1、2018 年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1 （5 分）在复平面内，复数 （i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）已知 x，y 满足线性约束条件 ，则 z2x+4y 的最小值是（ ）A38 B5 C6 D103 （5 分） “ ”是“x+y3”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）某程序框图如图所示，运行
2、该程序输出的 k 值是（ ）A8 B7 C6 D55 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左顶点与抛物线 y22px（p0）的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1） ，则双曲线的焦距为（ ）A B2 C D26 （5 分）对于任意 xR，函数 f（x）满足 f（2x ）f（x） ，且当 x1 时，函数第 2 页（共 23 页）f（x）lnx，若 af（2 0.3 ） ，bf （log 3） ，cf （ ）则 a，b，c 大小关系是（ ）Abac Bbca Ccab Dc ba7 （5 分）已知函数 f（x ）sinx+
3、 cosx（0） ，若在区间（0，）上有三个不同的x 使得 f（x ）1，则 的取值范围是（ ）A B C D8 （5 分）已知函数 f（x ） ，函数 g（x）f（1x）kx+k 恰有三个不同的零点，则 k 的取值范围是（ ）A （2 B （2+ ，0 C （2 D （ 2+ ，0 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填写在答题纸上.9 （5 分）已知集合 Ax| x2+2x30，xZ ，集合 B0，1，2 ，则 AB 10 （5 分）函数 yxe x 在其极值点处的切线方程为
4、11 （5 分）已知点 A 在圆 x2+y22x 2y0 上，点 B 在直线 xy40 上，则| AB|的最小值为 12 （5 分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为 13 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，AB6，BC8，ACD 是等边三角形，则 的值为 第 3 页（共 23 页）14 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）2 x，若对任意的xa，a+2，不等式 f（x +a）f 2（x ）恒成立，则实数 a 的取值范围是
5、 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，将解题过程及答案填写在答题纸上.15 （13 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且（2ca）cosBbcosA（1）求B 的度数；（2）若ABC 的面积为 3 ，b ，求 a+c 的值16 （13 分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本与搭载费用之和（万元/ 件） 20 30 计划最大资金额 300 万元产品重量（千克/件） 10 5
6、 最大搭载重量 110 千克预计收益（万元/件） 80 60试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？17 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，N 是 PB 中点，截面 DAN 交 PC 于 M（）求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小；（）求证：PB平面 ADMN；（）求二面角 PADN 的大小第 4 页（共 23 页）18 （13 分）已知非单调数列a n是公比为 q 的等比数列， a1 ，其前 n 项和为Sn（nN*） ，且满足 S3+a
7、3，S 5+a5，S 4+a4 成等差数列（I）求数列 an的通项公式和前 n 项和 Sn；（）b n（1） nn2Sn ，求数列b n的前 n 项和 Tn19 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： l（ab0）的离心率为 ，短轴长是 2（）求椭圆 C 的方程；（）设椭圆 C 的下顶点为 D，过点 D 作两条互相垂直的直线 l1，l 2，这两条直线与椭圆 C 的另一个交点分别为 M，N设 l1 的斜率为 k（k0） ，DMN 的面积为 S，当时，求 k 的取值范围20 （14 分）设函数 f（x ）lnx+ ，mR（）当 me（e 为自然对数的底数）时，求 f（x ）的极
8、小值；（）讨论函数 g（x）f（x） 零点的个数；（）若对任意 ba0， 1 恒成立，求 m 的取值范围第 5 页（共 23 页）2018 年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1 （5 分）在复平面内，复数 （i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数 所对应的点的坐标得答案【解答】解： 复数 所对应的点的坐标为（ ） ，位于第二象
9、限故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2 （5 分）已知 x，y 满足线性约束条件 ，则 z2x+4y 的最小值是（ ）A38 B5 C6 D10【分析】由线性约束条件作出可行域，求出最优解，则目标函数的最小值可求【解答】解：由约束条件 作可行域如图，联立 ，得 B（3，3） 由图可知，使 z2x+4y 取得最小值的最优解为 B（3，3） 第 6 页（共 23 页）z2x +4y 的最小值是 23+4（3）6故选：C【点评】本题只是直接考查线性规划问题，近年来线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合法是重要的数学思想方法，是连接代数和几何
10、的重要方法随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视是中档题3 （5 分） “ ”是“x+y3”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若“x1 且 y2”则“x +y3”成立当 x5，y1 时，满足 x+y3，但 x1 且 y2 不成立，故 x1 且 y2”是“x +y3”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式之间的关系是解决本题的关键比较基础4 （5 分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的 k
11、 值是（ ）A8 B7 C6 D5【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序第 7 页（共 23 页）的作用是利用循环计算 S，k 值并输出 k，模拟程序的运行过程，即可得到答案【解答】解：模拟程序的运行，可得S100，k0满足条件 S0，执行循环体，S99，k1满足条件 S0，执行循环体，S96，k2满足条件 S0，执行循环体，S87，k3满足条件 S0，执行循环体，S60，k4满足条件 S0，执行循环体，S21，k5此时，不满足条件 S0，退出循环，输出 k 的值为 5故选：D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要
12、的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模5 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左顶点与抛物线 y22px（p0）的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1） ，则双曲线的焦距为（ ）A B2 C D2【分析】根据题意，点（2，1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得 a的值，由
13、点（2，1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得 b 的值，由双曲线的性质，可得 c 的值，进而可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1） ，即点（2，1）在抛物线的准线上，又由抛物线 y22px 的准线方程为 x ，则p4，则抛物线的焦点为（2，0） ；第 8 页（共 23 页）则双曲线的左顶点为（2，0） ，即 a2；点（2，1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为 y x，由双曲线的性质，可得 b1；则 c ，则焦距为 2c2故选：D【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1） ”
14、这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即 2c，容易只计算到 c，就得到结论6 （5 分）对于任意 xR，函数 f（x）满足 f（2x ）f（x） ，且当 x1 时，函数f（x）lnx，若 af（2 0.3 ） ，bf （log 3） ，cf （ ）则 a，b，c 大小关系是（ ）Abac Bbca Ccab Dc ba【分析】由 f（2x ）f（x）判断函数 f（x）关于（1 ，0）点对称，根据 x1 时f（x）lnx 是单调增函数，判断 f（x ）在定义域 R 上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小【解答】解：对于任意 xR，函数 f（x）满足 f（2x ）f（x） ，
15、函数 f（x）关于（ 1，0）点对称，将 f（x）向左平移一个单位得到 yf（x +1） ，此时函数 f（x）关于原点对称，则函数 yf（x+1）是奇函数；当 x1 时，f（ x）lnx 是单调增函数，f（x）在定义域 R 上是单调增函数；由 02 0.3 1log 3，f（ ）f（2 0.3 ）f（log 3） ，bac故选：A【点评】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题第 9 页（共 23 页）7 （5 分）已知函数 f（x ）sinx+ cosx（0） ，若在区间（0，）上有三个不同的x 使得 f（x ）1，则 的取值范围是（
16、）A B C D【分析】利用辅助角公式化简，根据 x（0，） ，求出内层函数的范围，在区间（0，）上存在 3 个不同的 x0，使得 f（x 0）1，化简建立关系即可求解 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）sinx+ cosx（0）化简可得 f（x） 2sin（ x+ ）x（0，） ，要使 x0（0， ）有 3 个不同的 x0，使得 sin（ ） 成立需满足 2+ +4+ ，解得 （ ， ，故选：A【点评】本题考查的知识要点：对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用属于基础题型8 （5 分）已知函数 f（x ） ，函数 g（x）f（1x）kx+k 恰有三个不同的零点，则 k 的取值范
17、围是（ ）A （2 B （2+ ，0 C （2 D （ 2+ ，0 【分析】求得 yf（1x）的解析式，由题意可得 f（1x）kxk+ 有三个不同的实根，作出 yf（ 1x）和 ykxk+ 的图象，考虑直线与曲线相切的情况，结合图象即可得到所求范围第 10 页（共 23 页）【解答】解：函数 f（x ） ，可得 f（1x） ，函数 g（x）f（1x）kx+k 恰有三个不同的零点，即为 f（1x） kxk+ 有三个不同的实根，作出 yf（1 x）和 ykxk+ 的图象，当直线 ykxk + 与曲线 y （x 1）相切于原点时，即 k 时，两图象恰有三个交点；当直线 ykxk + 与曲
18、线 y（x 2） 2（1x2）相切，设切点为（m，n） ，可得切线的斜率为 k2（m 2） ，且 kmk+ （m2） 2，解得 m1+ ，k 2，即 2k0 时，两图象恰有三个交点；综上可得，k 的范围是（ 2，0 ，故选：D【点评】本题考查分段函数的运用，函数零点个数解法，注意运用转化思想和数形结合思想方法，以及导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填写在答题纸上.9 （5 分）已知集合 Ax| x2+2x30，xZ ，集合 B0，1，2 ，则 AB 0，1 第 11 页（共 23 页）【分析】可解出集合 A，然后进行交集
19、的运算即可【解答】解：A3，2， 1，0，1 ；AB0，1故答案为：0，1【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算10 （5 分）函数 yxe x 在其极值点处的切线方程为 y 【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程【解答】解：依题解：依题意得 ye x+xex，令 y0，可得 x1，y 因此函数 yxe x 在其极值点处的切线方程为 y 故答案为：y 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题11 （5 分）已知点 A 在圆 x2+y22x 2y0 上，点 B 在直线
20、 xy40 上，则| AB|的最小值为 【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，判断出直线和圆的位置关系；再结合草图即分析出何时线段 AB 有最小值，并求出其值【解答】解：因为圆 x2+y22x 2y0 的圆心（1，1）到直线 xy40 的距离d 2 ，所以圆和直线相离大致图象如图圆心到直线的最短距离为 2 故线段 AB 的最小值为：dr 故答案为： 第 12 页（共 23 页）【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用以及圆和直线的位置关系判断在应用点到直线的距离公式时，一定要先把直线方程转化为一般式，再求解，避免出错12 （5 分）如图所示是一个几
21、何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为 【分析】根据四棱锥的结构特征求出外接球的球心位置，从而得出答案【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中，底面 ABCD 为边长为 4 的正方形，侧面 SAD底面 ABCD，S 在底面 ABCD 的射影 M 为 AD 的中点，由侧视图可知 SM2，设底面 ABCD 的中心为 O，连结 OM，OS，则 OM2，OS2 ，又 OAOBOC OD2 ，O 为四棱锥外接球的球心，V 球 （2 ） 3 故答案为： 【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，棱锥与外接球的位置关系，属于中档第 13 页（共 23 页）题13 （5 分）如图，在四边形
22、 ABCD 中，ABBC，AB6，BC8，ACD 是等边三角形，则 的值为 14 【分析】根据题意求得 AD AC 以及 cosCAD、cos BAC 的值，利用平面向量的数量积求得 的值【解答】解：ABBC，AB 6，BC 8，AC 10，cosBAC ；又ACD 是等边三角形，ADAC10，cosCAD ， （ ） 1010 10614故答案为：14【点评】本题考查了平面向量数量积的运算问题，是中档题14 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）2 x，若对任意的xa，a+2，不等式 f（x +a）f 2（x ）恒成立，则实数 a 的取值范围是 （， 【分
23、析】根据函数为偶函数，求出函数 f（x ）的表达式，然后将不等式 f（x+a）f 2（x）化简，对 a 进行讨论，将 x 解出来，做到参数分离，由恒成立思想，即可求出a 的范围第 14 页（共 23 页）【解答】解：由题意，f（x ） （4 分）（1）当 a0 时，即有 2x+a2 2x，xa，不合； （6 分）（2）当 a+20 时，即有（ ） x+a（ ） 2x，xa，恒成立， a2 符合； （8 分）（3）当2a0 时，若 x+a0，则 a+2a，a1 由（1）得不合若 x0 由（2）得成立，则 x+a0，x 0 时恒成立，即（ ） x+a2 2x，x ，a+2 ，a ，2a （14 分
24、）综上，实数 a 的取值范围 a ，故答案为：（， （ 15 分） 【点评】本题主要考查函数的奇偶性及运用，求出函数在定义域上的解析式是解题的关键，考查解决恒成立问题的常用方法：参数分离，必须掌握三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，将解题过程及答案填写在答题纸上.15 （13 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且（2ca）cosBbcosA（1）求B 的度数；（2）若ABC 的面积为 3 ，b ，求 a+c 的值【分析】 （1）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据 sinC 不为 0 求出 cosB 的值，即可确定出 B 的度数；（2）利用余弦定理即可求
25、a2+c2ac13，由已知及三角形面积公式可求 ac12，联立即可解得 a+c 的值【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：（2sinC sinA）cosBsinB sinA0，2sinCcosB（sinAcosB+cosAsinB）2sin CcosBsin（A+B）2sinC cosBsin C0，sinC0，cosB ，0B，第 15 页（共 23 页）B ；（2）由（1）可得：B ，ABC 的面积为 3 ，b ，利用余弦定理可得：b 2a 2+c22accosBa 2+c2ac 13，又S ABC acsinB ac3 ，解得：ac12，由，可得： a+c7【点评】本题主要考查了
26、正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题16 （13 分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本与搭载费用之和（万元/ 件） 20 30 计划最大资金额 300 万元产品重量（千克/件） 10 5 最大搭载重量 110 千克预计收益（万元/件） 80 60试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【分析】设搭载的产品中 A 有 x 件，产品 B
27、 有 y 件，得到关于 x，y 的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论【解答】解：设搭载产品 Ax 件，产品 By 件，预计总收益 z80x+60y则 ，作出可行域，如图作出直线 l0：4x +3y0 并平移，由图象得，当直线经过 M 点时 z 能取得最大值，解得 M（9，4 ） z max809+604960（万元） 第 16 页（共 23 页）答：搭载产品 A9 件，产品 B4 件，可使得总预计收益最大，为 960 万元【点评】本题考查简单的线性规划，考查简单的数学建模思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题17 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，
28、侧面 PAD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，N 是 PB 中点，截面 DAN 交 PC 于 M（）求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小；（）求证：PB平面 ADMN；（）求二面角 PADN 的大小【分析】 （）首先求出直线与平面的夹角，进一步利用三角形的边角关系求出大小（）直接利用线面垂直的判定定理求出结论（）首先利用题意求出二面角的平面角，进一步解三角形得出结论【解答】证明：（）如图所示：取 AD 的中点 O，连接 PO，BO ，由于PAD 为等边三角形，侧面 PAD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，第 17 页（共 23
29、页）所以：POAD，则：PO平面 ABCDBO 为 PB 在平面 ABCD 上的射影，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD 60，由已知ABD 为等边三角形，所以：POBO ，所以：PB 与平面 ABCD 所成角为 45（）由于ABD 为等边三角形，所以：ADBO ，又由于 PO平面 ABCD，BO 是 BP 在平面 ABCD 内的射影，所以：ADPB 又 PAAB2，N 为 PB 的中点，所以：ANPB，又 ADANN，所以：PB平面 ADMN（）连接 ON，由于 PB平面 ADMN，所以：ON 为 PO 在平面 ADMN 上的射影，因为：ADPO，所以：ADNO，故PON 为所求的
30、二面角的平面角由于POB 为等腰直角三角形，N 为斜边的中点，所以：PON45所以：二面角 PADN 的度数为 45【点评】本题考查的知识要点：直线与平面夹角问题的应用，线面垂直的应用，二面角的应用18 （13 分）已知非单调数列a n是公比为 q 的等比数列， a1 ，其前 n 项和为Sn（nN*） ，且满足 S3+a3，S 5+a5，S 4+a4 成等差数列（I）求数列 an的通项公式和前 n 项和 Sn；第 18 页（共 23 页）（）b n（1） nn2Sn ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （I）运用等差数列中项的性质和等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项、
31、求和公式；（）b n（1） nn2Sn （1） nn2+n（ ） n，设（1） nn2的前 n 项和为 Hn，n（ ） n的前 n 项和为 Qn，讨论 n 为偶数或奇数，运用分组求和和错位相减法，化简整理计算即可得到所求和【解答】解：（I）非单调数列 an是公比为 q 的等比数列，a 1 ，其前 n 项和为Sn（nN*） ，S3+a3，S 5+a5，S 4+a4 成等差数列，即为 2（S 5+a5）S 3+a3+S4+a4，即有 2S5+2a5S 4+a3+S4，可得 4a5a 3，即有 q2 ，解得 q ，即有 ana 1qn1 （ ） n1 ，前 n 项和 Sn 1（ ） n；（）b n（
32、1） nn2Sn （1） nn2+n（ ） n，设（1） nn2的前 n 项和为 Hn， n（ ） n的前 n 项和为 Qn，当 n 为偶数时，H n1+4 9+16+（n1） 2+n21+2+3+4+n n（n+1） Qn1（ ）+2（ ） 2+n（ ） n，Qn1（ ） 2+2（ ） 3+n（ ） n+1，第 19 页（共 23 页）两式相减可得 Qn +（ ） 2+（ ） 3+（ ） nn（ ） n+1 n（ ） n+1，化为 Qn2（n+2）（ ） n，TnH n+Qn （n +2）（ ） n；当 n 为奇数时，H n （n 1）nn 2 n（n+1 ） ，Q n2（n+2）（ ） n
33、，TnH n+Qn （ n+2）（ ） n；综上可得，T n 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查方程思想和运算能力，属于中档题19 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： l（ab0）的离心率为 ，短轴长是 2（）求椭圆 C 的方程；（）设椭圆 C 的下顶点为 D，过点 D 作两条互相垂直的直线 l1，l 2，这两条直线与椭圆 C 的另一个交点分别为 M，N设 l1 的斜率为 k（k0） ，DMN 的面积为 S，当时，求 k 的取值范围第 20 页（共 23 页）【分析】 （）根据椭圆
34、C 的离心率为 ，短轴长是 2，结合 a2b 2+c2，即可求出a，b 的值；（）设 l1 的方程为 ykx 1，代入入 +y21，求出 M 的坐标，可得 DM，用代 k 得 DN ，求出DMN 的面积， ，可得 ，从而可求 k 的取值范围【解答】解：（）设椭圆 C 的半焦距为 c，则由题意得 ，又 a2b 2+c2，联立解得 a2，b1椭圆方程为 +y21，（）由（）知，椭圆 C 的方程为 +y21，所以椭圆 C 与 y 轴负半轴交点为D（0，1） 因为 l1 的斜率存在，所以设 l1 的方程为 ykx1，代入 +y21，得 M（ ， ） ，从而 DM 用 代 k 得 DN ，所以DMN 的
35、面积 S 则 ，因为 ，即 ，整理得 4k4k 2140，解得 k 22第 21 页（共 23 页）所以 0k 22，即 k 0 或 0k 从而 k 的取值范围为（ ，0）（0， ） 【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题20 （14 分）设函数 f（x ）lnx+ ，mR（）当 me（e 为自然对数的底数）时，求 f（x ）的极小值；（）讨论函数 g（x）f（x） 零点的个数；（）若对任意 ba0， 1 恒成立，求 m 的取值范围【分析】 （）me 时，f （x）lnx + ，利用 f（x）判定 f（x）的增减
36、性并求出f（x）的极小值；（）由函数 g（x）f（x） ，令 g（x）0，求出 m；设 （x）m，求出（x）的值域，讨论 m 的取值，对应 g（x）的零点情况；（）由 ba0， 1 恒成立，等价于 f（b）bf （a）a 恒成立；即 h（x）f（ x）x 在（0，+）上单调递减；h（x）0，求出 m 的取值范围【解答】解：（）当 me 时，f（x）lnx + ，f（x） ；当 x（0，e）时，f（x ）0，f（x）在（0，e ）上是减函数；当 x（e，+）时，f（x ）0，f（x）在（e，+）上是增函数；xe 时，f（x）取得极小值为 f（e）lne+ 2；（）函数 g（x）f（x） （x0）
37、 ，令 g（x）0，得 m x3+x（x0） ；设 （x ） x3+x（x0） ，（x） x 2+1（x1） （x+1） ；当 x（0，1）时， （x ）0， （x）在（0，1）上是增函数，第 22 页（共 23 页）当 x（1，+）时，（x）0， （x）在（1，+）上是减函数；x1 是 （ x）的极值点，且是极大值点，x1 是 （ x）的最大值点，（x ）的最大值为 （1） ；又 （0）0，结合 y（x）的图象，如图；可知： 当 m 时，函数 g（x）无零点；当 m 时，函数 g（x ）有且只有一个零点；当 0 m 时，函数 g（x）有两个零点；当 m0 时，函数 g（x ）有且只有一个零点
38、；综上，当 m 时，函数 g（ x）无零点；当 m 或 m0 时，函数 g（x）有且只有一个零点；当 0m 时，函数 g（x）有两个零点；（）对任意 ba0， 1 恒成立，等价于 f（b）bf（a）a 恒成立；设 h（x）f（ x）xlnx + x（x 0） ，则 h（b）h（a） h（x）在（0，+）上单调递减；h（x） 10 在（0，+）上恒成立，mx 2+x + （x0） ，m ；对于 m ，h（x）0 仅在 x 时成立；m 的取值范围是 ，+） 第 23 页（共 23 页）【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题