1、3.1 函数及其表示最新考纲 考情考向分析1.了解函数、映射的概念2.了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)3.了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1函数与映射函数 映射两个集合A，B设 A，B 是两个非空数集 设 A，B 是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意
2、一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应名称称 f：AB 为从集合 A 到集合 B的一个函数称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射函数记法 函数 yf(x) ，xA 映射： f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数 yf(x) ，x A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式
3、子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型？提示 (1)f(x) 为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合；(4)若 f(x)x 0，则定义域为x|x0；(5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1；(6)正切函数 ytan x 的定义域为 Error!.题组一 思考辨析1判断下列结论是
4、否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)对于函数 f：A B，其值域就是集合 B.( )(2)函数 f(x)x 22x 与 g(t)t 22t 是同一函数( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等( )(4)函数 f(x)的图象与直线 x1 最多有一个交点( )(5)若 A R，Bx |x0，f：xy |x| ，其对应是从 A 到 B 的映射( )(6)分段函数是由两个或几个函数组成的( )题组二 教材改编2P74T7(2)函数 f(x) log 2(6x) 的定义域是_x 3答案 3,6)3P25B 组 T1函数 yf( x)的图象如图所示，那么，f (x)的定义域是_；值域
5、是_；其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是_答案 3,0 2,3 1,5 1,2)(4,5题组三 易错自纠4已知 f(x)Error!若 f(a)2，则 a 的值为( )A2 B1 或 2C1 或 2 D1 或 2答案 B解析 当 a0 时，2 a22，解得 a2；当 a1 的 x 的取值范围是 _(x 12)答案 ( 14， )解析 由题意知，可对不等式分 x0,0x ，x 三段讨论12 12当 x0 时，原不等式 为 x1x 1，12解得 x ， x0.14 14当 0x 时，原不等式 为 2xx 1，显然成立12 12当 x 时，原不等式 为 2x 1， 显然成立12 综上可
6、知，x 的取 值范围是 .( 14， )思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出 现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值；求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将 讨论结果并起来跟踪训练 3 (1)(2018宁波期末) 函数 f(x)Error!则 f(f(2)等于( )A2 B1 C2 1 2 D03答案 B解析 f(f(2)f f (0)2 021，故选 B.(2sin 6
7、 1)(2)已知函数 f(x)Error! 若 f(f(1)3a 2，则 a 的取值范围是_答案 (1,3)解析 由题意知，f(1) 213，f (f(1)f (3)3 26a，若 f(f(1)3a 2，则 96a3a 2，即 a22a3 0，解得 1a3.1函数 y 的定义域是( )ln1 xx 1 1xA1,0) (0,1) B 1,0)(0,1C(1,0)(0,1 D(1,0) (0,1)答案 D解析 由题意得Error!解得1x0 或 0x 1.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)2(2018浙江嘉兴一中月考) 下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )Af(x)lg x 2，g(
8、 x)2lg xBf(x) ，g( x)x 1 x 1 x2 1Cf(x)x 0，g(x )1Df(x)2 x ，g(t) t(12)答案 D解析 A，B， C 中函数的定义域不同，故选 D.3(2018浙江五校第二次联考) 已知函数 f(x)Error!则 f(2) f (4)等于( )A. B. C 87 D.109 19 7309答案 B解析 由题意可得，f(2)f (4)3 2 44 .故选 B.194已知函数 f(x)的定义域为(1,0) ，则函数 f(2x1)的定义域为( )A(1,1) B.( 1， 12)C(1,0) D.(12，1)答案 B解析 由已知得12x10，解得1x
9、，12所以函数 f(2x 1)的定义域为 .( 1， 12)5(2019浙江部分重点中学调研) 已知函数 f(x)Error!则函数 f(x)的值域为( )A1，) B( 1，)C. DR 12， )答案 B解析 当 x1 时，f( x)x 22(1， )；当 x1 时，f( x)2 x1 . 12， )综上可知，函数 f(x)的值域为(1，)故 选 B.6(2018浙江知名重点中学考前热身联考) 设函数 f(x)Error!若 f(f(0)4，则 b 等于( )A2 B1 C2 D1答案 C解析 f(0)b，当b1，即 b1 时， f(b) 3b4，得 b (舍去)，当b1，即43b1 时，
10、2 b 4，得 b2.7.如图，AOD 是一直角边长为 1 的等腰直角三角形，平面图形 OBD 是四分之一圆的扇形，点 P 在线段 AB 上，PQAB，且 PQ 交 AD 或交弧 DB 于点 Q，设 APx(03，故3a0；(12) (12)若 a0，则 f(a)1 等价于 1，a解得 a1，故 0a1.综上可得3a1. 故选 C.9已知 f ，则 f(x)_.(1 xx ) x2 1x2 1x答案 x 2x1(x 1)解析 f 2 1，(1 xx ) x2 1x2 1x (x 1x ) x 1x令 t(t1)，则 f(t)t 2t1，x 1x即 f(x)x 2x1(x 1)10(2016浙江
11、)设函数 f(x)x 33x 21，已知 a0，且 f(x)f(a)( xb)(xa) 2，x R，则实数 a_，b_.答案 2 1解析 由已知可得：f(x )f(a)x 33x 21a 33a 21x 33x 2a 33a 2.而(xb )(xa) 2x 3(2 ab)x 2(a 22ab) xa 2b，则Error!结合 a0 解得 a2，b1.11定义新运算“”：当 mn 时，m nm；当 mn 时，mnn 2.设函数 f(x)(2x)x(4 x)，x1,4 ，则函数 f(x)的值域为_答案 2,0 (4,60解析 由题意知，f(x)Error!当 x1,2时，f(x)2,0；当 x(2
12、,4时，f(x)(4,60，故当 x1,4时，f(x)2,0(4,60 12(2018浙江名校新高考研究联盟四联) 已知函数 f(x)Error!若存在 x1x 2，使得 f(x1)f(x 2)，求 x1f(x2)的取值范围解 函数 f(x)的图象如图所示，若存在 x1x 2，使得 f(x1) f(x2)，由图象可得 x 11,2f(x 2)12 ，所以 1x 1f(x2) .52 5213(2018浙江温州中学月考) 将函数 y 1 的图象绕原点按顺时针方向旋|12x 1| |12x 2|转角 得到曲线 C.若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都是一个函数的图象，则(0 2) 的取值范围是_答案
13、 0，4)解析 画出函数 y 1 的图象如图， 结合图象可以看出当该函数的图象绕原|12x 1| |12x 2|点 O 顺时针旋转的角大于或等于 0 而小于 时所得曲线都是一个函数的图象，故应填 .4 0，4)14(2018宁波模拟) 定义 maxa，bError!已知函数 f(x)max|2x1|，ax 2b，其中a0，bR，若 f(0)b.(1)求实数 b 的取值范围；(2)若 f(x)的最小值为 1，求 ab 的值解 (1)由题意得 f(0)max1， b，若 f(0)b，则 b1.(2)解不等式|2x 1| 1，得 x 1 或 x0.所以若 f(x0)1，x 00,1 ，当 x0,1时
14、，要使 f(x)的最小 值为 1，只需 ax2b 的最小值为 1，因为 a0，所以由函数 yax 2b 的图象(图略) 知 ax2b 在 x1 时取得最小值 1，即ab1.15(2015浙江)存在函数 f(x)满足：对于任意 xR ，都有 ( )Af(sin 2x)sin x Bf(sin 2x )x 2xCf(x 21) | x1| Df(x 22x)|x 1|答案 D解析 在 A 中，令 x0，得 f(0)0；令 x ，得 f(0)1，与函数的定义不符，故 A 错2在 B 中，令 x0，得 f(0)0；令 x ，得 f(0) ，与函数的定义不符，故 B 错2 24 2在 C 中，令 x1，
15、得 f(2)2；令 x1，得 f(2)0，与函数的定 义不符，故 C 错在 D 中，变形为 f(|x1| 21)|x1|，令|x 1| 21t，得 t1，| x1| ，t 1从而有 f(t) ，t 1显然这个函数关系在定义域1，)上是成立的，故选 D.16(2018浙江名校(诸暨中学 )联考)f(x)是定义在 R 上的函数，若 f(1)504，对任意的xR，满足 f(x4)f( x)2(x1)及 f(x12)f (x)6(x5) ，求 的值f2 017f1解 f(x4)f(x )2(x 1)，f(x 8)f(x 4)2(x 5) ，f(x 12)f(x 8)2(x 9) ，上述三个式子相加得到 f(x12)f(x)6( x5) ，结合条件可知，f(x12)f(x) 6(x5)，于是 f(2 017) f(1)f(2 017)f (2 005)f(2 005) f (1 993)f(1 993)f(1 981) f(13)f(1) 301686 5 0405042 006，1682 005 12 2 017.f2 017f1