1、3.8 函数与方程最新考纲 考情考向分析了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根) 的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x )(xD)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)( xD)的零点(2)三个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf (x)的图象与 x 轴有交点 函数 yf (x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理 )如果函数 yf(x
2、)在区间 a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系0 0 0)的图象与 x 轴的交点 (x1,0)，(x 2,0) (x1,0) 无交点零点个数 2 1 0概念方法微思考函数 f(x)的图象连续不断，是否可得到函数 f(x)只有一个零点？提示 不能题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( )(2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)023且函数 f(x)的图象在(0，)上连续不断， f(x)为增函数，f(x)的零点在区间(2,3)
3、内3P88 例 1函数 f(x)e x3x 的零点个数是( )A0 B1 C2 D3答案 B解析 由 f(x )e x30 ，得 f(x)在 R 上单调递增，又 f(1) 30，因此函数1ef(x)有且只有一个零点4P92A 组 T4函数 f(x) x 的零点个数为_12(12)答案 1解析 作函数 y 和 y x 的图象如图所示，12(12)由图象知函数 f(x)有 1 个零点题组三 易错自纠5函数 f(x)ln 2x3ln x 2 的零点是( )A(e,0)或(e 2,0) B(1,0)或(e 2,0)C(e 2,0) De 或 e2答案 D解析 f(x) ln 2x3ln x 2(ln
4、x 1)(ln x2)，由 f(x)0 得 xe 或 xe 2，f(x)的零点是 e 或 e2.6已知函数 f(x)x (x0)，g(x)xe x，h( x)xln x(x0)的零点分别为 x1，x 2，x 3，则x( )Ax 10)，ye x，yln x(x0)的图象，如图所示，可知选 C.x7若二次函数 f(x)x 22xm 在区间(0,4)上存在零点，则实数 m 的取值范围是_答案 (8,1解析 mx 22x 在(0,4) 上有解，又x 22x ( x1) 21， yx 22x 在(0,4)上的值域为(8,1 ， 80，f(1)f(2)0，f(b)( bc)(b a)0 ，由函数零点存在
5、性定理可知，在区间(a， b)，(b，c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b) ，(b，c)内，故 选 A.3设函数 y1x 3 与 y2 x 2 的图象的交点为( x0，y 0)，若 x0( n，n1)，nN，则 x0 所在(12)的区间是_答案 (1,2)解析 令 f(x)x 3 x2 ，则 f(x0)0，(12)易知 f(x)为增函数，且 f(1)0，x 0 所在的区间是(1,2)思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理(2)数形结合法题型二 函数零点个数的判断例 1 (1)函数 f(x)
6、Error! 的零点个数是_答案 2解析 当 x0 时，令 x220，解得 x (正根舍去) ，所以在( ， 0上有一个零点；当 x02时，f(x)2 0 恒成立，所以 f(x)在(0， )上是增函数又因为 f(2)2ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为 2.(2)(2018杭州质检)设方程 xln(ax )(a0，e 为自然对数的底数)，则( )A当 ae 时，方程有两个实数根答案 D解析 由 xln(ax )得 exax ，则函数 ye x，yax 图象的交点个数是原方程根的个数当 ae 时，方程有两个实数根，D 正确，故 选 D.思维升华 函
7、数零点个数的判断方法(1)直接求零点(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数(3)利用函数图象的交点个数判断跟踪训练 1 (1)函数 f(x)Error!的零点个数为( )A3 B2 C7 D0答案 B解析 方法一 由 f(x)0 得Error!或 Error!解得 x2 或 xe.因此函数 f(x)共有 2 个零点方法二 函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x)共有 2 个零点(2)函数 f(x)Error!则函数 h(x)f (x)log 4x 的零点个数为( )A2 B3 C4 D5答案 D解析 函数 h(x)f(x)log 4x 的零点个数即为方程 f(x)l
8、og 4x 的根的个数，分别画出 y1f(x) ，y2log 4x 的图象，由图可知，两个函数的图象有 5 个交点，所以函数 h(x)有 5 个零点题型三 函数零点的应用命题点 1 根据函数零点个数求参数例 2 (1)已知函数 f(x)Error!若函数 g(x)f (x)m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_答案 (0,1)解析 画出函数 f(x)Error!的图象，如 图所示由于函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，结合图象得 02m 2 或2m223m，可得 m2 或 0m 0 且 a1)的两个零点是 m，n，则( )Amn1 Bmn1C01，m1，且log am m，log
9、an n，以上两式两 边相减可得 loga(mn)(12) (12) n m0)，22x 12x 1则 a t2 1t 1 (t 2t 1 1)2 ，其中 t 11，t 1 2t 1由基本不等式，得(t1) 2 ，2t 1 2当且仅当 t 1 时取等号，故 a22 .2 2(4)(2018浙江)已知 R，函数 f(x)Error!当 2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是 _答案 (1,4) (1,3(4，)解析 当 2 时， f(x)Error!其图象如图(1)由图知 f(x)0 的解集为(1,4)f(x)Error!恰有 2 个零点有两种情
10、况：二次函数有两个零点，一次函数无零点；二次函数与一次函数各有一个零点在同一平面直角坐标系中画出 y1x4 与 y2x 24x3 的图象，如 图(2) ，平移直 线 x，可得 (1,3(4，)1已知函数 f(x) log 2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )6xA(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)答案 C解析 因为 f(x)在区间(0，)上单调递减， f(1)6log 2160，f(2)3log 2220，f (4) log 24 0 时，xf (x)m，即 x m ，1x解得 m2，即实数 m 的取值范围是(， 12， )故选 D.5(2018温州十校联合体期末
11、) 已知关于 x 的方程 a|x| 有三个不同的实数解，则实数 a1x 2的取值范围是( )A(，0) B(0,1)C(1，) D(0，)答案 C解析 方程 a|x| 有三个不同的实数解等价于函数 y 与 ya|x| 的图象有三个不同的1x 2 1x 2交点在同一直角坐标系中作出函数 y 与 ya| x|的图 象，如 图所示，由图易知，a0.当1x 220 时，由 f(x)ln x0，得 x1.因为函数 f(x)有两个不同的零点，则当 x0 时，函数 f(x)2 xa 有一个零点，令 f(x)0 得 a2 x，因为 00 时，f(x) 2 015xlog 2 015x，则在 R 上，函数 f(
12、x)零点的个数为_答案 3解析 因为函数 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(0)0，当 x0 时， f(x)2 015xlog 2 015x 在区间 内存在一个零点，又 f(x)为增(0， 12 015)函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在( ，0)内有且仅有一个零点，从而函数 f(x)在 R 上的零点个数 为 3.11已知函数 f(x) x，g(x) x，记函数 h(x) Error!则函数 F(x)h(x )x5 的所(12) 12lo有零点的和为_答案 5解析 由题意知函数 h(x)的图 象如图所示，易知函数 h(x)的图象关于直线 yx 对称，函数F(x)所有
13、零点的和就是函数 yh( x)与函数 y5x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为 x1，x2，因为两函数图 象的交点关于直线 yx 对称，所以 5 ，所以x1 x22 x1 x22x1x 25.12已知函数 f(x) 4.|x mx|(1)若 m4，求函数 f(x)的零点个数；(2)若函数 f(x)有 4 个零点，求实数 m 的取值范围解 (1)当 m 4 时， f(x) 4，|x 4x|由对勾函数的性质易得 y 4，|x 4x|当且仅当 x2 时，等号成立，所以函数 f(x) 4 的零点个数为 2.|x 4x|(2)当 m0 时，由对勾函数的性 质易得 y 2 ，|x mx| m当
14、且仅当 x 时，等号成立，m要使 f(x) 4 有 4 个零点，|x mx|则有 2 0 时，函数 ya 与函数 yx 有两个交点，1x 3x则存在 x 使 a x 成立，即 ax 2 4，当且 仅 当 x2 时，等号成立，即 a4.1x 3x 4x x4x14(2018湖州德清县、 长兴县、安吉县期中) 偶函数 f(x)满足 f(1x)f(1x) ，且在 x0,1时，f(x ) ，若直线 kxy k0( k0)与函数 f(x)的图象有且仅有三个交点，求 k 的2x x2取值范围解 因为直线 kxyk 0(k0)，即 k(x1) y 0( k0)过定点( 1,0)因为函数 f(x)满足f(1x
15、)f(1x )，所以函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，又因为函数 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，在平面直角坐标系内画出函数 f(x)的图象及直线 k(x1)y0(k 0)如图所示， 则由图易得 AB ，AC ，22 1 3 42 1 15tanBAx ，tanCAx ，则要使直线 kxyk 0(k0)与函数 f(x)的图象有13 33 115 1515且仅有三个交点，则 k 的取值范围是 .(1515，33)15(2018湖州、衢州、丽水三地市质检)已知 f(x)是定义在 R 上的函数，若方程 f(f(x)x 有且仅有一个实数根，则 f(x)的解析式可能是
16、( )Af(x)|2x1| Bf(x)e xCf(x)x 2x1 Df(x)sin x答案 D解析 对于 A，由 f(f(x)x ，即|2|2x1|1|x ，可得 x1 或 或 或 ，故 A 错误；对于 B，由13 15 35(exx) e x1，得 ye xx 在(0， )上单调递增，在 (，0)上单调递减，所以(e xx)min10，即 exx 恒成立，所以 f(f(x) exx，即 f(f(x)x 无解，故 B 错误；对于 C，f(x)exx 2x1，f(f(x )(x 2x1) 2x 2x11x ，即 (x2x1) 2x 220，无实数根，故 C错误；对于 D，令 ysin xx，则
17、ycos x10，则 ysin xx 在 R 上单调递减，当 x0时，y0，所以当 x(0，) 时， sin xx，sin(sin x)sin xx，则 sin(sin x)x 在 R 上单调递减，且 sin(sin 0)0，故 f(f(x)x 有且仅有一个实数根，故选 D.16(2019台州第一学期质检) 已知函数 f(x)|ln x|，g(x) Error!求方程|f(x) g(x)|2 的实根的个数解 在平面直角坐标系内画出函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示，方程|f (x)g(x)|2 的实根个数等价于垂直于 x 轴的直线与两函数图象的交点的距离等于 2 的直线的条数，由图易得满足题意的直线共有 4 条