1、第三章概率第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的有()概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；任意事件A发生的概率P(A)总满足0P(A)1；若事件A的概率趋近于0，即P(A)0，则事件A是不可能事件A0个 B1个 C2个 D3个答案C解析易知是正确的2 如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，它是一条弦，它的长度大于或等于圆的半径的概率为()A BC D答案B解析如图，当AA的长度等于半径时，A位于B点或C点，此时BOC120，
2、则优弧的长度为故所求概率P3某栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金牌，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是()A B C D答案C解析由于该观众前两次均已获奖，所以第三次翻牌时还剩18个商标，其中3个有奖，故第三次翻牌获奖的概率是4已知地铁列车每10 min到站一次，且在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A B C D答案A解析由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是地铁列车每
3、10 min到站一次，共有10 min，满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要1 min，记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，所以事件A发生的概率P故选A5编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是()A B C D答案B解析编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位时，1号学生有3种坐法，2号学生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，所以一共有6种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法只有2种，所以所求的概率P6七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由
4、五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为()A B C D答案C解析设正方形边长为2，则由几何概型的概率公式，知所求概率为7有两双不同的袜子，任取2只恰好成双的概率是()A B C D答案C解析设这4只袜子为A1，A2，B1，B2，其中A1和A2是一双，B1和B2是一双从中任取2只有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)共6个基本事件，恰好成双有(A1，A2)，(B1，B2)共2个基本事件，则任取2只恰好成双的概率为8有五条线段长度分别
5、为1，3，5，7，9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成三角形的概率为()A B C D答案B解析从5条线段中任意取3条共有10种取法，所取3条线段能构成三角形的有3，5，7；3，7，9；5，7，9，共3种取法故所求概率为故选B9下列四个命题：对立事件一定是互斥事件；若A，B为两个事件，则P(AB)P(A)P(B)；若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)P(B)P(C)1；若事件A，B满足P(A)P(B)1，则A，B是对立事件其中错误命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析正确；当且仅当A与B互斥时才有P(AB)P(A)P(B)，对于任意两个事件A，B，满足P(AB)P(A)P
6、(B)P(AB)，不正确；P(ABC)不一定等于1，还可能小于1，所以也不正确；也不正确，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A摸到红球或黄球，事件B摸到黄球或黑球，显然事件A与B不互斥，但P(A)，P(B)，P(A)P(B)110甲、乙两人街头约会，约定谁先到后须等待10分钟，这时若另一个人还没有来就可离开如果甲1点半到达假设乙在1点到2点之间何时到达是等可能的，则甲、乙能会面的概率为()A B C D答案B解析在1点到2点之间，甲乙只能在1点20到1点40之间会面因此甲乙两人会面的概率满足几何概型，且甲乙两人能会面的概率为故选B11在5件产品中有3件一等品和
7、2件二等品，从中任取2件，则下列事件中概率为的是()A恰有1件一等品 B至少有1件一等品C至多有1件一等品 D都不是一等品答案C解析将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)其中恰有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，故恰有1件一等品的概率为P1恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，故恰有2件一等品的概率为P2，则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为P3
8、1P2112为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为10，15)，15，20)，20，25)，25，30)，30，35，频率分布直方图如图所示工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是()A B C D答案C解析根据题中频率分布直方图可知产品件数在10，15)，15，20)内的人数分别为5002202，5004204，设生产产品件数在10，15)内的2人分别是A，B，设生产产品件数在15，20)内的4人分别是C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结
9、果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种2位工人不在一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种则选取这2人不在同一组的概率为第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A、B两个不同的岗位，每个岗位至少1人，则甲、乙被分到同一岗位的概率为_答案解析所有可能分配方式如下表：A甲、乙甲、丙乙、丙甲乙丙B丙乙甲
10、乙、丙甲、丙甲、乙共有基本事件6个，其中事件M“甲、乙两人被分到同一岗位”含2个基本事件，P(M)14从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，则所取球的最大号码不超过3的概率为_答案解析用(x，y)表示取出的两个球的号码为x与y，则所有基本事件构成集合(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共有基本事件10个设A“所取球的最大号码不超过3”，则A(1，2)，(1，3)，(2，3)含基本事件3个，P(A)15图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形若向虚线围成的矩
11、形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是_答案3解析设长方体的高为h，则图(2)中虚线围成的矩形长为22h，宽为12h，面积为(22h)(12h)，展开图的面积为24h；由几何概型的概率公式知，得h3，所以长方体的体积是V13316小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：006：00之间送货上门已知小李下班到家的时间为下午5：306：00快递员到小李家时，若小李未到家，就将商品存放快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于_答案解析设快递员到小李家的时间为5点x分，小李回家的时间为5点y分，依题意，若需要去快递柜收取商品，需满足则可行域所表示区域为图
12、中阴影部分由于随机试验落在矩形方框内的任何位置的等可能性，进而依据几何概型的概率公式，可得小李需要去快递柜收取商品的概率为三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)有编号为A1，A2，A9的9道题，其难度系数如下表：其中难度系数小于050的为难题(1)从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率；(2)从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率解(1)记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件M，9道题中难题有A1，A4，A6，A7四道所以P(M)(2)记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件N，则基本事件为：A1，
13、A4，A1，A6，A1，A7，A4，A6，A4，A7，A6，A7，共6个；难题中有且仅有A6，A7的难度系数相等故P(N)18(本小题满分12分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的2所学校均为小学的概率解(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1(2)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能
14、结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6， A4，A5，A4 ，A6，A5，A6，共15种从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3种所以P(B)19(本小题满分12分)设点M(x，y)在|x|1，|y|1时按均匀分布出现，试求满足：(1)xy1的概率；(2)x2y21的概率解(1)如图所示，xy1所在的直线是EF，易知EF的左下方区域内的点都满足xy1，因为S五边形ABCFES正方形ABCDSDEF2211，由几何概型的概率
15、公式可得：P(xy1)(2)满足x2y21的点是单位圆O，所以x2y21表示的是O外部的点，因为SO，所以P(x2y21)20(本小题满分12分)为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10把这6名学生的得分看成一个总体(1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过05的概率解(1)总体平均数为(5678910)75(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过05”从总体中抽取2个个体全部可能的基本
16、结果有：(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，10)，(9，10)，共15个基本结果事件A包括的基本结果有：(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，共有7个基本结果所以所求的概率为P(A)21(本小题满分12分)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点(1)在AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP平面FMC；(2)一只苍蝇在几何体ADFBCE内自由飞行，求它飞入几何体FAMCD内的概率解
17、由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF，DFADDC(1)点P在A点处证明：取FC中点S，连接GS，MS，GA，G是DF的中点，GSCD，GSCD又ABCD，ABCD，GSAB，且GSAB又M为AB中点，GSAM四边形AGSM为平行四边形AGMS又MS平面FMC，AG平面FMC，AG平面FMC，即GP平面FMC(2)因为VFAMCDS四边形AMCDDFa3，VADFBCESADFABa2aa3，所以苍蝇飞入几何体FAMCD中的概率为P22(本小题满分12分)某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在65，90)内)分组如
18、下：第一组65，70)，第二组70，75)，第三组75，80)，第四组80，85)，第五组85，90)得到频率分布直方图如图(1)求测试成绩在80，85)内的频率；(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率解(1)测试成绩在80，85)内的频率为1(001007006002)502(2)第三组的人数为006510030，第四组的人数为0210020，第五组的人数为002510010，所以第三组抽取3人，第四组抽取2人，第五组抽取1人设第三
19、组抽到的3人为A1，A2，A3，第四组抽到的2人为B1，B2，第五组抽到的1人为C从6名学生中随机选取2名的可能情况有15种：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)设“第四组2名学生中至少有1名学生被抽中”为事件M，则事件M包含的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共9个所以，第四组至少有1名同学被抽中的概率P(M)