1、2018-2019 学年吉林省吉林市舒兰市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每题只有一个选项是最符合题意的1 （5 分）角 60+k 180（k Z）的终边落在（ ）A第四象限 B第一、二象限C第一象限 D第二、四象限2 （5 分）已知 sin ，则 cos（2 ）（ ）A B C D3 （5 分）在四边形 ABCD 中， ， 4 ， 5 ，那么四边形 ABCD 的形状是（ ）A矩形 B平行四边形 C梯形 D以上都不对4 （5 分）已知 tan ，则 的值为（ ）A B C4 D5 （5 分）已知
2、向量 （1，） ， （1，0） ， （8，4） 若 为实数， （ ），则 （ ）A2 B2 C5 D86 （5 分）要得到函数 ycos（2x2）的图象，只要将函数 ysin2 x 的图象（ ）A.向左平移个单位 B向右平移 1 个单位C向左平移 1 个单位 D向右平移 1 个单位7 （5 分）设非零向量 与 的夹角是 ，且| | |，则 的最小值为（ ）A B C D18 （5 分）已知函数 f（x ）2xsin（x ） ， （ ）是奇函数，则 的值为（ ）A B C D第 2 页（共 19 页）9 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（3x
3、+ ） （02） ，若（ ）是 f（x ）的一个单调递增区间，则 的值为（ ）A B C D10 （5 分）已知ABC 为等边三角形，AB2设点 P，Q 满足 ， （1） ，R 若 6，则 等于（ ）A1 B2 C1 或 2 D1 或211 （5 分）角 A，B，C 是ABC 三内角，且满足 sinCsinA AcosC，则 sinA+sinB的最大值是（ ）A2 B C D12 （5 分）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 若平面向量 ，满足| | |0， 与 的夹角 （0， ） ，且 和 都在集合 |nZ中，则（ ）A1， ， B1， ，
4、C2， ， D ， ，二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）定义域在 R 上的函数 f（x）既是奇函数又是周期函数，若 f（x）的最小正周期是 ，且当 x0， 时，f （x）4sin2x ，则 f（ ）的值为 14 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB ，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在直线CD 上若 2，则 的值为 15 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （cos ，sin） ， （cos ，sin ） ，且满足| | 则A &
5、nbsp; 第 3 页（共 19 页）16 （5 分）设 为第四象限的角，若 ，则 cos2sin2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）设两向量 ， 满足| | ，| |2， ， 的夹角为 45若向量2t 与向量 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围18 （12 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 （2，1） ，A（1，0） ，B（cos ，t） （1）若 ，且| | | |，求向量 的坐标；（2）若 ，求 ycos 2cos+t 2 的最小值19 （12 分）已知函数 f（x ）sin
6、（2x+ ）+sin（2x ）+2cos 2x1，x R（1）求函数 f（x ）的最小正周期；（2）求函数 f（x ）在区间 上的最大值和最小值20 （12 分）已知 A，B，C 的坐标分别为 A（3，0） ，B（0，3） ，C（cos ，sin ） ，（0，2） （1）若 ，求角 的值；（2）若 0，求 的值21 （12 分）函数 f（x ）2sin（x+） （0， ）的部分图象如图所示（1）求 f（x）的解析式（2）若不等式|f（x）m|3，对任意 x 恒成立，求实数 m 的取值范围22 （12 分）已知函数 f（x ）（a+2cos 2x）cos（2x+）为奇函数，且 f（ ）0，其中a
7、R， （0， ） （1）求 a， 的值；第 4 页（共 19 页）（2）若 f（ ） ，（ ， ） ，求 sin（ + ）的值第 5 页（共 19 页）2018-2019 学年吉林省吉林市舒兰市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每题只有一个选项是最符合题意的1 （5 分）角 60+k 180（k Z）的终边落在（ ）A第四象限 B第一、二象限C第一象限 D第二、四象限【分析】根据题意，只要令 k0 和 k1，可得 所在象限【解答】解：令 k0，60，在第四象限；再令 k1，60+180120，在第二象限，故选：D【
8、点评】本题考查了象限角的问题根据终边相同角的关系是解决本题的关键2 （5 分）已知 sin ，则 cos（2 ）（ ）A B C D【分析】直接利用诱导公式和倍角公式 cos（2） cos22sin 21，即可求解【解答】解：由 sin ，得 cos（2）cos22sin 21 ，故选：A【点评】本题考查：诱导公式和倍角公式主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型3 （5 分）在四边形 ABCD 中， ， 4 ， 5 ，那么四边形 ABCD 的形状是（ ）A矩形 B平行四边形 C梯形 D以上都不对【分析】由 + + 8 6 ，可得 2 即可得出结论【解答】解： +
9、 + 8 6 ， 2 ADBC，且 ABCD ，第 6 页（共 19 页）四边形 ABCD 是梯形故选：C【点评】本题考查了向量的线性运算、梯形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4 （5 分）已知 tan ，则 的值为（ ）A B C4 D【分析】化简 ，再利用切化弦的方法求解即可【解答】解：由于：tan ，所以： ，故选：D【点评】本题考查三角函数切化弦的求值问题，难点在于分母要化成弦的 2 次式的形态主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型5 （5 分）已知向量 （1，） ， （1，0） ， （8，4） 若 为实数， （ ），则 （ ）A2 B2 C
10、5 D8【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 【解答】解： ； ； ；8故选：D【点评】考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算6 （5 分）要得到函数 ycos（2x2）的图象，只要将函数 ysin2 x 的图象（ ）A.向左平移个单位 B向右平移 1 个单位第 7 页（共 19 页）C向左平移 1 个单位 D向右平移 1 个单位【分析】由题意利用诱导公式，函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数 ysin2 xcos （ 2x ）cos （2x ）cos2（x ）的图象向右平移 1 个单位，可得 ycos
11、2 （x1+ ）cos（2x2）的图象，可得，故选：B【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数图象的平移问题，难点在于平移时要一步一步进行平移，属于基础题7 （5 分）设非零向量 与 的夹角是 ，且| | |，则 的最小值为（ ）A B C D1【分析】对| | |两边平方化简得出 | | |，计算 的平方，得到只含 t的二次函数，然后利用二次函数的特性来求出最值【解答】解：| | |， + +2 ，即 2 2| | |cos| | |，| | | | | | |2，（ ） 2 （t1） 2+ ，当 t1 时， 取得最小值 故选：B【点评】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于
12、把 的化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值第 8 页（共 19 页）8 （5 分）已知函数 f（x ）2xsin（x ） ， （ ）是奇函数，则 的值为（ ）A B C D【分析】利用奇函数的特性构造等式关系，为方便计算可对 x 取特殊值，最后根据 的范围即可求出答案【解答】解：f（x ）为奇函数，可对 x ，则有：， ，由于：f（ ）f（ ） ，所以： ，化简得 解得：故选：B【点评】本题考查三角函数的奇偶性问题，解题关键点在于利用函数的奇偶性构造等式进行运算，为方便运算，可对 x 选择方便运算的值进行求解9 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（3x+ ） （02
13、） ，若（ ）是 f（x ）的一个单调递增区间，则 的值为（ ）A B C D【分析】利用函数的单调性，先求出 3x+ 的范围，然后再把这个范围放到正弦函数的单调增区间内，即可求解【解答】解：当 x（ ）时， ，（ ）是 f（x ）的一个单调递增区间， （kZ） ， （kZ） ，第 9 页（共 19 页）02 ，（2k 1），k Z，故选：D【点评】本题考查正弦函数的单调性问题，解题关键点在于求出 3x+ 的范围，属基础题10 （5 分）已知ABC 为等边三角形，AB2设点 P，Q 满足 ， （1） ，R 若 6，则 等于（ ）A1 B2 C1 或 2 D1 或2【分析
14、】建立坐标系，用 表示出各点坐标，根据 6 列方程解出 的值【解答】解：以 BC 为 x 轴，以 BC 边上的高为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A（0， ） ，B（1，0） ，C （1，0） ， （1， ） ， （1， ） ，故 （， ） ， （1， ） ，P（ ， ） ，Q（1 ， ） ， （2， ） ， （ 1， ） ， （2） （1）+ （ ） 2 2+226，解得 1 或 2故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算，建系转化为坐标运算是常用方法，属于中档题11 （5 分）角 A，B，C 是ABC 三内角，且满足 sinCsinA AcosC，则 sinA+sinB的最大值是（ &
15、nbsp;）A2 B C D【分析】先求出C ，利用 ，得出第 10 页（共 19 页），进而利用合一定理即可求出 sinA+sinB 的最大值【解答】解：角 A，B，C 是ABC 三内角，且满足 sinCsinA AcosC，由于：sinA0，则： ，解得：C， ，故选：B【点评】本题考查三角函数的恒等变换问题，解题关键点在于利用合一定理即可求出sinA+sinB 的最大值主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型12 （5 分）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 若平面向量 ，满足| | |0， 与 的夹角 （0， ） ，且 和 都在集合 |nZ中，则（ ）A1， ， B
16、1， ， C2， ， D ， ，【分析】 |nZ，同理可得 |nZ可设 mz，tz， ， ，得 cos2 ，对 m，t 进行赋值即可得出： mt9，进而得出结论【解答】解： |nZ， |nZ又由| | | 0，可设 mz，t z，第 11 页（共 19 页）则 ， ，得 cos2 ，对 m，t 进行赋值即可得出： mt9，mt7，或 mt8，可对 m 取 4，7，8 三个值即可求出 的值为： ， ， 故选：D【点评】本题考查了向量数量积新定义迁移题目及其应用、集合性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）定义域在 R
17、上的函数 f（x）既是奇函数又是周期函数，若 f（x）的最小正周期是 ，且当 x0， 时，f （x）4sin2x ，则 f（ ）的值为 2 【分析】根据条件可得出 ，然后根据 x0， 时，f（x）4sin2x 即可求出 ，从而得出 的值【解答】解：f（x ）是定义在 R 上的奇函数，周期为 ，且 时，f（x）4sin2x； 故答案为： 【点评】考查奇函数和周期函数的定义，以及已知函数求值的方法14 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB ，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在直线CD 上若 2，则 的值为 2 第 12 页（共 19 页）【分析】建立平面坐标系，根据
18、2 得出 F 的坐标，再计算 的值【解答】解：以 A 为原地，以 AB，AD 为轴建立平面直角坐标系，则 A（0，0） ，B （，0） ，E（ ，1） ，设 F（m，2） ，则 （ ，0） ， （m ，2） ， （ ，1） ，（m ，2） ， m2，故 m ， （m ）+24+22故答案为：2【点评】本题考查向量的线性运算和四则运算，解题关键点在于通过向量的线性运算转化为合适的向量，再进行求解运算15 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （cos ，sin） ， （cos ，sin ） ，且满足| | 则A 【分析】对式子| |
19、两边平方，化简可得 cosA ，从而得出 A 的大小【解答】解：由| | 得， + +2 3，即 1+1+2（cos cos +sin sin ）3，cos cos +sin sin ，即 cosA ，0A，A 故答案为： 【点评】本题考查向量的模与三角函数问题，属于综合题，解题的关键在于对向量的模进行转化运算16 （5 分）设 为第四象限的角，若 ，则 cos2sin2 第 13 页（共 19 页）【分析】化简 ，化简得，进而求出 cos2，再判断 2 的所在的象限，求出 sin2，即可得到答案【解答】解： ，1+2cos 22sin 2，1+2cos2， ，所以：
20、 ，由于 为第四象限的角，所以：4k+324k +4（k Z） ，所以：答案： 【点评】本题考查三角函数的倍角公式和象限角问题，使用倍角公式求值，再利用诱导公式求解即可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）设两向量 ， 满足| | ，| |2， ， 的夹角为 45若向量2t 与向量 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围【分析】用 t 表示出向量 2t 与向量 的数量积，令其小于零解得 t 的范围，再排除掉两向量方向相反时对应的 t 的值即可【解答】解：由已知得： 22， 24， 2，（2t ）（ ）2t +（2t 2+6） +6t
21、24t 2+28t+12令 4t2+28t+120，解得： t ，设 2t +6 （ +t ） （0） （ 0） ， ，第 14 页（共 19 页）解得 t ，2 ，此时，向量 2t 与向量 的夹角为 当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是（ ， ）（ ， ） 【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，属于中档题18 （12 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 （2，1） ，A（1，0） ，B（cos ，t） （1）若 ，且| | | |，求向量 的坐标；（2）若 ，求 ycos 2cos+t 2 的最小值【分析】 （1）利用向量共线定理、模的计算公式即可得出；（2）利用向量共线
22、定理、二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1） （cos1，t） ，且| | | |， ，化为 cos0，t （2） ，cos12t0cos1+2t 1，1，解得 t1，0ycos 2cos +t2（1+2t ） 2（1+2 t）+t 25t 2+2t ，t1，0 ，当 t 时，y 取得最小值 【点评】本题考查了向量共线定理、模的计算公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题19 （12 分）已知函数 f（x ）sin（2x+ ）+sin（2x ）+2cos 2x1，x R（1）求函数 f（x ）的最小正周期；（2）求函数 f（x ）在区间 上的最大值和最小值【分析】 （1）利用正弦
23、函数的两角和与差的公式与辅助角公式将 f（x）sin（2x+ ）第 15 页（共 19 页）+sin（2x ）+2cos 2x1 化为 f（x） sin（2x+ ） ，即可求得函数 f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数 f（x ）在区间 上是增函数，在区间 ， 上是减函数，从而可求得 f（x ）在区间 上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x ）sin2x cos +cos2xsin +sin2xcos cos2 xsin +cos2xsin2x +cos2x sin（2x+ ） ，函数 f（x）的最小正周期 T （2）函数 f（x ）在区间 上是增函数，在区间 ， 上是减函数，又 f
24、（ ）1，f（ ） ，f（ ）1，函数 f（x）在区间 上的最大值为 ，最小值为 1【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得 f（x ） sin（2x+ ）是关键，属于中档题20 （12 分）已知 A，B，C 的坐标分别为 A（3，0） ，B（0，3） ，C（cos ，sin ） ，（0，2） （1）若 ，求角 的值；（2）若 0，求 的值【分析】 （1）由已知求出 的坐标，再由 列式求角 的值；（2）由 0，可得 sin+cos ，结合 的范围分别求得 sin，cos 的值，则的值可求【解答】解：（1） （cos
25、3，sin ） ， （cos ，sin3） | | ，第 16 页（共 19 页）| | ，| | | |，sin cos，又 （0，2） ， 或 ；（2）由 0，知：（cos3）cos+（sin3）sin 0sin+cos ，2sincos ，又 （0，2） ，（ ， ）或 （ ，2） 若 （ ， ） ，则sincos 联立 ，解得 sin ，cos ，tan ；若 （ ，2） ，则 sincos 联立 ，解得 sin ，cos ，tan 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其应用，考查计算能力，属中档题21 （12 分）函数 f（x ）2sin（x+） （0， ）的部分图象如图所示第 1
26、7 页（共 19 页）（1）求 f（x）的解析式（2）若不等式|f（x）m|3，对任意 x 恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）利用 ，再用 ，求出 即可；（2）由 ，得 ，转化成|f （x ）m| 3 等价于 ，最后求出 m 的取值范围【解答】解：（1）因为 ，所以 2，又因为 （k Z） ，且 ，所以 ，故 f（x） （2）由（1）知 ，当 时， ，所以： ，即：1 ，又对任意 ，函数|f （x）m|3 等价于 恒成立，第 18 页（共 19 页）即 ，故 m 的取值范围是（ ） 【点评】本题属于三角函数的综合题，考查了三角函数的周期性和已知定义域，求三角函数的值域等问题，难点在
27、于对绝对值要进行分段处理和化简22 （12 分）已知函数 f（x ）（a+2cos 2x）cos（2x+）为奇函数，且 f（ ）0，其中aR， （0， ） （1）求 a， 的值；（2）若 f（ ） ，（ ， ） ，求 sin（ + ）的值【分析】 （1）把 x 代入函数解析式可求得 a 的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）0，进而求得 cos，则 的值可得（2）利用 f（ ） 和函数的解析式可求得 sin ，进而求得 cos ，进而利用二倍角公式分别求得 sin，cos ，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案【解答】解：（1）f（ ） （a+1）sin 0，（0，） sin 0，a+10，即 a1f（x）为奇函数，f（0）（a+2）cos 0，cos0， （2）由（1）知 f（x ）（1+2cos 2x）cos（2x+ ）cos2 x（sin2 x），f（ ） sin ，sin ，（ ，） ，cos ，第 19 页（共 19 页）sin（ + ） sincos +cossin 【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题综合运用了所学知识解决问题的能力