1、3.6 对数与对数函数最新考纲 考情考向分析1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用3.了解对数函数的变化特征.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1对数的概念一般地，如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlog aN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果 a0，且 a1，M0 ，N 0，那么：log a(MN)log aMlog aN；log a log
2、 aMlog aN；MNlog aMnnlog aM (nR)(2)对数的性质 N ；log aaN N (a0，且 a1)loga(3)对数的换底公式logab (a0，且 a1；c0，且 c1；b0)logcblogca3对数函数的图象与性质ylog ax a1 01 时，y0；当 01 时，y0性质(6)在(0 ，) 上是增函数 (7)在 (0，)上是减函数4反函数指数函数 ya x(a0 且 a1)与对数函数 ylog ax(a0 且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称概念方法微思考1根据对数换底公式：说出 logab，log ba 的关系？化简 .logmnab提示 l
3、og ablogba1； logab.logmnanm2如图给出 4 个对数函数的图象比较 a，b，c，d 与 1 的大小关系提示 00，则 loga(MN)log aMlog aN.( )(2)loga xloga ylog a (xy )( )(3)函数 ylog 2x 及 y 3x 都是对数函数( )1log(4)对数函数 ylog ax(a0 且 a1)在(0 ，)上是增函数( )(5)函数 yln 与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同 ( )1 x1 x(6)对数函数 ylog ax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0) 且过点( a,1)， ，函数图象只在第(1a， 1)一
4、、四象限( )题组二 教材改编2P74T3lg lg 7 .427 3lg85答案 12解析 原式lg 4 lg 2lg 7 lg 8lg 7 lg 512 23 122lg 2 (lg 2lg 5)2lg 2 .12 123P82A 组 T6已知 a ，blog 2 ，c ，则 a，b，c 的大小关系为 1313 12log答案 cab解析 01.cab.12log34P74A 组 T7函数 y 的定义域是 3lx答案 (12，1解析 由 (2x1) 0，得 00，log 5ba，lg bc,5 d10，则下列等式一定成立的是 ( )Adac BacdCc ad Ddac答案 B6.已知函数
5、 ylog a(xc)( a，c 为常数，其中 a0，a1) 的图象如图，则下列结论成立的是( )Aa1，c1Ba1,01D00 且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意 ylog ax(a0 且 a1)的图象过(3,1)点，可解得 a3.选项 A 中，y3 x x，(13)显然图象错误；选项 B 中，yx 3，由 幂函数图象性质可知正确； 选项 C 中，y(x) 3x 3，显然与所画图象不符；选项 D 中，ylog 3(x )的图象与 ylog 3x 的图象关于 y 轴对称， 显然不符，故选 B.(2)当 01 时不满足条件，当 0 ，(0，12 (12)
6、(12) 12 22所以 a 的取值范围为 .(22，1)引申探究若本例(2)变为方程 4xlog ax 在 上有解， 则实数 a 的取 值范围为 (0，12答案 (0，22解析 若方程 4xlog ax 在 上有解，(0，12则函数 y4 x和函数 ylog ax 在 上有交点，(0，12由图象知Error!解得 01 时，直线 yxa 与 ylog 2x 只有一个交点题型三 对数函数的性质及应用命题点 1 比较对数值的大小例 2 设 alog 412，blog 515，clog 618，则( )Aa bc BbcaCacb Dcba答案 A解析 a1log 43，b1log 53，c1lo
7、g 63，log 43log53log63，abc.命题点 2 解对数方程、不等式例 3 (1)方程 log2(x1)2log 2(x1)的解为 答案 x 5解析 原方程变形为 log2(x1)log 2(x1)log 2(x21)2，即 x214，解得 x ，又5x1，所以 x .5(2)已知不等式 logx(2x21)0 在区间(，2上恒成立且函数 yx 2ax3a 在(，2 上单调递 减，则 2 且(2) 2(2)a3a0，解得实数 a 的取值范围是4,4) ，a2故选 D.(2)函数 f(x)log 2 log (2x)的最小值为 x 2答案 14解析 依题意得 f(x) log2x(
8、22log 2x)(log 2x)2log 2x 2 ，当 log2x12 (log2x 12) 14 14 ，即 x 时等号成立，所以函数 f(x)的最小值为 .12 22 14思维升华 利用对数函数的性质，求与 对数函数有关的函数 值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有 问题都必须在定义 域内讨论；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用跟踪训练 2 (1)设 alog 32，blog 52，clog 23，则( )Aa cb BbcaCcba Dcab答案 D解
9、析 alog 32log221，所以 c 最大由 1 ，即 ab，1log23 1log25所以 cab.(2)若 f(x)lg( x22ax 1a)在区间( ，1上单调递减，则 a 的取值范围为 答案 1,2)解析 令函数 g(x)x 22ax1a(xa) 21aa 2，对称轴为 xa，要使函数在 (， 1上单调递减，则有Error!即Error!解得 1a0，且 a1) ，若 f(x)1 在区间1,2上恒成立，则实数 a 的取值范围是 答案 (1，83)解析 当 a1 时，f(x )log a(8ax )在1,2上是减函数，由 f(x)1 在区间1,2上恒成立，则 f(x)minf(2)l
10、og a(82a)1，且 82a0 ，解得 11 在区间 1,2上恒成立，则 f(x)minf(1)log a(8a)1，且 82a0.a4，且 alog0.30.31，即 c1.所以 b1，blog 0.40.5(0,1) ，clog 80.4b c.故选 B.(3)由 loga2log0.210，blog 20.3log0.30.4log0.310，00，b0，可排除 A，D；设 t，则 abt，若 ln aln ba3b，ab则有 ln tbt3b，b ，由 b 0，ln tt 3 ln tt 3得 03，不能确定 a0,11，ab，C 正确，故选 C.ab14定义区间x 1，x 2(x
11、1x 2)的长度等于 x2x 1.函数 y|log a x|(a1)的定义域为m ，n(mn)，值域为 0,1若区间m，n 的长度的最小值为 ，则实数 a 的值为 34答案 4解析 作出函数 y|log a x|的图象(图略)，要使定义域区间m ，n的长度最小， 则 m，n或m，n 1，a若 1 ，则 a4，此时 a13，符合题意若 a1 ，则 a ，1a，1 1a 34 34 74此时 1 ，不符合题意，所以 a4.1a 37 3415(2018浙江杭州二中月考) 若函数 ylg 的图象关于点 M 对称，则点 M 的坐标是( )x ax bA. B.(a b2 ，0) (a b2 ，0)C.
12、 D.(b a2 ，0) ( a b2 ，0)答案 D解析 设 M(m,0)，点 P(x，y)是函数 ylg 的图象上任意一点，则点 P(x，y)关于点 M(m,0)x ax b的对称点 Q(2mx，y )也是函数 ylg 的图象上一点x ax b从而有 ylg ，且y lg ，x ax b 2m x a2m x b所以 lg lg ，x ax b 2m x a2m x b即 lg lg lg 恒成立，x ax b 2m x b2m x a x 2m bx 2m a从而有 ，x ax b x 2m bx 2m a所以 m ，故选 D.a b216(2018浙江镇海中学模拟) 函数 f(x)Error!若 a，b，c，d 互不相同，且 f(a)f (b)f(c)f(d)，求 abcd 的取值范围解 不妨设 abcd，则 a，b 满足|log 2a|log 2b|，即log 2alog 2b，所以 ab1；c，d 是二次方程 x212x34k， k(0,2)在区间(4， )上的两个不相等的根，则cd34k，所以 cd(32,34)故 abcd 的取值范围是(32,34)