1、2018 年天津市南开区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）i 为虚数单位，则复数 （ ）A3+ i B1+3i C3i D2+4i2 （5 分）如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）A7.68 B16.32 C17.32 D8.683 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x）不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）AxR，f（ x）f（x） Bx R，f （x ）f （x）C
2、x 0R，f（x 0）f（x 0） Dx 0R， f（x 0）f（x 0）4 （5 分）函数 f（x ）log 0.5（4x 2）的单调递增区间是（ ）A （2，+） B （，2） C （0，2） D （2，0）5 （5 分）设 F1，F 2 是离心率为 5 的双曲线 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4|PF 2|，则PF 1F2 的面积等于（ ）A4 B8 C24 D486 （5 分）已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，a 12，a 24 ，数列a n+an+1是公差为 2 的等差数列，则 S25（ ）A254 B362 C466 D
3、6507 （5 分）若函数 f（x ）asin2xbcos2x 在 x 处有最小值2，则常数 a，b 的值是（ ）Aa1，b Ba1，b Ca ，b1 Da ，b18 （5 分）设ABC 是边长为 1 的正三角形，M 是ABC 所在平面上的一点，且+2 + ，则当 取最小值时， 的值为（ ）第 2 页（共 21 页）A B C2 D3二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案填在题中横线上.9 （5 分）一个总体分为 A，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 ，则总体中的个体数
4、为 10 （5 分）执行如图的程序框图，若输入的 N 是 4，则输出 p 的值是 11 （5 分）函数 yx cosx 在 x 处的导数值是 12 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 ，则 a 13 （5 分）直线 与 y 轴交于点 E，与圆 x2+y22x2y 0 交于 A，B 两点，则|EA|EB| 14 （5 分）已知函数 f（x ） 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范第 3 页（共 21 页）围是
5、 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15 （13 分）锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知sin2C+ cos（ A+B）0 ，a4，c （）求ABC 的面积；（）求 cos（2A+C）的值16 （13 分）某加工厂准备生产甲、乙两种产品，已知生产一件甲产品需用原料 A 和原料B 的量分别为 4kg 和 3kg，生产一件乙产品需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5kg 和10kg若生产一件甲产品可获利 700 元，生产一件乙产品可获利 1200 元该厂月初一次性购进原料 A、B 的量分别为 200kg 和 300
6、kg问该厂生产甲、乙两种产品各多少件才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？17 （13 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，PCAD，PAABBC，点E 在棱 PB 上，且 PE2EB， ABDC，ABBC（）求证：平面 PAB平面 PCB；（）求证：PD平面 EAC；（）求二面角 ACDP 的正切值18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1 ，且当 n2 时， +2（）求数列a n的通项公式；（）设 bn ，证明： + + + 19 （14 分）设函数 f（x ）ax 2+ex（a R）有且仅有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） （）求实数 a 的
7、取值范围；（）是否存在实数 a 满足 f（x 1） x1？如存在，求 f（x）的极大值；如不存在，请说明理由第 4 页（共 21 页）20 （14 分）已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x24的焦点，离心率等于 椭圆 E 的左焦点为 F，过点 M（3，0）任作一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，点 A 关于 x 轴的对称点为 C（）求椭圆 E 的方程；（）求证： （R ） ；（）求MBC 面积的最大值第 5 页（共 21 页）2018 年天津市南开区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只
8、有一项是符合题目要求的.1 （5 分）i 为虚数单位，则复数 （ ）A3+ i B1+3i C3i D2+4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2 （5 分）如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）A7.68 B16.32 C17.32 D8.68【分析】欲估计出椭圆的面积，可利用概率模拟，只要利用平面图形的面积比求出落在椭圆外的概率即可【解答】解：黄豆落在椭圆外的概率为：即：解
9、得：S16.32故选：B【点评】本题考查几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，称为几何概型3 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x）不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）AxR，f（ x）f（x） Bx R，f （x ）f （x）第 6 页（共 21 页）Cx 0R，f（x 0）f（x 0） Dx 0R， f（x 0）f（x 0）【分析】利用奇函数的定义，结合命题的否定，即可得到结论【解答】解：如果定义域为 R 的函数 f（x）是奇函数，则xR，f（x ）f（x） ，恒成立，定义域为 R 的函数 f
10、（x）不是奇函数，x 0R，f（ x0）f（x 0）故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性，考查命题的否定，属于基础题4 （5 分）函数 f（x ）log 0.5（4x 2）的单调递增区间是（ ）A （2，+） B （，2） C （0，2） D （2，0）【分析】令 t4x 20 得函数的定义域为（2，2） ，f（ x）log 0.5t，故本题即求函数 t 在定义域内的减区间再根据二次函数的性质可得函数 tx 2+3 在定义域（2，2）上的减区间【解答】解：令 t4x 20，求得2x2，故函数的定义域为（2，2） ，f（x）log 0.5t，故本题即求函数 t 在定义域内的减区间再根
11、据二次函数的性质可得函数 tx 2+4 在定义域（2，2）上的减区间为（0，2） 故选：C【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题5 （5 分）设 F1，F 2 是离心率为 5 的双曲线 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4|PF 2|，则PF 1F2 的面积等于（ ）A4 B8 C24 D48【分析】先由双曲线的离心率求出 a，与 c，可得| F1F2| 10，再由 3|PF1|4|PF 2|，求出|PF1|8 ，| PF2|6，由此能求出PF 1F2 的面积【解答】解：设 F1，F 2 是离心率为 5 的双曲线 的两
12、个焦点，e 5，第 7 页（共 21 页）解得 a21，c5，|F 1F2|2c10，3| PF1|4| PF2|，设|PF 2| x，则|PF 1| |PF2| x，由双曲线的性质知 xx 2，解得 x6|PF 1| 8，| PF2|6，F 1PF290 ，PF 1F2 的面积 6824故选：C【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用6 （5 分）已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，a 12，a 24 ，数列a n+an+1是公差为 2 的等差数列，则 S25（ ）A254 B362 C466 D650【分析】根据等差数列的性质，得到
13、 an+1a n1 2，则奇数项和偶数项分别构成等差数列，公差为 2，利用等差数列的求和公式进行求解即可【解答】解：数列a n+an+1是公差为 2 的等差数列，a n+an+1（a n1 +an）2，即 an+1a n1 2，则奇数项和偶数项分别构成等差数列，公差为 2，则 S25（a 1+a3+a5+a25）+（a 2+a4+a24）132+ 2+124+ 26+156+48+132362，故选：B【点评】本题主要考查等差数列求和公式的应用，根据条件得到 an+1a n1 2 是解决本题的关键7 （5 分）若函数 f（x ）asin2xbcos2x 在 x 处有最小值2，则常数 a，b 的
14、值是（ ）第 8 页（共 21 页）Aa1，b Ba1，b Ca ，b1 Da ，b1【分析】利用辅助角公式可将 f（x ）asinxbcosx 转化为 f（x） sin（x ） ，依题意得 2，且 +2k，kZ，给 k 具体值求出 ，代入 f（x）化简后可求得 a，b 的值【解答】解：由题意得f（x）asin2x bcos2x sin（2x） ，其中 tan在 x 处有最小值2， +2k，kZ，且 2令 k0，得 ，f（x）2sin（2x ） 2（sin2 xcos cos2 xsin ） sin2x cos2x，a ，b1故选：D【点评】本题考查两角和的正弦公式，主要考查辅助角
15、公式应用，以及正弦函数的性质，属于中档题8 （5 分）设ABC 是边长为 1 的正三角形，M 是ABC 所在平面上的一点，且+2 + ，则当 取最小值时， 的值为（ ）A B C2 D3【分析】由题意画出图形，把 用 表示，求得 关于 的函数式，利用换元法及配方法求最值，则 的值可求【解答】解：如图， ， ， +2 + ， ，得 ，第 9 页（共 21 页） 设 ，则 当 t ，即 ，也就是 时， 取最小值故选：A【点评】本题考查平面向量数量积运算，考查数学转化思想方法，属中档题二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案填在题中横线上.9 （5 分）
16、一个总体分为 A，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 ，则总体中的个体数为 160 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：在分层抽样中每个个体被抽到的概率相同，则 ，即 n160，即总体中的个体数为 160，故答案为：160【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础10 （5 分）执行如图的程序框图，若输入的 N 是 4，则输出 p 的值是 24 第 10 页（共 21 页）【分析】根据框图的流程依次计算循环的结果，直到不满足条件 k4，跳出循环体，确定输出的 p 值【
17、解答】解：由程序框图知；第一次循环 k1，p111；第二次循环 k2，p122；第三次循环 k3，p236；第四次循环 k4，p4624不满足条件 k4，跳出循环体，输出 p24故答案为：24【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算循环的结果是解答此类问题的常用方法11 （5 分）函数 yx cosx 在 x 处的导数值是 【分析】利用导数的运算法则及导数的公式求出导函数，再令导函数中的 ，求出导数值【解答】解：yx cosx +x（cosx）cosxxsin x所以 yxcosx 在 处的导数值是故答案为【点评】求函数的导数值时，先根据函数的形式
18、选择合适的导数运算法则及导数公式，再求导数值第 11 页（共 21 页）12 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 ，则 a 2 【分析】将几何体还原，得到几何体为长方体割去一个角，根据图中数据计算体积，解方程即可得到所求值【解答】解：由已知三视图得到几何体为长方体割去一个角，如图所以其体积为 a a ，解得 a2，故答案为：2【点评】本题考查了几何体的三视图，关键是正确还原几何体，考查体积的计算，属于中档题13 （5 分）直线 与 y 轴交于点 E，与圆 x2+y22x2y 0 交于 A，B 两点，则|EA|EB| 1 【分析】求得交点 E（0，1） ，可得直线
19、 AB 的参数方程，代入圆方程，运用韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求乘积【解答】解：直线 与 y 轴交于点 E（0，1） ，第 12 页（共 21 页）可得直线 AB 的参数方程为 （t 为参数） ，代入圆 x2+y2 2x2y0，可得 t2t 10，可得 t1t21，即有|EA| EB| 1，故答案为：1【点评】本题考查直线的参数方程的运用，考查联立方程、运用韦达定理以及参数的几何意义，考查运算能力，属于中档题14 （5 分）已知函数 f（x ） 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 a1 【分析】由题意可得需使指数函数部分与 x 轴有一个交点，抛物线部分
20、与 x 轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于 a 的不等式，解之可得答案【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为 x ，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与 x 轴相交，由指数函数过点（0，1） ，故需下移至多 1 个单位，故 0a1，还需保证抛物线与 x 轴由两个交点，故最低点 0，解得 a0 或 a ，综合可得 a1，第 13 页（共 21 页）故答案为： a1【点评】本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题三、解答题：（本大题共 6 个小题
21、，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15 （13 分）锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知sin2C+ cos（ A+B）0 ，a4，c （）求ABC 的面积；（）求 cos（2A+C）的值【分析】 （）根据题意，利用正弦、余弦定理求得角 C 和 b 的值，再计算ABC 的面积；（）利用正弦定理和三角恒等变换求得 cos（2A+C）的值【解答】解：（）锐角ABC 中，sin2C+ cos（A+B ）0，sin2C cosC0，2sinCcosC cosC，C（0， ） ，cosC0，sinC ，C ；又 a4，c ，c 2134 2+b224bcos
22、 ，b24b+30，解得 b3 或 b1；验证 b1 时，b 2+c2a 2，A 是钝角，不合题意；b3，ABC 的面积 S absinC 43 3 ；（） ，sinA ，第 14 页（共 21 页）cosA ，sin2A2sinAcosA2 ，cos2A2cos 2A12 1 ；cos（2A +C）cos2AcosC sin2AsinC 【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题16 （13 分）某加工厂准备生产甲、乙两种产品，已知生产一件甲产品需用原料 A 和原料B 的量分别为 4kg 和 3kg，生产一件乙产品需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5kg 和10kg若生
23、产一件甲产品可获利 700 元，生产一件乙产品可获利 1200 元该厂月初一次性购进原料 A、B 的量分别为 200kg 和 300kg问该厂生产甲、乙两种产品各多少件才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件，工厂获得的利润为 z 又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为 z700x+1200y，由 ，可得 A（20，24） ，利用线性规划可得 x20，y 24 时，此时该厂的日利润最大为z70020+1200 2442800 元，该厂生产甲、乙两种产品各 20，24 件才
24、能使该厂月利润最大，最大利润为 42800 元第 15 页（共 21 页）【点评】本题考查线性规划知识，考查利润最大，解题的关键是确定线性约束条件及线性目标函数17 （13 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，PCAD，PAABBC，点E 在棱 PB 上，且 PE2EB， ABDC，ABBC（）求证：平面 PAB平面 PCB；（）求证：PD平面 EAC；（）求二面角 ACDP 的正切值【分析】 （）推导出 PABCBC平面 PAB，由此能证明平面 PAB平面 PCB（）推导出 ADAC，以 A 为原点，AD 为 x 轴，AC 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
25、利用向量法能证明 PD平面 EAC（）求出平面 CDP 的法向量和平面 ACD 的法向量，利用向量法能求出二面角ACDP 的正切值【解答】证明：（）PA底面 ABCD，BC 平面 ABCD，PABC，ABBC，PAABA，BC平面 PAB，BC平面 PCB，平面 PAB平面 PCB（）四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，PCAD，PAABBC，第 16 页（共 21 页）点 E 在棱 PB 上，且 PE2EB，ABDC，ABBC，PAAD ，又 PAACA， AD 平面 PAC，AD AC，以 A 为原点，AD 为 x 轴，AC 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 P
26、AABBC1，则 P（0，0，1） ，D（ ，0，0） ，A（0，0，0） ，C（0， ，0） ，B（ ， ，0） ，E（ ， ， ） ，（ ，0，1） ， （ ， ， ） ， （0， ，0） ，设平面 EAC 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，0， ） ， 0， ，PD平面 EAC，PD平面 EAC（） （0， ，1） ， （ ，0，1） ，设平面 CDP 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，1， ） ，平面 ACD 的法向量 （1，0，0） ，设二面角 ACDP 的平面角为 ，则 cos ，60，tan 二面角 ACDP 的正切值为 第 17 页（共
27、21 页）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1 ，且当 n2 时， +2（）求数列a n的通项公式；（）设 bn ，证明： + + + 【分析】 （）由已知可得数列 是以 2 为首项，以 2 为公差的等差数列，由此求得Sn，再由 anS nS n1 （n2）求数列a n的通项公式；（）把数列a n的通项公式代入 bn ，结合裂项相消法即可证明结论【解答】 （）解：由 +2，得 2（n2） ，又 ，
28、数列 是以 2 为首项，以 2 为公差的等差数列，则 ，则 当 n2 时， ；（）证明：由 bn ，得 （n2） + + + +第 18 页（共 21 页） 【点评】本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题19 （14 分）设函数 f（x ）ax 2+ex（a R）有且仅有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） （）求实数 a 的取值范围；（）是否存在实数 a 满足 f（x 1） x1？如存在，求 f（x）的极大值；如不存在，请说明理由【分析】 （1）先求导，求出 f（x ）的单调性，求出参数的取值范围（2）根据 f（x 1） x1，和 f（x ）ax 2+ex（a
29、 R）得到 R（x） （0x1） ，利用导数，确定函数 f（x 1）的单调性，从而确定最值，即可求得答案【解答】解：（1）f（x ）2ax+e x显然 a0，x 1，x 2 是直线 y 与曲线 yg（x） 两交点的横坐标由 g（x） 0，得 x1列表：x （，1） 1 （1，+）g （x） + 0 g（ x） g（ x） max 此外注意到：当 x0 时，g（x ）0；当 x0，1及 x（1，+）时，g（x ）的取值范围分别为 0， 和（0， ） 于是题设等价于 0 ，故实数 a 的取值范围为（， ）（2）存在实数 a 满足题设证明如下：由（1）知，0x 11x 2，f（x 1）2ax 1+
30、0，故 f（x 1） x1，故 0第 19 页（共 21 页）记 R（x ） （0x 1） ，则 0，于是，R（x）在（ 0，1）上单调递减又 R（ ）0，故 R（x ）有唯一的零点 x 从而，满足 f（x 1） x 的 x1 所以，a ，此时 f（x） ， ，又 f（0）0，f（1）0，f（2）0，而 x1 （0，1） ，故当 a 时，f（x ） 极大 f（x 1） 【点评】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值
31、点属于中档题20 （14 分）已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x24的焦点，离心率等于 椭圆 E 的左焦点为 F，过点 M（3，0）任作一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，点 A 关于 x 轴的对称点为 C（）求椭圆 E 的方程；（）求证： （R ） ；（）求MBC 面积的最大值【分析】 （）设椭圆 E 的方程为 + 1（ab0） ，由题意可知可知 ，b ，a 2b 2c 2，解方程即可得到所求；（）点 M 坐标为（3，0 ） 于是可设直线 l 的方程为 yk（x+3） 设点 A（x 1，y 1） ，B（x 2， y2） ，F（
32、2，0） ，C（x 1，y 1） ， （x 1+2， y 1） ， （x 2+2，y 2） ，利用向量共线定理即可判断出；（）利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出第 20 页（共 21 页）【解答】解：（）设椭圆 E 的方程为 + 1（ab0） ，抛物线 x24 的焦点为（0， ） ，由题意可知 ，b ，a 2b 2c 2，解得 a ，b ，c2，椭圆 E 的方程为 + 1；（）证明：点 M 坐标为（ 3，0） 于是可设直线 l 的方程为 yk（x+3） ，联立 得（1+3k 2）x 2+18k2x+27k260，（18k 2） 24（1+3k 2） （27k 26）0，解得 k2 设
33、点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2 ，x 1x2 ，y1k（x 1+3） ，y 2k（x 2+3） ，F（2，0） ，C（x 1，y 1） （x 1+2，y 1） ， （x 2+2，y 2） ，（x 1+2）y 2 （x 2+2） （y 1）（x 1+2）k（x 2+3）+（ x2+2）k （x 1+3）k2x 1x2+5（x 1+x2）+12k2 +5（ ）+120， （R） ；（）由（）可知：k 2 ，由题意可知：S |MF|y1|+ |MF|y2| |MF|y1+y2| |k（x 1+x2）+6 k| 当且仅当 k2 ， “”成立，k 2 时，MBC 面积 S 取得最大值 【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联第 21 页（共 21 页）立得到根与系数的关系、三角形的面积公式、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于难题