1、2.2 一元二次不等式及其解法最新考纲 考情考向分析1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系2.会解一元二次不等式.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.一元二次不等式的解集判别式b 2 4ac0 0 0)的图象方程 ax2bxc 0(a0)的根有两相异实根x1，x 2(x10(a0)的解集x|xx2 Error! x|xRax2bxc0)的解集 x|x10(a0)的解集与其对应的
2、函数 yax 2bxc 的图象有什么关系？提示 ax2bx c0(a0)的解集就是其对应函数 yax 2bxc 的图象在 x 轴上方的部分所对应的 x 的取值范围2一元二次不等式 ax2bx c 0(0 恒成立的条件是 Error!ax2bx c0.( )(2)若不等式 ax2bxc 0 的解集是 (，x 1)( x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个根是 x1 和 x2.( )(3)若方程 ax2bxc 0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bx c0 的解集为 R.( )(4)不等式 ax2bxc 0 在 R 上恒成立的条件是 a0，则 RA 等于 ( )A x| 23 D x|x2 x
3、|x3答案 B解析 x 2x60 ，(x 2)(x3)0，x3 或 x3 或 x0，令 3x22x20，得 x1 ，x2 ，1 73 1 733x 22x20 的解集为 .( ，1 73 ) (1 73 ， )题组三 易错自纠4不等式x 23x 40 的解集为_(用区间表示)答案 (4,1)解析 由x 23x 40 可知，( x4)( x1)0 的解集是 ，则 ab_.( 12，13)答案 14解析 由题意可知，x 1 ，x2 是方程 ax2bx20 的两个根，12 13Error! 解得Error!ab14.6不等式(a2)x 22(a2)x40， ABx|00)解 原不等式变为(ax1)(
4、 x1)0，所以 (x1)1 时，解 为 1 时，不等式的解集 为Error! .思维升华 对含参的不等式， 应对参数进行分类讨论：根据二次 项系数为正、负及零进行分类根据判别式 判断根的个数 有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论跟踪训练 1 解不等式 12x2axa 2(aR )解 原不等式可化为 12x2axa 20，即(4x a)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得 x1 ，x2 .a4 a3当 a0 时，不等式的解集 为 ；( ， a4) (a3， )当 a0 时，不等式的解集为(， 0)(0，)；当 a0 时，g( x)在1,3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)
5、，即 7m60，(x 12) 34又因为 m(x2x1)60 的解集为x|10 的解集为( )A.Error! B.Error!Cx| 21答案 A解析 不等式 ax2bx 20 的解集为x|10，解ba 2a得Error! ，故选 A.3若一元二次不等式 2kx2kx x 22x5，设 f(x)x 22x 5( x1) 24， x2,4 ，当 x2 时， f(x)min5，存在x2,4使 x22x 5mf(x)min，m 5.故选 B.5若不等式 x2( a1)x a0 的解集是 4,3的子集，则 a 的取值范围是( )A4,1 B 4,3C1,3 D1,3答案 B解析 原不等式为(xa)(
6、 x1) 0，当 a1 时，不等式的解集为1，a，此时只要 a3 即可，即 1320 ，即 x228x1920，即当 x1,2时，均有 x2.当 a0，即当 x1,2时，均有 x22a2 或 a0；(2)若不等式 f(x)b 的解集为(1,3) ，求实数 a，b 的值解 (1)f(x) 3x2a(6a )x6，f(1)3a(6 a)6 a26a30，即 a26a3b 的解集为(1,3) ，方程3x 2a(6 a)x 6b0 的两根为1,3，Error!解得Error!12(2018浙江绍兴一中模拟) 已知 f(x)x 22ax3a 2.(1)设 a1，解不等式 f(x)0；(2)若不等式 f(
7、x) ，且当 x1,4a时，|f (x)|4a 恒成立，试确定 a 的取值范围14解 (1)当 a1 时，不等式 f(x)0，即 x22x30，解得 x3 或 x0 的解集为( ，1) (3，) (2)f(x)xx 2(2 a1)x 3a 2，令 g(x)x 2(2a1)x3a 2，若 a0，则 f(x)1，因为|f(a)|4a 2，|f(4a)|5a 2，所以由Error! 得此不等式的解集为.综上，a 的取值范围是 .(14，4513若不等式 a28b 2b (ab) 对于任意的 a，bR 恒成立，则实数 的取值范围为_答案 8,4解析 因为 a28b 2b (ab) 对于任意的 a，bR
8、 恒成立，所以 a28b 2b (ab)0 对于任意的 a，bR 恒成立，即 a2ba (8 )b20 恒成立，由一元二次不等式的性质可知， 2b24(8)b 2b 2(24 32) 0，所以(8)(4)0，解得84.14已知 b，cR ，若关于 x 的不等式 0x 2bxc 4 的解集为x 1，x 2x 3，x 4(x2 时，f(t)0，f(t)单调递增163据题意可知 f(t)minf 4 .(163) 315(2019杭州高级中学仿真测试) 若关于 x 的不等式( x2a)(2 xb)0 在(a，b) 上恒成立，则 2ab 的最小值为_答案 0解析 要使 2ab 取得最小值，尽量考 虑
9、a，b 取负值的情况，因此当 a0，与 b0 矛盾；当 a0.综上可知，2ab 的最小值为 0.16(2018浙江省海盐高级中学期中) 已知函数 f(x)x 2( a2)x2a，若集合A xN|f(x)0，亦即 a28a40，方程 x2(a2)x 2a0 的根为x1 ，x2 .2 a a2 8a 42 2 a a2 8a 42又f(0)2a，若 f(0)2a2，此时 x2 1，2 a a2 8a 42则集合 A xN| f(x)0中至少有两个元素 0,1，不符合 题 意；故 f(0)2a0，a2，此时要使集合 AxN| f(x)0中有且只有一个元素，需满足Error! 即Error!解得 a ，即 a 的取值范围 是 .12 23 (12，23