1、4.1 导数的概念及运算最新考纲 考情考向分析1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义2.会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如 f(axb)的导数).导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1) 问，低档难度 .1导数与导函数的概念(1)一 般 地 ， 函 数 y f(x)在 x x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是 ， 我 们 称limx 0 yx lim x 0 fx0 x fx0x它 为 函 数 y f(x)在 x x0 处 的 导
2、数 ， 记 作 f (x0)或 y | ， 即 f (x0) 0x limx 0 yx lim x 0.fx0 x fx0x(2)如果函数 yf(x )在开区间(a，b) 内的每一点处都有导数，其导数值在 (a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 yf (x)在开区间内的导函数记作 f( x)或 y.2导数的几何意义函数 yf(x) 在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x 0)处的切线的斜率k，即 kf(x 0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数f(x)c(c 为常数) f(x )0f(x)x (Q *) f(x)x 1f(x)sin x f(
3、 x)cos xf(x)cos x f(x) sin xf(x)e x f(x)e xf(x)a x(a0，a1) f(x)a xln af(x)ln x f(x )1xf(x)log ax(a0，a1) f(x)1xln a4.导数的运算法则若 f(x )，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x) f(x )g(x )；(2)f(x)g(x)f(x )g(x)f(x) g(x)；(3) (g(x)0) fxgx f xgx fxg xgx25复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf (u)，ug( x)的导数间的关系为 yxy u ux，即 y对 x 的导数等于 y 对 u
4、的导数与 u 对 x 的导数的乘积概念方法微思考1根据 f(x)的几何意义思考一下，|f ( x)|增大，曲线 f(x)的形状有何变化？提示 |f( x)|越大，曲线 f(x)的形状越来越陡峭2直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示 不一定题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)f(x 0)是函数 yf(x )在 xx 0 附近的平均变化率( )(2)f(x 0)与f( x0)表示的意义相同 ( )(3)f(x 0)是导函数 f( x)在 xx 0 处的函数值( )(4)因为(ln x) ，所以 ln x( )1x (1x)(5)与曲线只有一个公共
5、点的直线一定是曲线的切线( )(6)函数 f(x)sin( x)的导数是 f(x) cos x( )题组二 教材改编2P18A 组 T5若 f(x)xe x，则 f(1) .答案 2e解析 f(x) e xxe x，f(1)2e.3P18A 组 T6曲线 y1 在点(1，1) 处的切线方程为 2x 2答案 2xy10解析 y ，y |x1 2.2x 22故所求切线方程为 2xy 10.题组三 易错自纠4如图所示为函数 yf( x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf (x)，yg(x )的图象可能是( )答案 D解析 由 yf (x)的图象知， yf(x)在(0 ，)上单调递 减，说明函数
6、yf(x) 的切线的斜率在(0，) 上也 单调递减，故可排除 A，C.又由图象知 yf( x)与 yg (x)的图象在 xx 0处相交，说明 yf (x)与 yg(x )的图象在xx 0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D.5有一机器人的运动方程为 st 2 (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬3t时速度为( )A. B. C. D.194 174 154 134答案 D6已知 f(x) x22xf (2 018)2 018ln x，则 f(2 018)等于( )12A2 018 B2 019C2 019 D2 018答案 B解析 由题意得 f(x )x2f (2
7、018) ，2 018x所以 f(2 018)2 0182f(2 018) ，2 0182 018即 f(2 018) (2 0181)2 019.7已知函数 f(x)ax 3x 1 的图象在点(1，f (1)处的切线过点 (2,7)，则 a .答案 1解析 f(x) 3ax 21，f(1)3a1，又 f(1)a2，切线方程为 y( a2)(3a1)(x1)，又点(2,7)在切线上，可得 a1.题型一 导数的计算1已知 f(x)sin ，则 f( x) .x2(1 2cos2x4)答案 cos x12解析 因为 ysin sin x，x2( cos x2) 12所以 y (sin x) cos
8、 x.( 12sin x) 12 122已知 y ，则 y .cos xex答案 sin x cos xex解析 y (cos xex) cos x ex cos xexex2 .sin x cos xex3已知 f(x)ln ，则 f(x) .2x 12x 1答案 44x2 1解析 y (ln 2x 12x 1)12x 12x 1(2x 12x 1) 2x 12x 12x 1 2x 1 2x 12x 12x 12 .44x2 14已知 f(x)x 22xf (1)，则 f(0) .答案 4解析 f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1) ，即 f(1)2.f(x )2x4，f(0)4.思维
9、升华 导数计算的技巧(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导；遇到函数为商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元题型二 导数的几何意义命题点 1 求切线方程例 1 (1)(2018湖州调研)函数 ye x(e 是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线方程是( )Ayx1 Byx1Cy x1 Dyx1答案 B解析 ye x，则在点(0,1) 处的切线斜率为 1，则切线方程为 yx1，故选 B.(2)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1) ，并且与曲线 yf(
10、x)相切，则直线 l 的方程为 答案 xy10解析 点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上，设切点为(x 0，y0)又f(x)1ln x，直线 l 的方程为 y1(1 ln x 0)x.由Error! 解得 x01，y 00.切点为(1,0)，f(1) 1ln 11.直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.引申探究本例(2)中，若曲线 yx ln x 上点 P 的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是 答案 (e ，e)解析 y1ln x，令 y2，即 1ln x2，xe，点 P 的坐标为(e，e)命题点 2 求参数的值例 2 (1)若直线 yax 是曲线 y2ln x1 的一
11、条切线，则实数 a 等于( )A B C D1e1212e2答案 B解析 设直线 yax 与曲线 y2ln x1 的切点横坐标为 x0，则有 y| ，于是有Error!则0x2x0ax02,2ln x 012，解得 x0 ，a ，故 选 B.e2x0 1(2)函数 f(x)ln x ax 存在与直线 2xy0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是( )A(，2 B( ，2)C(2，) D(0，)答案 B解析 因为 f(x ) a，直线 2xy0 的斜率为 2，由题设知存在 x0，使 a2，即1x 1xa2 ，又 x0，所以 a0)，则有 y x0 ，解12 3x |x 12 3x0 12得 x
12、02 或 x03(舍去)，故选 B.(2)下列图象中，有一个是函数 f(x) x3ax 2(a 21) x1(aR，a0) 的导函数 f( x)的图13象，则 f(1) 等于 ( )A. B13 13C. D 或73 13 53答案 B解析 因为 f(x )x 22ax (a21)，所以 f( x)的图象开口向上又 a0，所以 f(x)不是偶函数，即其图象不关于 y 轴对称， 则 f( x)的图象为第三个图，由图象特征知 f(0)0，所以 a210，又 f(x)图象的对称轴 xa0 ，所以 a1，因此 f(x) x3x 21，f(1)13 11 .13 13(3)已知 b0 且直线 yaxb
13、与曲线 ybe x相切，则实数 等于( )abA. B1 C. De12 1e答案 B解析 设切点为(x 0，y0)，则Error!记 m 0，则 x0 ，所以 ln m ，解得 m1，故ab m 1m m 1m选 B.1函数 f(x)(x2a)( xa) 2 的导数为( )A2(x 2a 2) B2( x2a 2)C3(x 2a 2) D3(x 2a 2)答案 C解析 f(x) (xa) 2(x2a)(2 x2a)(xa )(xa2x 4a) 3(x 2a 2)2已知函数 f(x) cos x，则 f()f 等于( )1x (2)A B C D32 12 3 1答案 C解析 因为 f(x )
14、 cos x (sin x)，所以 f()f (1) .1x2 1x (2) 1 2 33曲线 ysin xe x在点(0,1)处的切线方程是( )Ax3y30 Bx2y20C2x y10 D3xy10答案 C解析 ycos xe x，故切线斜率 k2，切线方程为 y2x1，即 2xy10.4已知点 P 在曲线 y 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是( )4ex 1A. B.34，) 4，2)C. D.(2，34 0，4)答案 A解析 求导可得 y ， 4ex e x 2e xe x 22 24，当且仅当 x0 时，等号成立，y 1,0)，得 tan exe x1,0)，
15、又 0，)， 2. 故选 D.16(2018浙江五校第二次联考) 若 x1，x 2R，求(x 1 )2(x 2 )2 的最小值e1x解 方法一 设 x2ln x3，x30，则(x 1 )2(x 2 )2(x 1x 3)2( ln x3)2，其几何意ee义为动点(x 1， )与(x 3，ln x3)之间的距离的平方， 问题转 化为求曲线 ye x上的点和 yln xe上的点的最小距离的平方，因为两条曲线关于直线 yx 对称，曲线 ye x的平行于直线 yx的切线的方程为 yx 1，曲线 yln x 的平行于直线 yx 的切线的方程 yx1，两条切线之间的距离为 ，故(x 1 )2(x 2 )2 的最小值是 2.2 e1方法二 由基本不等式得，(x 1 )2( x2 )21e .令 f(x)e xx1，则 f(x) e x1，当 x02121exxx时，f(x)0，当 x0 时，f ( x)0，所以 f(x)minf (0)0，则 exx1(x R)，即 2，当且仅当 x1x 20 时取等号，故(x 1 )2(x 2 )212exx1 122 e1x的最小值是 2.