1、1.1 集 合最新考纲 考情考向分析1.了解集合、元素的含义及其关系.2.理解集合的表示法.3.了解集合之间的包含、相等关系.4.理解全集、空集、子集的含义.5.会求简单集合间的并集、交集.6.理解补集的含义并会求补集.集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或 表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合 自然数集 正整数集
2、整数集 有理数集 实数集符号 N N*(或 N ) Z Q R2.集合间的基本关系关系 自然语言 符号语言 Venn 图子集集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 xA，则 xB)AB(或 BA)真子集集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B中至少有一个元素不在集合 A 中AB(或 BA)集合相等集合 A，B 中的元素相同或集合A，B 互为子集AB3.集合的基本运算运算 自然语言 符号语言 Venn 图交集由属于集合 A 且属于集合B 的所有元素组成的集合 A Bx|xA 且 xB并集由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合 A Bx|xA 或 xB补集由全集 U 中不属于集合
3、A 的所有元素组成的集合UAx|xU 且 xA概念方法微思考1若一个集合 A 有 n 个元素，则集合 A 有几个子集，几个真子集提示 2 n,2n1.2从 AB A，ABA 可以得到集合 A，B 有什么关系？提示 AB A AB，A BABA.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)任何一个集合都至少有两个子集( )(2)x|yx 21y |yx 21(x，y)|yx 21 ( )(3)若x 2,10,1，则 x0,1.( )(4)x|x1 t|t1( )(5)对于任意两个集合 A，B，关系(AB) (AB) 恒成立 ( )(6)若 A BAC，则 BC.( )
4、题组二 教材改编2P11 例 9已知 U|0 180，Ax| x 是锐角，Bx|x 是钝角，则 U(AB)_.答案 x| x 是直角 3P44A 组 T5已知集合 A( x，y)|x 2y 21，B(x，y)|yx ，则 AB 中元素的个数为_答案 2解析 集合 A 表示以(0,0)为圆心，1 为半径的单位圆，集合 B 表示直线 yx，圆 x2y 21 与直线 yx 相交于两点 ， ，则 AB 中有两个元素(22，22)( 22， 22)题组三 易错自纠4已知集合 A1,3， ，B1，m ，ABA，则 m 等于( )mA0 或 B0 或 33C1 或 D1 或 3 或 03答案 B解析 A1,
5、3， ，B1 ，m，ABA，故 BA，所以 m3 或 m ，即 m3 或 m0m m或 m1，其中 m1 不符合题意，所以 m0 或 m3，故选 B.5若集合 A1,1，B 0,2 ，则集合z|zxy ，x A，y B中的元素的个数为( )A5 B4 C3 D2答案 C解析 当 x1，y0 时，z 1；当 x1，y2 时， z 1；当 x1，y0 时，z1；当x1，y2 时，z3，故集合 z|zx y，x A，yB 中的元素个数 为 3，故 选 C.6已知集合 Ax| x22x 30 ，Bx|x 3.7若集合 AxR| ax23x20中只有一个元素，则 a_.答案 0 或98解析 若 a0，则
6、 A ，符合 题意；23若 a0，则由题意得 98a0，解得 a .98综上，a 的值为 0 或 .98题型一 集合的含义1若 A2,3,4，B x|x n m，m ，nA，mn ，则集合 B 中的元素个数是( )A2 B3 C4 D5答案 B解析 B x|xnm，m，nA， mn6,8,122若集合 Aa3,2a1， a24 ，且3A，则实数 a_.答案 0 或 1解析 若 a33，则 a0 ，此 时集合 A 中含有元素3， 1，4，满足题意；若 2a13，则 a1，此时集合 A 中的三个元素为4， 3，3，不满足集合中元素的互异性；若 a243，则 a1，当 a1 时，集合 A 中的三个元
7、素为2,1，3，满足题意；当 a1 时，不符合题意综上可知，a0 或 a1.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题题型二 集合的基本关系例 1 (1)已知集合 AxR|x 2x60，B xR|ax 10，若 BA，则实数 a 的值为( )A. 或 B 或13 12 13 12C. 或 或 0 D 或 或 013 12 13 12答案 D解析 由题意知，A2，3当 a0 时，B，满足 BA；当 a0 时，ax
8、 10 的解为 x ，1a由 BA，可得 3 或 2，a 或 a .1a 1a 13 12综上可知，a 的值为 或 或 0.13 12(2)已知集合 Ax |x22 019x2 0182Ca1 Da1答案 D解析 因为 AB ，所以集合 A，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知 a1.(2)设集合 A0，4，Bx|x 22(a1)xa 210，xR 若 ABB，则实数 a 的取值范围是_答案 (，11解析 因为 A0，4，所以 BA 分以下三种情况：当 BA 时，B 0，4，由此可知，0 和4 是方程 x22(a1)xa 210 的两个根，由根与系数的关系，得Error!解得 a1；当 B
9、且 BA 时，B0或 B 4，并且 4(a1) 24(a 21)0，解得 a1，此时 B0满 足题意；当 B时， 4(a1) 24( a21)0 ，若 AB，则实数 c 的取值范围是_答案 1，)解析 由题意知，Ax |ylg(xx 2)x|x x 20(0,1)，Bx|x 2cx 0(0 ，c)由AB，画出数轴 ，如图所示，得 c1.13已知集合 Ax|1x 3，Bx|2m x1m ，若 AB，则实数 m 的取值范围是( )A. B.13， ) 0，13)C(，0 D0，)答案 D解析 AB ，若当 2m1m，即 m 时，B ，符合 题意；13若当 2m1 m，即 m 时，13需满足Erro
10、r! 或Error!解得 0m 或 ，即 0m .13 13综上，实数 m 的取值范围是0，)14若集合 A 具有以下性质：(1)0A, 1A ；(2) x，yA ，则 xyA，且 x0 时， A，则称集合 A 是“完美集” ，给1x出以下结论：集合 B 1,0,1是“完美集” ；有理数集 Q 是“完美集” ；设集合 A 是“完美集” ，若 x，y A，则 xyA；设集合 A 是“完美集” ，若 x，y A，则 xyA；对任意的一个“完美集”A，若 x，y A，且 x0，则 A.yx其中正确结论的序号是_答案 解析 1B,1B，但是112 B，B 不是“完美集” ；有理数集满足“完美集”的定义
11、；0A，x，yA,0yyA，那么 x(y) x yA；对任意一个“完美集”A，任取 x，yA，若 x，y 中有 0 或 1 时， 显然 xyA，若 x，y 均不为0,1，而 ，x，x1A，那么1xy 12xy 12xy 1x y2 x2 y2 1x y2 x2 y2 A，所以 x(x1) A， 进而 x(x1) x x 2A .结合前面的算式，知 xyA；1x 1 1x 1xx 1x，yA，若 x0，那么 A，那么由 得 A.1x yx故填.15在 n 元数集 Sa 1，a 2， ，a n中，设 x(S) ，若 S 的非空子集 A 满a1 a2 ann足 x(A)x( S)，则称 A 是集合
12、S 的一个“平均子集” ，并记数集 S 的 k 元“平均子集”的个数为 fS(k)已知集合 S1,2,3,4,5,6,7,8,9，T 4，3，2，1,0,1,2,3,4，则下列说法错误的是( )Af S(4)f S(5) Bf S(4)f T(5)Cf S(1)f S(3)f T(5) Df S(2)f S(3)f T(4)答案 C解析 由题意知，f T(k)f S(k)，k1,2， ，9.再由对称性知 fT(k)f T(9k)，k1,2，9，故A，B 正确 现在仅考虑集合 T，利用列举法，当 n1 时， “平均子集”A：0 ，故 fT(1)1；当n2 时， “平均子集”A 可取 k， k，其
13、中 k1,2,3,4，故 fT(2)4；当 n3 时， “平均子集”A 可取4,0,4，4,1,3 ，3， 1,4，3,0,3， 3,1,2 ，2， 1,3，2,0,2，1,0,1，故 fT(3)8；当 n4 时， “平均子集”A 可取 4， 3,3,4，4， 2,2,4，4，1,1,4，4，1,2,3 ，4，0,1,3 ，3，2,1,4，3，2,2,3，3，1,1,3，3，1,0,4，3,0,1,2，2， 1,0,3，2， 1,1,2，故 fT(4)12.利用对称性知， fT(5)12.所以 D 正确、C 错误，故选 C.16(2019温州十校模拟)设有序集合对 (A，B)满足：AB1,2,
14、3,4,5,6,7,8 ，AB，记CardA， CardB 分别表示集合 A，B 的元素个数，则符合条件 CardAA，CardBB 的集合的对数是_答案 44解析 由条件可得 CardAB ，CardBA.当 CardA0，CardB8 时，显然不成立；当CardA 1，CardB7 时，则 7A,1B，所以 A7， B1,2,3,4,5,6,8 ，符合条件的集合 对有 1 对；当 CardA2，CardB6 时， 则 6A,2B，所以 A 中的另一个元素从剩下的 6 个数中选一个，故符合条件的集合对 有 C 6( 对)；当 CardA3，CardB5 时，则 5A,3B，所以16A 中的另两个元素从剩下的 6 个数中选两个，故符合条件的集合对有 C 15( 对)；当26CardA 4，CardB4 时，则 4A,4B，矛盾；由 对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是 2(1615)044(对)