1、2018-2019 学年福建省三明市三地三校高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上1 （3 分）按数列的排列规律猜想数列中的项，数列 2，3，5，8，13，x，34，55，则 x的值是（ ）A19 B20 C21 D222 （3 分）数列a n中， ，a 11，则 a4（ ）A B C D3 （3 分）下列平面图形中，通过围绕定直线 l 旋转可得到下图所示几何体的是（ ）A B C D4 （3 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
2、a1，b ，B45，则角 A（ ）A30 B60 C30或 150 D60或 1205 （3 分）已知 a，b，c，dR，则下列不等式中恒成立的是（ ）A若 ab，cd，则 acbd B若 ab，则 ac2bc 2C若 ab0，则（ab） c0 D若 ab ，则 ac bc6 （3 分）已知等比数列a n中，a 3a1320，a 64，则 a10 的值是（ ）A16 B14 C6 D57 （3 分）在ABC 中，若 asinA+bsinBc sinC，则ABC 是（ ）A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D都有可能8 （3 分）一个正方体的表面积和它的外接球的表面积之比是（ ）A B C
3、 D9 （3 分）等差数列a n中其前 n 项和为 Sn，S 512，S 1048，则 S15 为（ ）A84 B108 C144 D156第 2 页（共 16 页）10 （3 分）设 a0，b0，若 是 3a 和 3b 的等比中项，则 的最小值为（ ）A6 B C8 D911 （3 分）已知数列a n的前项和为 Sn，满足 2Sn3a n 1，则通项公式 an 等于（ ）A B C D12 （3 分）不等式 x22x +5a 23a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A1，4 B （，25 ，+ ）C （，14，+） D2，5二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分
4、，共 12 分在答题卷相应题目的答题区域内作答13 （3 分）在ABC 中，a7，c3，A60，则 b 14 （3 分）一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为 5cm，4cm ，则该棱柱的侧面积为 cm 215 （3 分）在明朝程大位算术统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯” 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有 盏灯16 （3 分）给出下列语句：若 a， b 为正实数， ab，则 a3+b3a 2b
5、+ab2；若 a， b，m 为正实数，ab，则若 ，则 ab；当 x（0， ）时，sin x+ 的最小值为 2 ，其中结论正确的是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤在答题卷相应题目的答题区域内作答17 （8 分）已知数列a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a24，S 420（1）求数列a n的通项；（2）若 Sn72，求 n 的值18 （8 分）据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上第 3 页（共 16 页）刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心
6、，圆锥的底面是圆柱的下底面（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；（2）假设球半径 r10cm 试计算出图案中圆锥的体积和表面积19 （8 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c已知ABC 面积，（1）若 c2，求 b 的值；（2）若 ，求 a 的值20 （8 分）已知函数 f（x ）x 22x8（1）解不等式 f（x ）0；（2）若对一切 x0，不等式 f（x）mx9 恒成立，求实数 m 的取值范围21 （10 分）如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两点均不可到达，测量者在河岸边选定两点 C，D，测得 ，同时在 C，D 两点分别测得ACB 45，ACD 60 ，BDC
7、 30，ADB30（1）求 B，C 两点间的距离；（2）求 A，B 两点间的距离22 （10 分）已知数列a n满足 a11，a n+12a n+1，nN *（1）求证数列a n+1是等比数列，并求数列a n的通项公式；（2）设 bnlog 2（a 2n+1+1） ，数列 的前 n 项和 Tn，求证： 第 4 页（共 16 页）2018-2019 学年福建省三明市三地三校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上1 （3 分）按数列的排列规律猜
8、想数列中的项，数列 2，3，5，8，13，x，34，55，则 x的值是（ ）A19 B20 C21 D22【分析】由数列 2，3，5，8，13，x，34，55，可得规律是：2+35，3+58，8+13 x ，13+ x34，即可得出【解答】解：由数列 2，3，5，8，13，x，34，55，可得规律是：2+35，3+5 8，8+13 21x ，13+ x34，则 x21故选：C【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2 （3 分）数列a n中， ，a 11，则 a4（ ）A B C D【分析】把 n2，3，4 分别代入到已知递推关系中即可求解【解答】解： ，
9、a 11，a 2 ， ， ，故选：B【点评】本题主要考查了利用递推关系求解数列的项，属于基础试题3 （3 分）下列平面图形中，通过围绕定直线 l 旋转可得到下图所示几何体的是（ ）第 5 页（共 16 页）A B C D【分析】几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成的，由旋转体的性质能求出结果【解答】解：几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成的，由旋转体的性质得选项 B 中梯形绕下底旋转，形成的几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成，故选：B【点评】本题考查旋转体的性质的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想4 （3 分）在ABC 中，角 A，B
10、，C 的对边分别为 a，b，c，若 a1，b ，B45，则角 A（ ）A30 B60 C30或 150 D60或 120【分析】由正弦定理可解得 sinA ，利用大边对大角可得范围 A（0，45），从而解得 A 的值【解答】解：a1，b ，B45，由正弦定理可得：sinA ，a1b ，由大边对大角可得：A（0，45） ，解得：A30故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围5 （3 分）已知 a，b，c，dR，则下列不等式中恒成立的是（ ）A若 ab，cd，则 acbd B若 ab，则 ac2bc 2C若 ab0，则（ab）
11、c0 D若 ab ，则 ac bc【分析】根据不等式的性质逐一判断即可【解答】解：A当 b0，c0 时不成立，故 A 错；第 6 页（共 16 页）B当 c0 时不成立，故 B 错；C当 c0 时不成立，故 C 错；D不等式两边同时加一个数不等号方向不变，故 D 正确故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题6 （3 分）已知等比数列a n中，a 3a1320，a 64，则 a10 的值是（ ）A16 B14 C6 D5【分析】由等比数列的性质可知 a3a13a 6a10，代入即可求解【解答】解：等比数列a n中，a 3a1320，a 64，由等比数列的性质可知，a 3a13a 6a
12、1020a105故选：D【点评】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题7 （3 分）在ABC 中，若 asinA+bsinBc sinC，则ABC 是（ ）A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D都有可能【分析】利用正弦定理和余弦定理即可得出【解答】解：由正弦定理可得 0，sinA ，sinB ，sinC asinA+bsin BcsinC， + ，即 a2+b2c 2cosC 00C ， C 角 C 设钝角ABC 的形状是钝角三角形故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基本知识的考查8 （3 分）一个
13、正方体的表面积和它的外接球的表面积之比是（ ）第 7 页（共 16 页）A B C D【分析】设正方体的棱长为 a，正方体外接球的半径为 R，由正方体的体对角线长就是外接球的直径，得到 R 与 a 的关系，分别求出正方体的表面积和它的外接球的表面积，作比得答案【解答】解：设正方体的棱长为 a，正方体外接球的半径为 R，则由正方体的体对角线长就是外接球的直径可知：2R ，即 R 正方体的表面积 ，外接球的表面积为 S 球 4R 23a 2则正方体的表面积与其外接球表面积的比为： 故选：C【点评】本题考查正方体与球的知识，正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的数量关系，是基础题9
14、 （3 分）等差数列a n中其前 n 项和为 Sn，S 512，S 1048，则 S15 为（ ）A84 B108 C144 D156【分析】利用等差数列前 n 项和列出方程组，求得 a1 ，d ，由此能求出 S15【解答】解：等差数列a n中其前 n 项和为 Sn，S 512 ，S 1048， ，解得 a1 ，d ，S 1515a 1+ 15 108故选：B【点评】本题考查等差数列的前 15 项和的求法，考查等差数列的性质性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10 （3 分）设 a0，b0，若 是 3a 和 3b 的等比中项，则 的最小值为（ ）A6 B C8 D9第 8 页（共 16
15、页）【分析】由等比中项的概念得到 a+b1，则 可以看做是 1 乘以 ，把 1 用a+b 替换后利用基本不等式可求 的最小值【解答】解：由 是 3a 和 3b 的等比中项，所以 3a3b3，即 3a+b3，所以 a+b1又 a0，b0，则 故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是对“1”的替换，是基础题11 （3 分）已知数列a n的前项和为 Sn，满足 2Sn3a n 1，则通项公式 an 等于（ ）A B C D【分析】求得数列的首项，再将 n 换为 n1，相减，由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求【解答】解：2S n3a n1，
16、可得 2a12S 13a 11，解得 a11；n2 时，2S n1 3a n1 1，又 2Sn3a n1，两式相减可得 2an3a n3a n1 ，即为 an3a n1 ，则数列a n为首项为 1，公比为 3 的等比数列，可得 an3 n1 ，故选：C【点评】本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查化简运算能力，属于基础题12 （3 分）不等式 x22x +5a 23a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A1，4 B （，25 ，+ ）C （，14，+） D2，5【分析】将问题转化为 a23a4，解出即可第 9 页（共 16 页）【解答】解：令 f（x ）
17、x 22x+5（x1） 2+4，f（x） 最小值 4，若不等式 x22x +5a 23a 对任意实数 x 恒成立，只需 a23a4，解得：1a4，故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了转化思想，是一道基础题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分在答题卷相应题目的答题区域内作答13 （3 分）在ABC 中，a7，c3，A60，则 b 8 【分析】由已知利用余弦定理可得 b23b400，解方程即可得解 b 的值【解答】解：a7，c3，A60，由余弦定理 a2b 2+c22bccosA，可得：49b 2+92 ，可得：b23b400，解得：b8，或5（舍去） 故答案为
18、：8【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题14 （3 分）一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为 5cm，4cm ，则该棱柱的侧面积为 60 cm 2【分析】由已知条件可知，该棱柱为正三棱柱，侧面展开图解析的面积即为其侧面积【解答】解：如图，则该棱柱为正三棱柱，则其侧面积为 41560故答案为：60【点评】本题考查棱柱的结构特征，是基础的计算题15 （3 分）在明朝程大位算术统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯” 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层
19、悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶第 10 页（共 16 页）有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有 6 盏灯【分析】设塔顶有 a1 盏灯，由题意可知每层悬挂的红灯数是以 2 为公比，前 7 项和381，结合等比数列的求和公式即可求解【解答】解：设塔顶有 a1 盏灯，由题意可知每层悬挂的红灯数是以 2 为公比，前 7 项和 381，由等比数列的求和公式可知，381解可得，a 13，a 26故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题16 （3 分）给出下列语句：若 a， b 为正实数， ab，则 a3+b3a 2b+ab2；若 a，
20、 b，m 为正实数，ab，则若 ，则 ab；当 x（0， ）时，sin x+ 的最小值为 2 ，其中结论正确的是 【分析】 ，若 a，bR +，ab，a 3+b3（a 2b+ab2）（ab） 2（a+b）0；，若 a，b， mR+，ab，作差判断即可；不等式中 c0，不等式的两边同乘以 c2，判断结论即可；，当 x（0， ）时，sinx（0.1） ，结合不等式的性质判断即可【解答】解：对于，若 a，b R+，ab，a 3+b3（a 2b+ab2）（ab） 2（a+ b）0，故 a3+b3a 2b+ab2 正确；对于 ，若 a， b，mR +，ab，则 0，则 故错；对于 ，若 ，则 ab，故正
21、确；对于 ，当 x（0， ）时，第 11 页（共 16 页）若 sin x+ 的最小值为 2 ，则 sinx ，显然不成立，故错误，故答案为： 【点评】本题考查了命题的真假判定，涉及到了大量的基础知识，属于基础题三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤在答题卷相应题目的答题区域内作答17 （8 分）已知数列a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a24，S 420（1）求数列a n的通项；（2）若 Sn72，求 n 的值【分析】 （1）设数列a n的公差为 d，由题意可得 ，解出即可得出an（2）利用求和公式即可得出【解答】解：（1）设数列a n
22、的公差为 d，由 ，解得 a n2+2（n1）2n（2）由 ，解得 n8【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （8 分）据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；（2）假设球半径 r10cm 试计算出图案中圆锥的体积和表面积第 12 页（共 16 页）【分析】 （1）设球半径为 r，则圆柱的高为 2r，底面圆半径为 r，由此能求出图案中球与
23、圆柱的体积比（2）球半径 r10cm ，由此能求出圆锥的体积，圆锥的母线长，从而能求出圆锥的表面积【解答】解：（1）设球半径为 r，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面圆柱的高为 2r，底面圆半径为 r，图案中球与圆柱的体积比为：（2）球半径 r10cm ，由题意得， ，圆锥的母线长 ，【点评】本题考查球、圆柱的体积比值的求法，考查圆锥的体积、表面积的求法，考查球、圆柱、圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19 （8 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c已知ABC 面积，（1）若 c2，求 b 的值
24、；（2）若 ，求 a 的值【分析】 （1）由已知利用三角形的面积公式即可求得 b 的值（2）利用三角形的面积公式可求 bc4，结合已知根据余弦定理即可解得 a 的值【解答】解：（1） ，第 13 页（共 16 页）又c2，A 120 ，解得 b2（2） ， ，bc4，又 ，（b+c） 2b 2+2bc+c218，b 2+c210，由余弦定理得 ，解得 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20 （8 分）已知函数 f（x ）x 22x8（1）解不等式 f（x ）0；（2）若对一切 x0，不等式 f（x）mx9 恒成立，求实数
25、 m 的取值范围【分析】 （1）原不等式可化为（x+2） （x4）0，结合二次函数的图象及性质可求；（2）法一：原不等式可化为 x22x+1mx，结合不等式的恒成立与最值的相互转化，结合基本不等式可求；法二：原不等式可化为 x2（2+m ）x+10，令 g（x） x2（2+ m）x+1，结合二次函数的性质可求【解答】解：（1）f（x ）x 22x80 可化为（x+2） （x4）0，所求不等式解集为：（，24 ，+） ；（2）法一：f（x ）mx 9 可化为 x22x8mx9，即 x22x+1mx，又 x0 对任意的 x0 恒成立，又 当且仅当 即 x1 时取等号，第 14 页（共 16 页）m
26、0，m 的取值范围是（，0；法二：f（x） mx 9 可化为 x2（2+m ）x+10，令 g（x）x 2（2+m）x+1， （x0） ，对称轴 ，当 时，即 m2， g（x）在（0，+）单调递增，g（x）g（0）10 恒成立，当 时，即 m2，对任意的 x0，使 g（x）0 恒成立，只需满足 ，解得2m 0，综上所述：m0，m 的取值范围是（，0【点评】本题主要考查了二次不等式的求解及二次函数与二次不等式性质的相互转化恒成立与最值求解的相互转化，属于中档试题21 （10 分）如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两点均不可到达，测量者在河岸边选定两点 C，D，测得 ，同时在 C，D 两点
27、分别测得ACB 45，ACD 60 ，BDC 30，ADB30（1）求 B，C 两点间的距离；（2）求 A，B 两点间的距离【分析】 （1）由已知利用三角形的内角和定理可求DBC 的值，由正弦定理可求得 BC的值（2）在ACD 中可求DAC60，可得 ACDC ，在ABC 中，由余弦定理即可计算得解 AB 的值第 15 页（共 16 页）【解答】解：（1）在BCD 中，DBC180CDBACDACB45，由正弦定理，得 BC sinBDC sin 30 （2）在ACD 中ADCADB+CDB60，ACD60，DAC60，ACDC ，在ABC 中，由余弦定理，得：AB 2AC 2+BC22ACB
28、Ccos 45 + 2 AB （km） A，B 两点间的距离为 km【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题22 （10 分）已知数列a n满足 a11，a n+12a n+1，nN *（1）求证数列a n+1是等比数列，并求数列a n的通项公式；（2）设 bnlog 2（a 2n+1+1） ，数列 的前 n 项和 Tn，求证： 【分析】 （1）对已知等式两边加 1，运用等比数列的定义和通项公式可得所求；（2）求得 ，由数列的裂项相消求和和数列的单调性和不等式的性质，即可得证第 16 页（共 16 页）【解答】解：（1）证明：由 an+12a n+1 得 an+1+12（ an+1） ，即 ，且 a1+12，所以数列a n+1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 ，故数列a n的通项公式为 ；（2）证明：因为 ，所以 ，0 ， 0， ，即 【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题