1、2018 年北京市通州区高考数学三模试卷（文科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）若集合 Sx| x0 或 x2 ，T x|1x3，则 ST（ ）A （2，3） B （1，2）C （1，3） D （0，1） （2，3）2 （5 分）若复数 z（2+ i） （1i ） ，则 z 的模等于（ ）A2 B C D3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A4 B9 C16 D214 （5 分）若 x，y 满足 ，则 的最大值为（ ）A B1 C D25 （5 分）设 f（x ）为定义在 R 上的偶函数，
2、且 f（x）在0，+）上为增函数，则f（2） ，f（） ，f（3）的大小顺序是（ ）Af（）f（2）f（3） Bf（2） f（3）f（）Cf（ ） f（3）f（ 2） Df（3）f（2）f（ ）6 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（ ）第 2 页（共 21 页）A1 B C D27 （5 分）已知非零向量 ， ，则“ 0”是“ ， 夹角为锐角”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8 （5 分）标准的围棋棋盘共 19 行 19 列，361 个格点，每个格点上可能出现“黑” “白”“空”三种情况，因此有 3361 种不同
3、的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 1000052，下列数据最接近 的是 （lg 3 0.477） （ ）A10 37 B10 36 C10 35 D10 34二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点 ，则 sin 10 （5 分）抛物线 y22px （p0）的准线与双曲线 的两条渐近线所围成三角形的面积等于 2，则 p 11 （5 分）设 P（n，n 2）是函数 yx 2 图象上的动点，当点
4、P 到直线 yx 1 的距离最小时，n 12 （5 分）能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 a2abc 2”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 13 （5 分）在ABC 中，C90，B30，AC 2，P 为线段 AB 上一点，则第 3 页（共 21 页）的取值范围为 14 （5 分）某学校开展一次“五四”知识竞赛活动，共有三个问题，其中第 1、2 题满分都是 15 分，第 3 题满分是 20 分每个问题或者得满分，或者得 0 分活动结果显示，每个参赛选手至少答对一道题，有 6 名选手只答对其中一道题，有 12 名选手只答对其中两道题答对第 1 题的人数与答对第 2 题的
5、人数之和为 26，答对第 1 的人数与答对第3 题的人数之和为 24，答对第 2 题的人数与答对第 3 题的人数之和为 22则参赛选手中三道题全答对的人数是 ；所有参赛选手的平均分是 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）已知a n是等差数列，满足 a12，a 414，数列 bn满足 b11，b 46，且an bn是等比数列（）求数列a n和b n的通项公式；（）若nN *，都有 bnb k 成立，求正整数 k 的值16 （13 分）已知函数 （）求 f（x）的最小正周期；（）求证：当 时，1f（x ）217 （13 分）某社区为了解辖区住
6、户中离退休老人每天的平均户外“活动时间” ，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了 100 位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间” （单位：小时） ，活动时间按照0，0.5） ，0.5 ， 1） ， ，4，4.5从少到多分成 9组，制成样本的频率分布直方图如图所示（）求图中 a 的值；（）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（ III）在 1.5，2） 、2，2.5）这两组中采用分层抽样抽取 9 人，再从这 9 人中随机抽取2 人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率第 4 页（共 21 页）18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面
7、ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PAB 为等边三角形，E 是 PB 中点，平面 AED 与棱 PC 交于点 F（）求证：ADEF ；（）求证：PB平面 AEFD；（ III）记四棱锥 PAEFD 的体积为 V1，四棱锥 P ABCD 的体积为 V2，直接写出的值19 （14 分）已知椭圆 过点 ，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形（）求椭圆 C 的方程；（）过（0，1）的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，试问：是否存在一个定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由20 （13 分）已知函数 的定义域是 R，且有极值点（）求
8、实数 b 的取值范围；第 5 页（共 21 页）（）求证：方程 恰有一个实根第 6 页（共 21 页）2018 年北京市通州区高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）若集合 Sx| x0 或 x2 ，T x|1x3，则 ST（ ）A （2，3） B （1，2）C （1，3） D （0，1） （2，3）【分析】根据交集的定义计算即可【解答】解：集合 Sx| x0 或 x2 ，T x|1x3 ，则 STx|2 x3（2， 3） 故选：A【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题
9、2 （5 分）若复数 z（2+ i） （1i ） ，则 z 的模等于（ ）A2 B C D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z（2+ i） （1i ）3i，|z| 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）第 7 页（共 21 页）A4 B9 C16 D21【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得n1，S0执行循环体，S1，n3不
10、满足条件 n6，执行循环体，S4，n5不满足条件 n6，执行循环体，S9，n7此时，满足条件 n6，退出循环，输出 S 的值为 9故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4 （5 分）若 x，y 满足 ，则 的最大值为（ ）A B1 C D2【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值【解答】解：由约束条件得到可行域如图：则 的最大值为表示原点与区域内 A 点连接的直线的斜率的最大，所以最大值为： 1第 8 页（共 21 页）故选：B【点评】本题考查了简单线性规划问题；求目标函数的最优解，利用其几何意义体现了数形结合的
11、思想5 （5 分）设 f（x ）为定义在 R 上的偶函数，且 f（x）在0，+）上为增函数，则f（2） ，f（） ，f（3）的大小顺序是（ ）Af（）f（2）f（3） Bf（2） f（3）f（）Cf（ ） f（3）f（ 2） Df（3）f（2）f（ ）【分析】运用偶函数的定义，可得 f（2）f （2） ，f（）f（ ） ，再由 f（x）在0，+ ）上为增函数，即可得到所求大小关系【解答】解：f（x ）为定义在 R 上的偶函数，且 f（x）在0，+）上为增函数，可得 f（2）f（2） ，f（ ）f（ ） ，由 23，可得 f（2）f（3）f （） ，即 f（2）f（3）f（） ，故选：B【点评】
12、本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用：比较大小，考查转化思想和判断能力，属于基础题6 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（ ）第 9 页（共 21 页）A1 B C D2【分析】由三视图可知：原三棱锥为 PABC其中 PA底面ABC，ACCB，PA AC BC1可得这个三棱锥最长棱的棱长是 PB【解答】解：由三视图可知：原三棱锥为 PABC其中 PA底面 ABC，ACCB，PAACBC1这个三棱锥最长棱的棱长是 PB 故选：C【点评】本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的有关计算，属于基础题7 （5 分）已知非零向量 ， ，则“ 0”是“ ， 夹角为锐角”的（ ）
13、A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】 0 时， 与 的夹角为锐角或零角【解答】解： 0 时， 与 的夹角为锐角或零角，不一定是锐角，故充分性不成立而 与 的夹角为锐角或零角时，有 0，必要性成立，故选：B【点评】本题考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，以及充要条件，属基础第 10 页（共 21 页）题8 （5 分）标准的围棋棋盘共 19 行 19 列，361 个格点，每个格点上可能出现“黑” “白”“空”三种情况，因此有 3361 种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连
14、书万字五十二”种，即 1000052，下列数据最接近 的是 （lg 3 0.477） （ ）A10 37 B10 36 C10 35 D10 34【分析】根据题意，对 取对数可得lg lg3 361lg10000 52361lg352435.8，即可得10 35.8 ，分析选项即可得答案【解答】解：根据题意，对于 ，有lg lg3 361lg10000 52361lg352435.8，则 10 35.8 ，分析选项：B 中 1036 与其最接近，故选：B【点评】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy
15、 中，角 以 Ox 为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点 ，则 sin 【分析】由已知先求 y 的值，进而利用任意角的三角函数的定义即可得解【解答】解：角 以 Ox 为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点 ，y ，第 11 页（共 21 页）sin 故答案为： 【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题10 （5 分）抛物线 y22px （p0）的准线与双曲线 的两条渐近线所围成三角形的面积等于 2，则 p 2 【分析】写出抛物线 y22px（p0）的准线与双曲线 的两条渐近线方程，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积求解即可【解答】解：抛物线 y22
16、px（p0）的准线为 x ，双曲线 的两条渐近线方程分别为：y2x，y 2x，这三条直线构成等腰三角形，底边长为：2p，三角形的高为： ，因此，所求三角形面积： ，解得 P2故答案为：2【点评】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型11 （5 分）设 P（n，n 2）是函数 yx 2 图象上的动点，当点 P 到直线 yx 1 的距离最小时，n 【分析】由点到直线的距离公式求得 n 为何值时，距离最小【解答】解：P（n，n 2）是函数 yx 2 图象上的动
17、点，则点 P 到直线 yx 1 的距离为d ，当 n 时，d 取得最小值第 12 页（共 21 页）故答案为： 【点评】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题12 （5 分）能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 a2abc 2”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 1，0，1（此题答案不唯一） 【分析】举例说明“若 abc，则 a2abc 2”是假命题即可【解答】解：当 a1，b0，c1 时，满足 abc，不满足 a2abc 2；若 abc，则 a2abc 2”是假命题故答案为：1，0，1【点评】本题考查了命题真假的判断问题，注意本题答案不唯一13 （5 分）在AB
18、C 中，C90，B30，AC 2，P 为线段 AB 上一点，则的取值范围为 ，2 【分析】以 C 为坐标原点，CB，CA 所在直线为 x，y 轴建立直角坐标系，求得A，B，C 的坐标，即有直线 AB 的方程，设 P（x，y） ，求得 （2 x，y） ，（x，y ） ，再由向量的平方即为模的平方，转化为二次函数的最值，即可得到所求取值范围【解答】解：以 C 为坐标原点， CB，CA 所在直线为 x，y 轴建立直角坐标系，可得 C（0，0） ，A（0，2） ， B（2 ，0） ，则直线 AB 的方程为 + 1，设 P（x ，y） ，则 y2 ，0x2 ，（2 x，y ） ， （x ，y） ，则 2
19、（2 2x） 2+（2y） 24x 2+4y28 x+124x 2+4（2 ） 28 x+12 x2 x+28 （x ） 2+3，由 x 0，2 ，可得 的最小值为 ，x0 时，则 的最大值为 2 ，第 13 页（共 21 页）即 的取值范围为 ，2 故答案为： ，2 【点评】本题考查向量的加减运算，考查向量的模的求法，以及二次函数的最值求法，考查转化思想和坐标法的运用，以及运算能力，属于中档题14 （5 分）某学校开展一次“五四”知识竞赛活动，共有三个问题，其中第 1、2 题满分都是 15 分，第 3 题满分是 20 分每个问题或者得满分，或者得 0 分活动结果显示，每个参赛选手至少答对一道
20、题，有 6 名选手只答对其中一道题，有 12 名选手只答对其中两道题答对第 1 题的人数与答对第 2 题的人数之和为 26，答对第 1 的人数与答对第3 题的人数之和为 24，答对第 2 题的人数与答对第 3 题的人数之和为 22则参赛选手中三道题全答对的人数是 2 ；所有参赛选手的平均分是 29.5 【分析】列方程组求出答对 1 题，2 题，3 题的人数，再求出全班人数，即可求得三道题全答对的人数与平均分【解答】解：设 x1、x 2、x 3 分别表示答对 1 题，2 题，3 题的人数，则有 ，解得 x114，x 212，x 310 ；又只答对一题的人数为 6，只答对两题的人数为 12，设答对
21、三题的人数为 x，则全班人数为 6+12+x；61+122+3x36，解得 x2，三道题全答对的人数是 2；所有参赛选手的平均分是第 14 页（共 21 页） （1415+1215+1020）29.5故答案为：2，29.5【点评】本题考查了求平均数以及应用问题，也考查了方程思想，是综合题三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）已知a n是等差数列，满足 a12，a 414，数列 bn满足 b11，b 46，且an bn是等比数列（）求数列a n和b n的通项公式；（）若nN *，都有 bnb k 成立，求正整数 k 的值【分析】 （）由已知求
22、出数列a n的通项公式，求出a nb n的首项和第四项，得到其公比，进一步求其通项公式，则b n的通项公式可求；（）由题意，b k 应为数列b n的最大项然后求出 ，再对 n 分类讨论求得满足 bnb k 成立的正整数 k 的值【解答】解：（）设a n的公差为 d，则 ，a n2+（n1）44n2，故a n的通项公式为 an4n2（n N*） 设 cna nb n，则c n为等比数列c1a 1b 1211，c 4a 4b 41468，设c n的公比为 q，则 ，故 q2则 ，即 （nN *） 故b n的通项公式为 （n N*） （）由题意，b k 应为数列b n的最大项由 42 n1 （nN
23、*） 当 n3 时，b n+1b n0，b nb n+1，即 b1b 2b 3；当 n3 时，b n+1b n0，即 b3b 4；当 n3 时，b n+1b n0，b nb n+1，即 b4b 5b 6第 15 页（共 21 页）综上所述，数列b n中的最大项为 b3 和 b4故存在 k3 或 4，使nN *，都有 bnb k 成立【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，考查推理论证能力，属中档题16 （13 分）已知函数 （）求 f（x）的最小正周期；（）求证：当 时，1f（x ）2【分析】 （）利用诱导公式、倍角公式及辅助角公式化简，再由周期公式求周期；（）由
24、x 的范围求得相位的范围，则 f（x）的范围可求，结论得证【解答】 （I）解： sinxcosx+cos2x ，f（x）的最小正周期为 ；（II）证明： ， 则 故1f（x） 2【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查 yAsin（x+）型函数的图象和性质，是基础题17 （13 分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间” ，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了 100 位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间” （单位：小时） ，活动时间按照0，0.5） ，0.5 ， 1） ， ，4，4.5从少到多分成 9组，制成样本的频率分布直方图如图所示（）求图中 a 的
25、值；（）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（ III）在 1.5，2） 、2，2.5）这两组中采用分层抽样抽取 9 人，再从这 9 人中随机抽取2 人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率第 16 页（共 21 页）【分析】 （I）由频率和为 1 列方程求出 a 的值；（II）利用中位数两边频率相等求出中位数的大小；（III）采用分层抽样求出两组抽取的人数，再利用基本事件计算所求的概率值【解答】解：（I）由频率分布直方图知，辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”在0，0.5）的频率为 0.080.50.04同理，在0.5，1） ，1，1.5） ，1.5，2）2
26、 ，2.5） ，2.5，3）3，3.5） ，3.5，4） ，4，4.5的频率分别为 0.08，0.15，0.5a，0.25，0.15，0.07 ，0.04，0.02；由 0.04+0.08+0.15+0.5a+0.25+0.15+0.07+0.04+0.021，解得 a0.40；（II）设“活动时间”的中位数为 m 小时，因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.250.720.5，而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.200.470.5，所以 2m 2.5由 0.47+0.50（m2）0.5，解得 m2.06，所以估计中位数为 2.06；（
27、III）在 1.5，2） 、2，2.5）这两组中采用分层抽样抽取 9 人，1.5，2）内抽取 9 4 人，2 ，2.5）内应抽取 5 人，再从这 9 人中随机抽取 2 人，基本事件数为 36，抽取的两人恰好都在同一个组的基本事件是 + 6+1016，所求的概率为 P 【点评】本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方第 17 页（共 21 页）形，PAB 为等边三角形，E 是 PB 中点，平面 AED 与棱 PC 交于点 F（）求证：ADEF ；（）求证：PB平面 AEFD；（
28、 III）记四棱锥 PAEFD 的体积为 V1，四棱锥 P ABCD 的体积为 V2，直接写出的值【分析】 （）由 ABCD 为正方形，可得 ADBC再由线面平行的判定可得 AD平面PBC再由面面平行的性质可得 ADEF；（）由 ABCD 为正方形，可得 ADAB结合面面垂直的性质可得 AD平面PAB从而得到 ADPB再由已知证得 PBAE由线面垂直的判定可得 PB平面AEFD；（）由（）知，V 1V CAEFD ，利用等积法把 V2 用 V1 表示，则 的值可求【解答】 （）证明：ABCD 为正方形，ADBCAD平面 PBC，BC平面 PBC，AD平面 PBCAD平面 AEFD，平面 AEF
29、D平面 PBCEF ，ADEF；（）证明：ABCD 为正方形，ADAB平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，AD平面 ABCD，AD平面 PABPB 平面 PAB，ADPB第 18 页（共 21 页）PAB 为等边三角形，E 是 PB 中点，PBAEAE 平面 AEFD，AD 平面 AEFD，AEADA，PB平面 AEFD；（）解：由（）知，V 1V CAEFD ，V EABC V FADC ， ，则 ， 【点评】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19 （14 分）已知椭圆 过点 ，
30、且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形（）求椭圆 C 的方程；（）过（0，1）的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，试问：是否存在一个定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （）根据题意，分析可得 a b，可以将椭圆的方程设为 ，将点 P 的坐标代入方程，计算可得 a、b 的值，即可得答案；（）根据题意，按直线 l 的位置关系分 2 种情况讨论，当 l 与 x 轴垂直时，易得结论，当 l 与 x 轴不垂直时，设出直线 l 的方程，与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系，分析可得结论，综合 2 种情况即可得答案【解答】解：（）
31、根据题意，因为椭圆 C 的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰第 19 页（共 21 页）直角三角形，所以 所以椭圆 C 的方程为 又椭圆 C 经过点 ，代入椭圆方程得 b3所以 故所求椭圆方程为 （）由已知动直线 l 过（0 ，1）点当 l 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2+（y+1） 216；当 l 与 y 轴重合时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y29所以两圆相切于点（0，3） ，即两圆只有一个公共点因此，所求点 T 如果存在，只能是点（0，3） 以下证明以 AB 为直径的圆恒过点 T（0，3）：当 l 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆过点 T（0，3）
32、；当 l 与 x 轴不垂直时，设 l：ykx1由 得（2k 2+1）x 24kx160由（0，1）在椭圆内部知0 成立设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 又 ， ，所以（1+k 2）x 1x24k（x 1+x2）+16 所以 TATB ，即以 AB 为直径的圆恒过点 T（0，3） 所以存在一个定点 T（0，3）满足条件【点评】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程20 （13 分）已知函数 的定义域是 R，且有极值点（）求实数 b 的取值范围；第 20 页（共 21 页）（）求证：方程 恰有一个实根【分析】 （）求导数，定义域是 R，知 4
33、4b0 得 b1；由 f（x）0 得x22b0，故 b2当 b2 时，函数 f（x）在 R 上单调递增，无极值点，即可求实数 b 的取值范围；（）由（）知函数 f（x ）的两个极值点为为 ，说明在 （m ，+ ）上无解，在（，m）上恰有一解【解答】 （）解：由 的定义域是 R，知 44b0 得 b1， ，由 f（x）0 得 x22b0，故 b2当 b2 时， ，函数 f（x ）在 R 上单调递增，无极值点所以实数 b 的取值范围为 1b2（）证明：由（）知函数 f（x ）的两个极值点为 ，x （，m） m （m，n） n （n，+）f（x） + 0 0 +f（x ） 极大值 极小值 极小值 下面证明 ：记 g（x）e x（x +1） （0x1） ，g（x ）e x10，所以 g（x）在0 ，1）上是单调递增函数所以当 x（0， 1）时，g（x）g（0）0，即 exx+1，由 知， 第 21 页（共 21 页）这说明 在（m，+）上无解又 ， ，且 f（x）在（，m）上单调递增，所以 在（，m）上恰有一解综上所述， 在 R 上恰有一解【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于难题