答】解：连结 BE，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，CDAB ，BAE 是异面直线 AE 与 CD 所成角（或所成角的补角） ，设正方体 ABCDA 1B1C1D1 中棱长为 2，则 AB2，BE ，AB BE，AE 3，
14、异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为：cosBAE 故异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为 故选：C第 8 页（共 19 页）【点评】本题考查异面直线所成角余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7 （5 分）在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（ ）A B C D【分析】剩下的几何体的体积，就是正方体的体积求得 8 个正三棱锥的体积，求出体积差即可【解答】解：由题意几何体的体积，就是正方体的体积求得 8 个正三棱锥的体积，
15、故选：D【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查转化思想，计算能力，是基础题8 （5 分）如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 50m，则河流的宽度 BC 等于（ ）A B C D【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出 15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到 DC 和 DB 的长度，作差后可得答案【解答】解：如图，DAB15，tan15tan（4530） 2 在 Rt ADB 中，又 AD50，DBAD tan1550（ 2 ）10050 在 Rt ADC 中， DAC60 ，AD50，DCADtan60 50 BC
16、DCDB50 （10050 ）100（ 1） （m） 河流的宽度 BC 等于 100（ 1）m第 9 页（共 19 页）故选：A【点评】本题给出实际应用问题，求河流在 B、C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题9 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长，若 c2（ab） 2+4，则ABC 的面积是（ ）A B3 C D【分析】由已知利用余弦定理可求 ab 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：c 2（ab） 2+4a 2+b22ab+4， ，又由余弦定理可得：c 2a 2+b2ab，42abab，
17、解得：ab4，S ABC absinC 故选：C【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题10 （5 分）已知某圆柱的底面周长为 12，高为 2，矩形 ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从 A 到 C 的路径中，最短路径的长度为（ ）A B C3 D2【分析】由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解【解答】解：圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为 12，宽为 2，第 10 页（共 19 页）则在此圆柱侧面上从 A 到 C 的最短路径为线段 AC，AC 故选：A【点评】本题
18、考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题11 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为 3，则可估算出米堆的体积约为（ ）A9 立方尺 B18 立方尺 C36 立方尺 D72 立方尺【分析】利用弧长公式求得底面半径，代入体积公式即可得解【解答】解：设圆锥底面半径为 r，由题意 ，得 r ， 35.6故选：C【点评】此题考查了圆锥体积求法
19、，难度不大12 （5 分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM 与 ED 平行 CN 与 BE 是异面直线CN 与 BM 成 60角 DM 与 BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）第 11 页（共 19 页）A1 B2 C3 D4【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案【解答】解：把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与 ED 异面且垂直，故 错误；CN 与 BE 平行，故错误；连接 BE，则 BECN ，EBM 为
20、 CN 与 BM 所成角，连接 EM，可知BEM 为正三角形，则EBM 60，故正确；由异面直线的定义可知，DM 与 BN 是异面直线，故正确正确命题的个数是 2 个故选：B【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、写不清、模棱两可均不得分13 （5 分）已知球 O 的表面积为 8，则球 O 的体积为 【分析】由球的表面积公式求得球的半径，代入球的体积公式得答案【解答】解：设球 O 的半径为 R，由题意，4R 28 ，得 R 第 12 页（共 1
21、9 页）球 O 的体积为 故答案为： 【点评】本题考查球的表面积与体积，是基础的计算题14 （5 分）已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则这个圆锥的表面积等于 3 【分析】根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果【解答】解：圆锥的轴截面是正三角形 ABC，边长等于 2圆锥的高 AO ，底面半径 r 21这个圆锥的表面积：Srl+r 212+ 123故答案为：3【点评】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15 （5 分）已知 ，则 的值是
22、 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果【解答】解：由于 ，整理得： ，即： ，则： ，则： 第 13 页（共 19 页）故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题16 （5 分）已知 a，bR，且 a2b+80，则 的最小值为 【分析】由基本不等式可得， ，结合已知即可求解【解答】解：a2b+80，则 2 当且仅当 a2b 即 b2，a4 时取等号，故答案为： 【点评】本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中 的应用，属于基
23、础试题三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）已知 ，（1）求 tan的值；（2）求 sin2的值【分析】直接利用三角函数的关系式的变换的应用求出结果（2）利用诱导公式的应用求出结果【解答】解：（1） ， ，解得 （2） ，又由（1）知 ，第 14 页（共 19 页）所以 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18 （12 分）如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC， ，AD3，ABD 的面积为 （1）求 sinBAC 的值；
24、（2）求 BD 的长【分析】 （1）由已知利用三角形的面积公式可求 ，又BAD 为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求 ，利用诱导公式可求 sinBAC 的值（2）根据余弦定理即可得解 BD 的值【解答】解：（1）ABD 的面积为解得 ，又易知BAD 为锐角，所以 ，所以 （2）根据余弦定理可得：cosBAD ， ，解得 BD 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题19 （12 分）在四面体 ABCD 中，E，H 分别是线段 AB，AD 的中点，F，G 分别是线段第 15 页（共 1
25、9 页）CB，CD 上的点，且 求证：（1）四边形 EFGH 是梯形；（2）AC，EF， GH 三条直线相交于同一点【分析】 （1）连结 BD，推导出 EHBD，FG BD，由此能证明四边形 EFGH 是梯形（2）设 EFHGK，则 KABC 平面，KACD 平面，由平面 ABCACD 平面AC，得 KAC，由此能证明 AC，EF，GH 三条直线相交于同一点【解答】证明：（1）连结 BD，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，EHBD ，且 ，又 ，FGBD ，且 ，因此 EHFG 且 EHFG故四边形 EFGH 是梯形（2）由（1）知 EF，HG 相交，设 EFHGKKEF，EFABC 平面
26、，K ABC 平面，同理 KACD 平面，又平面 ABCACD 平面AC，KAC ，故 EF 和 GH 的交点在直线 AC 上所以 AC，EF， GH 三条直线相交于同一点第 16 页（共 19 页）【点评】本题考查对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题20 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D、P 分别是棱 AB，A 1B1 的中点，求证：（1）AC 1平面 B1CD；（2）平面 APC1平面 B1CD【分析】 （1）设 BC1 与 B1C 的交点为 O，连结 OD，证明 ODAC 1，再由线面平行的判定可得
27、 AC1平面 B1CD；（2）由 P 为线段 A1B1 的中点，点 D 是 AB 的中点，证得四边形 ADB1P 为平行四边形，得到 APDB 1，进一步得到 AP平面 B1CD再由 AC1平面 B1CD，结合面面平行的判定可得平面 APC1平面 B1CD【解答】证明：（1）设 BC1 与 B1C 的交点为 O，连结 OD，四边形 BCC1B1 为平行四边形， O 为 B1C 中点，第 17 页（共 19 页）又 D 是 AB 的中点， OD 是三角形 ABC1 的中位线，则 ODAC 1，又AC 1平面 B1CD，OD平面 B1CD，AC 1平面 B1CD；（2）P 为线段 A1B1 的中点
28、，点 D 是 AB 的中点，ADB 1P 且 ADB 1P，则四边形 ADB1P 为平行四边形，APDB 1，又AP 平面 B1CD，DB 1平面 B1CD，AP平面 B1CD又 AC1平面 B1CD，AC 1APP，且 AC1平面 APC1，AP平面 APC1，平面 APC1平面 B1CD【点评】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题21 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知（1）求角 B 的大小；（2）若 b4，求ABC 面积的最大值【分析】 （1）在ABC 中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可
29、得，结合范围 B（0，） ，可得 B 的值（2）由余弦定理，基本不等式可得 ac16，利用三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：（1）在ABC 中，由正弦定理 ，可得 bsinAasin B，又由 ，得 ，第 18 页（共 19 页）即 ，即 ，所以 ，可得 ，又因为 B（0，） ，可得 （2）由余弦定理得： ，即 a2+c216+ac，由不等式得：a 2+c22ac ，当且仅当 ac 时，取等号，所以 16+ac2ac ，解得 ac 16，所以ABC 的面积为 ，所以ABC 面积的最大值为 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三
30、角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题22 （12 分）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效通过办沼气带来的农村“厕所革命” ，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果为了积极响应国家推行的“厕所革命” ，某农户准备建造一个深为 2 米，容积为 32 立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，沼气池盖子的造价为3000 元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？【分
31、析】设沼气池的底面长为 x 米，沼气池的总造价为 y 元，依题意有 ，利用基本不等式即可求解【解答】解：设沼气池的底面长为 x 米，沼气池的总造价为 y 元，因为沼气池的深为 2 米，容积为 32 立方米，所以底面积为 16 平方米，因为底面长为 x 米，所以底面的宽为 ，依题意有 ，因为 x0，由基本不等式和不等式的性质可得第 19 页（共 19 页），即 ，所以 y9240，当且仅当 ，即 x4 时，等号成立，所以当沼气池的底面是边长为 4 米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240 元【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值在实际问题中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出具体函数解析式