1、第 2 课时 导数与函数的极值、最值题型一 用导数求解函数极值问题命题点 1 根据函数图象判断极值例 1 设 f(x)是一个三次函数，f ( x)为其导函数，如图所示的是 yxf( x)的图象的一部分，则 f(x)的极大值与极小值分别是( )Af(2) 与 f(2) Bf (1)与 f(1)Cf(2) 与 f(2) Df (1)与 f(1)答案 A解析 由图象知，当 x0；当22 时，f(x)0.所以 f(x)在区间(，2)上为增函数，在区 间(2,2) 上为减函数，在区间(2，)上为增函数，所以 f(x)的极大值与极小值分别是 f(2)与 f(2)命题点 2 求函数的极值例 2 设函数 f(
2、x)ln(x1)a( x2x)，其中 aR .讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由解 f(x) a(2 x1)1x 1 (x1)2ax2 ax a 1x 1令 g(x)2ax 2 axa1，x ( 1，) 当 a0 时，g(x )1，此时 f(x)0，函数 f(x)在( 1， ) 上单调递增，无极 值点当 a0 时，a 28a(1a) a(9a8) a当 0 时，0 ，89设方程 2ax2axa10 的两根为 x1，x2(x1 .12 14 14由 g(1) 10，可得10，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(x 1，x2)时，g(x )0，f(x)0，函数 f(x)单调递增因此
3、函数有两个极值点当 a0 ，由 g(1) 10，可得 x10，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(x 2，)时，g(x ) 时，函数 f(x)有两个极值点89命题点 3 根据极值求参数例 3 (1)函数 f(x)e xmx 21 在 x0 处的切线方程为_ ，若函数 f(x)有两个极值点，则实数 m 的取值范围为 _答案 xy20 (e2， )解析 f(x) e x2mx ，f(0)1， f(0)2，所以函数 f(x)在 x0 处的切线方程为 xy20.由题意可知，f(x)e x2mx0 有两个根，即 2m 有两个根记 g(x) ，则 g(x)exx exx，在(，0)，(0,1) 上
4、，g( x)0.所以当 x0 时，g(x )0 且在(0,1)上单调递减，在 (1， )上单调递增，所以只需 2mg(1)e，故 m .e2(2)(2018金华十校期末考试)已知函数 f(x)x 32x 2ax1 在(1,1)上恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围是_答案 1,7)解析 由题意可知 f(x )3x 24xa0 有两个不等根，其中一个在( 1,1)上，另一个不在该区间上因为导函数 f(x) 的对称轴是 x ，所以只能是一根在 上，另一根在23 ( 23，1)(，1 上，所以Error! 解得1a0，f(x)在 x1 处取到极小值故 选 C.(2)若函数 f(x) (12a)x2
5、ln x(a0)在区间 内有极大值，则 a 的取值范围是( )ax22 (12，1)A. B(1 ，)(1e， )C(1,2) D(2，)答案 C解析 f(x) ax(1 2a) (a0，x0)，若 f(x)在区间 内有极大值，2x ax2 2a 1x 2x (12，1)即 f(x )0 在 内有解，且 f( x)在区间 内先大于 0，再小于 0，(12，1) (12，1)则Error! 即Error!解得 10，由 ke，则 x a，则实数 a 的取值范围x22是_答案 ( ，72)解析 由题意知，f(x)3x 2x2，令 f(x )0，得 3x2x20，解得 x1 或 x ，23又 f(1
6、) ，f ，f(1) ，f(2)7，72 ( 23) 15727 112故 f(x)min ，a0)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0.ax2 bx cex(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为 e3，求 f(x)在区间 5，)上的最大值解 (1)f(x) 2ax bex ax2 bx cexex2 . ax2 2a bx b cex令 g(x)ax 2(2 ab)xbc，因为 ex0，所以 yf(x) 的零点就是 g(x)ax 2(2 ab)xbc 的零点且 f(x) 与 g(x)符号相同又因为 a0，所以当30，即 f(x)0，当 x0 时，g(x )5f (0
7、)，5e 5所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.思维升华 (1)求极值、最 值时，要求步骤规范，含参数 时，要讨论参数的大小(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论(3)求函数在无穷区间(或开区 间)上的最值，不 仅要研究其极 值情况， 还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致 图象，然后借助 图象 观察得到函数的最值跟踪训练 3 已知函数 f(x)ax 32x 24x5，当 x 时，函数 f(x)有极值，则函数 f(x)在233,1上的最大值为_答案 13解析 f(x) 3ax 24x 4，由 f 0 可得 a1，经验证 f
8、为极值；(23) (23)f(x)x 32x 24x 5，f(x)3x 24x 4.令 f(x )0，解得 x2 或 x .23当 x 变化时，f( x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：x 3 (3，2) 2 ( 2，23) 23 (23，1) 1f(x ) 0 0 f(x) 8 13 9527 4函数 f(x)在3,1上的最大值为 13.利用导数求函数的最值例 (15 分) 已知函数 f(x)ln xax(aR )(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值规范解答 解 (1)f(x) a( x0)，1x当 a0 时，f(x) a0，即函数 f
9、(x)的单调递增区间为(0 ， ) 3 分1x当 a0 时，令 f(x ) a0，可得 x ，1x 1a当 00；1a 1 axx当 x 时，f(x) 0 时，函数 f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .7 分(0，1a) (1a， )(2)当 1，即 a1 时，函数 f(x)在1,2 上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)ln 22a.91a分当 2，即 00，f(x)为增函数，当 x10，解得 c 或 c0，b0)在 x1 处取得13 12极小值，则 的最小值为( )1a 4bA4 B5 C9 D10答案 C解析 由 f(x) ax3 bx2 x(a0，b0)，得 f(x)
10、ax 2bx1，则 f(1)13 12ab10，ab1， 1 (a b)5 52 9，当1a 4b (1a 4b) (1a 4b) ba 4ab ba4ab且仅当 ，即 a ，b 时，等号成立，故 选 C.ba 4ab 13 236已知函数 f(x)x 3ax 2 bxa 2 在 x1 处有极值 10，则 f(2)等于( )A11 或 18 B11C18 D17 或 18答案 C解析 函数 f(x)x 3ax 2 bxa 2 在 x1 处有极值 10，f (1)10，且 f(1) 0，又 f(x )3x 22axb，Error! 解得Error!或Error!而当Error! 时，函数在 x1
11、 处无极值，故舍去f(x)x 34x 211x 16，f (2)18.7(2018衢州质检)已知函数 f(x)x 32ax 21 在 x1 处的切线的斜率为 1，则实数a_，此时函数 yf (x)在0,1上的最小值为_答案 12 2327解析 由题意得 f(x )3x 24ax， 则有 f(1)31 24a11，解得 a ，所以 f(x)12x 3x 21，则 f(x )3x 22x，当 x0,1时，由 f( x)3x 22x0 得 0 时，e x0)的极大值是正数，极小值是负数，则 a 的取值范围是_答案 (22， )解析 f(x) 3x 23a 23( xa)(xa)，由 f(x )0 得
12、 xa，当aa 或 x0，函数 f(x)单调递增，f(x)的极大值为 f(a)，极小值为 f(a)f(a) a 33a 3a0 且 f(a)a 33a 3a .a 的取值范围是 .22 ( 22， )10已知函数 f(x)x 3ax 24 在 x2 处取得极值，若 m1,1 ，则 f(m)的最小值为_答案 4解析 f(x) 3x 22ax ，由 f(x)在 x2 处取得极值知 f(2)0，即342a20，故a3.由此可得 f(x)x 33x 24.f(x)3x 26x ，由此可得 f(x)在( 1,0)上单调递减，在(0,1) 上单调递增，当 m1,1时，f( m)min f(0)4.11设函
13、数 f(x)aln x bx 2(x0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切12(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在 上的最大值1e，e解 (1)f(x) 2bx，ax函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切，12Error! 解得Error!(2)由(1)知，f(x)ln x x2，12f(x) x ，1x 1 x2x当 xe 时，令 f(x )0，得 x0 时，f( x)在1 ，e上单调递增，则 f(x)在1，e 上的最大值为 f(e)a.故当 a2 时，f(x)在1，e上的最大 值为 a；当 a0，且 a1，则函数 f(x)(x a) 2ln x( )A有极大
14、值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值，又无极小值答案 C解析 由题意 f(x )2(xa)ln x ( xa) (x0)，由 f(x )0 得 xax a2x (2ln x 1 ax)或 2ln x1 0，由函数 y2ln x 与 y 1(a0 且 a1) 的图象知方程 2ln x1 0 也ax ax ax有解 xx 0，根据函数的单调性与极值的关系，当 01 时， xa 为函数 f(x)的极小值点，xx 0为 f(x)的极大值点，故函数 f(x)(xa) 2ln x 既有极大值，也有极小值，故 选 C.14(2018台州模拟)已知函数 f(x)ae x2x2a
15、，且 a1,2 ，设函数 f(x)在区间0，ln 2上的最小值为 m，则 m 的取值范围是_答案 2，2ln 2解析 g(a) f(x )a(e x2) 2x 是关于 a 的一次函数，当 x0，ln 2)时，e x20)，f (x) ln x1me x(x0)，由函数 f(x)有两个极值点可得ym 和 g(x) 在(0，)上有两个交点，ln x 1exg(x) (x0)，令 h(x) ln x1，1x ln x 1ex 1x则 h(x) 0，函数 f(x)单调递增(2)f(x) x(e x2a)当 a0 时，e x2a0.x( ，0)时，f(x )0，函数 f(x)单调递增，x0 时，函数 f
16、(x)取极小值 f(0)1.当 a0 时，令 f(x )x (ex2a)0，解出 x10 或 x2ln(2a)若 ln(2a)0，即 a ，f(x) x(ex1)0，x R，函数 f(x)单调递增，没有极值12若 ln(2a)0，即 a ，12x( ，0)和 x(ln(2 a)， )时， f(x)0，函数 f(x)单调递增；x(0，ln(2a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；x(ln(2a)，0) 时，f(x) 时，f( x)有极大值1，极小值 2a(ln(2a)1) a(ln(2a) 2；12当 00，即 0，所以 M(a)maxf(a) ，f(0)(a1)e aa 3，1令 h(a)(a1)e aa 31，h(a) a(e a3a)，令 k(a)e a3 a，则当 a 时 ，k(a)e a3e30，则 h( a)0.(12，x0)当 a(x 0，1)时，k (a)0，h(1)0，(12) 12e 78所以 h(a)0 在 上恒成立，(12，1当 a1 时，等号成立，即 f(a)f (0)综上，M( a)f(a)(a1)e a a3.