1、3.2.1古典概型（1）知识点一 基本事件及其计数问题1一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有()A(男，女)，(男，男)，(女，女)B(男，女)，(女，男)C(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D(男，男)，(女，女)答案C解析两个孩子出生有先后之分2做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”(1)写出这个试验的基本事件；(2)求出这个试验的基本事件的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的基本事件解(1)这个试验的基本事件为(0，1)(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，
2、0)，(2，1)(2)基本事件的总数为6(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本事件：(2，0)，(2，1)知识点二 古典概型的判断3下列是古典概型的是()A任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止答案C解析A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会是无限个，故D不是4下列试验中，是古典概型的个数为()种下一粒花生，观察它
3、是否发芽；向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；从正方形ABCD内，任意取一点P，点P恰与点C重合；从1，2，3，4四个数字中，任取两个数字，求所取两数字之一是2的概率；在区间0，5上任取一个数，求此数小于2的概率A0 B1 C2 D3答案B解析花生发芽与不发芽的可能性不相等，不是古典概型；硬币不均匀，所以正面向上与反面向上的可能性不相等，不是古典概型；点P的个数是无限的，不是古典概型；在区间0，5上任取一个数有无限个，不是古典概型故只有是古典概型，选B知识点三 简单的古典概型的概率5一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球，记为A1，A2，4个黑球，记为B1，B2，B3，B4
4、，从中一次摸出2个球(1)写出所有的基本事件；(2)求摸出的2个球颜色不同的概率解(1)从中一次摸出2个球，有如下基本事件：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15个(2)由(1)知，从袋中的6个球中任取2个，所取的2球颜色不同的事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，共8个，故所求事件的概率P6一
5、个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的解记事件A为“选取的2张标签上的数字为相邻整数”(1)从4张标签中无放回地随机选取2张，共有12个基本事件，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)事件A包含了其中的6个基本事件：(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)由古典概型概率计算公式知P(A)，故无放回地选取
6、2张标签，其上数字为相邻整数的概率为(2)从4张标签中有放回地随机选取2张，共有16个基本事件，分别为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)事件A包含了其中的6个基本事件：(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)由古典概型概率计算公式知P(A)，故有放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为易错点 混淆“等可能性”与“非等可能性”7任意掷两枚骰子，计算：(1)出现点数之和为奇数的概率；(2)出现点数之和为偶数的
7、概率易错分析本题易出现认为点数之和为奇数与偶数共11种情况的错误；由于以上两种情况为不等可能事件，不属于古典概型，不能应用古典概型概率公式计算正解任意掷两枚骰子，所有可能的结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(
8、6，6)，共36个(1)出现点数之和为奇数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)，共18个因此点数之和为奇数的概率为(2)点数之和为偶数的概率为1 一、选择题1如果一项试验中所有可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率()A都是1 B都是C都是 D不一定都相等答案B解析由古典概型的意义可得2将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是()A B C D答案D
9、解析抛掷2次所得的结果有36种，点数之和为3的倍数的基本事件有(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12种结果，因此所求概率为3从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是()A B C D答案A解析构成的两位数为12，13，21，23，31，32，共6个，这6个基本事件是等可能的，因此是古典概型其中大于23的为31，32，共2个，所以所求概率P4齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中
10、等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为()A B C D答案D解析设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b1，b2，b3齐王与田忌赛马，其情况有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌
11、获胜；(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜共6种其中田忌获胜的只有一种情形，即(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为，故选D5甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b1，2，3，4，若|ab|1，则称甲乙“心有灵犀”现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A B C D答案B解析两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，有16种情况，其中满足|ab|1的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(
12、4，4)，共10种，故他们“心有灵犀”的概率为二、填空题6如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有112这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为_答案解析由题意可知，所有的基本事件数为12，其中为2或3的倍数的是2，3，4，6，8，9，10，12，共8个故所求的概率为7从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于_答案解析试验发生包含的基本事件数n4即“1，2，3”，“1，2，4”，“1，3，4”，“2，3，4”由三角形的性质“两边之和大于第三边”知可组成三角
13、形的有“2，3，4”，m1所以8一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等)，若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_答案解析由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数为6个，由1，3，4组成的三位自然数为6个，由2，3，4组成的三位自然数为6个，共有24个由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为三、解答题9盒中有3只灯泡，其中2只是正
14、品，1只是次品(1)从中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率；(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率解(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2，1只次品记为b，画出树状图如下图所示基本事件总数为9，连续两次取得正品的基本事件数为4，所以所求概率P(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a1，a2，a1，b，a2，b(a1，a2表示一次取出正品a1，a2)，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以所求概率P10抛掷两枚骰子，计算：(1)事件“两枚骰子点数相同”的概率；(2)事件“点数之和小于7”的概率；(3)事件“点数之和等于或大于11”的概率解每枚骰子落地都有6种情况，所以基本事件总数为6636(1)记“两枚骰子点数相同”为事件A，则事件A有6个基本事件，即A(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，P(A)(2)记“点数之和小于7”为事件B，则事件B有15个基本事件，即B，P(B)(3)记“点数之和等于或大于11”为事件C，则事件C有3个基本事件，即C(5，6)，(6，5)，(6，6)，P(C)